1、1习题课质点力学习题课质点力学一、基本内容与要求1.如何描述运动(1)()()()()rrva用四个物理量、质点作一般曲线运动时，2ddtntnvvaaaeetR质点作匀速直线运动当0a2nnvaaeR当质点作匀速率圆周运动ddttvaaet当质点作变速直线运动2（2）如何求四个物理量 运动学两类基本问题tvatrvtrdddd)(已知()ddtdtdt已知2ntvrarar00()a tvvadtrrvdt已知和初始 件00()tdtdt已知和初始条件（3）两个惯性系中变换关系000,rrrvvvaaa32、质点的运动规律（1）基本规律（力的瞬时作用规律）（2）三大定理（力的累积作用规律）(
2、/)F dtpFdp dt 外外kFdrfdrE外内 (/)M dtLMdL dt 外外（3）三大守恒定律（对一个变化过程中的任意两态)0iFFfPc外外内当或，0,PkAAEEEC外内非保当 时0MLC外当，d()dddmvPFtt外43、基本计算要求（1）熟练计算四个物理量，特别是加速度a.(2)变力积分IFdtAF dr（3）与点或轴有关的量MrFLrmv(4)三个守恒定律的综合应用二、分析举例5例1 湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动，设该人以匀速率v0收绳。绳不伸长，湖水静止，则小船的运动是:（A）匀加速（B）匀减速（C）变加速（D）变减速（E）匀速
3、直线常见解法:cos0vv hxxv0vr0v错误原因:把绳缩短的速率当成绳端即船头的速率。正确解法:22hxr)0,0(00vrtrvddd)0,0(vxtxvdddvrxhxttrv220dddd收绳6txhxxhvhxxvttvadddddd22220220)()(2032负号表示船向岸运动vxha船作变加速运动。2032,vxhax选择题答案应选【c】。hxxv0vr0vcos0vvcos0vv7例2 一质点以静止出发沿半径为R3m的圆周运动，切向加速度at3m/s,当总加速度与半径成450时，所经过的时间t=_,在上述时间内质点经过的路程s=_。00d3dtttvavva dttt2
4、2233)3(ttRvan233,1()ntaatts当时，有1s内质点沿圆周所走过的路程2113 11.522tsa tm8例3 质点作曲线运动，表示位置矢量，S表示路程，at表示切向加速度，下列表达式中哪个正确？rdddd(1)(2)(3)(4)ddddtvrsvavvatttt解：dd(1)dddd(2)ddtrvvattrrvrtt沿矢径方向的变化率d(3)dd(4)dsvtvaat正确；9例4 一质点在xoy平面内运动，运动方程为)(21922SItytx求（1）第2秒内质点的平均速度大小；（2）第2秒末瞬 时速度大小。(1)rrvvrx iy jtt 212 22 12 mxxx
5、2221(192 2)(192 1)6 myyy 22222(6)406.32 mrxy 10（2）第2秒末瞬时速度大小jtijyixtrv)4(2dd)(82)24(22m/sjijiv)(25.882)24(2222m/sjivm/s32.6132.6trtrv11例5 一质点沿x坐标运动，其加速度a与位置坐标x的关系为 a=2+6x2。如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。解：设质点在x处的速度为v，262xvxvtxxvtvaddddddddxxvvdd)62(2xvxxvv020)62(dd)(2222332m/sxxvxxv12例6 一质点沿半径为0.1m的圆周运动
6、，其角位移可用下式表示24t3，求（1）当t=2s时的切向加速度at；（2）当 at1/2 a时，？解：（1）当t=2s时的切向加速度at21224tt20.1 242.4 24.8(/)taRRtm s（2）求当 at1/2 a时 值2224(12)0.114.4naRtt001cos60cot602tnaaaataa43(14.4)3tat2.4taRt又13432.414.43tt4.1434.23t)(15.3)4.1434.2(42423radt14例7 在光滑水平地面上放置一个光滑的斜面体，其质量为M，斜面体上放一个质量为m的小物体，最初二者均静止。当小物体沿斜面下滑时，斜面体向右
7、运动，如果某时刻斜面体相对地面向右地速度为v，则小物体相对于斜面的速度大小u_，相对于地面的速度大小v/=_。xyvMmu解：以m和M为系统，建立如图坐标系，由动量守恒MvmvMvmvxmxMxm地地地0vuvvvxMmMxxmcos地地MvvumMvmvxMxm)cos(0地地cos)(mvMmu解出：15求小物体相对于地面的速度大小v/地地MmMmvvvvuvvvxMmMxxmcos地地0sinuvvvyMmMyym地地ymxmmvvv地地地2222cos)2()(cosmmMMmmvvm地22)sin()cos(uvuvm地xyvMmu16例8 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为tF
8、31044005子弹从枪口射出时的速率为300m/s，假设子弹离开枪口时合力刚好为零，则求（1）子弹走完枪筒全长所用时间t=?（2）子弹在枪筒中所受力的冲量I？（3）子弹的质量m？解（1）力为零时所用时间)(103104340035st)(6.0)3104400()2(3103050sNddtttFIt)0()3(vmpI由动量定理)(23006.0gvIm17例9 质量为m=0.5kg的质点，在xoy坐标平面内运动，其运动方程为x=5t,y=0.5t2.从t=2s到t=4s这段时间外力对质点所作的功。解法一：功的定义jj yi xaamFrdFA )(1212m/s212121)(yyymj
9、 yi xjmrFAjmamFdddd2125.0tttmtAttytyddd)(3)24(215.05.0224221JddtttmtAtt18解法二：动能定理)(5)(21212221m/sdj tij yi xvvvmrFA2925)(25222211vjivstm/s4145)(45422222vjivstm/s)(3)2941(5.021)(212122JvvmA19例10 今有一倔强系数为k的轻弹簧，竖直放置，下端悬挂一质量为m的小球，开始时使弹簧为原长而小球恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢提起，直到小球刚能脱离地面位置，在此过程中外力作功为:kgmDkgmCkgmBkgmA2222
10、22222)(2)(3)(4)(0,0kkEAAAE外合弹解缓慢提起，mgkx 0弹力与重力平衡，小球刚能脱离地面时，弹力作功为刚能脱离地面的过程中小球在伸长0 xkgmkmgkkxdxkxAx2)(2121)(2222000弹.,222222）答案应选（弹外CkgmkgmAA20例11 倾角为300的一个斜面放置在水平桌面上，一个质量为2kg的物体沿斜面下滑，下滑的加速度为3m/s.若此时斜面体静止在桌面上不动，则斜面体与桌面间静摩擦力f_。a030mMf解：以m+M为系统，它们之间的摩擦力为系统内力，地面给斜面的摩擦力为外力，系统只有m在运动。由牛顿定律：)(2.5233230cos0N
11、maf21例12 一圆锥摆，质量为m的小球在水平面内以匀速转动,在小球转动一周的过程中,（1）小球冲量的大小等于_；(2)小球所受重力的冲量的大小等于_；(3)小球所受绳子拉力的冲量大小等于_。m解：（1）小球冲量的大小，不变，转动一周时，0Pv0,IPI(2)小球所受重力的冲量的大小22mgmgImgdtmg dtmgTmg(3)小球所受绳子拉力的冲量大小mgTTmgIIIII,0mgIT2拉力是变力，方向在不断改变，应避开求拉力的冲量。22例13 如图，光滑斜面与水平面的夹角为300，轻弹簧上端固定，今在弹簧的另一端轻轻挂上质量为M1kg的木块，则木块沿斜面向下滑动。当木块下滑x30厘米时
12、，恰好有一质量m=0.01kg的子弹，沿水平方向以速度v=200m/s射中木块并陷在其中。设弹簧的倔强系数为k=1N/m,求子弹打入木块后他们的共同速度。Mkxm解：（1）木块下滑过程机械能守恒0sin2121212MgxMVkx0（滑块）解出：m/s83.0sin221Mkxgxv方向沿斜面向下。选弹簧原长处为势能零点23（2）以子弹和木块为系统，在子弹射入木块过程中外力沿斜面方向的分力可忽略不计，沿斜面方向应用动量守恒定律，设沿斜面向下为正，则有：21)(cosvmMmvMvm/s89.0cos12mMmvMvv解出：负号表示此速度的方向沿斜面向上。Mkxm24例13 质量为m的子弹以速度
13、v0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k，忽略子弹重力。求（1）子弹射入沙土后，速度随时间的函数式；（2）子弹进入沙土的最大深度。解：（1）子弹进入沙土后受力为kv,由牛顿定律tvmkvddtvvvtmk00ddmktevv0（2）求最大深度方法一：0d,ddktmxvdxv etttmktxtevx000dd)1)(/(0mktekmvxkmvx025方法二：xvmvtxxvmtvmkvddddddddvxkmxvxdd000vkmxdd0vkmxm26例14 一辆水平运动的装煤车，以速率v0从煤斗下面通过，每单位时间内有质量为m0的煤卸入煤车。如果煤车的
14、速率保持不变，煤车与钢轨间摩擦忽略不计，试求(1)牵引煤车的力的大小；（2）牵引煤车所需功率大小；（3）牵引煤车所提供的能量中有多少转化为煤的动能？vo解：（1）以煤车和t内卸入车内的煤为研究对象，水平方向煤车受牵引力F的作用，由动量定理000)(MvvtmMtF00vmF 2000)2(vmvFP20021)3(vmEk能：单位时间内煤获得的动2720021)3(vmEk能：单位时间内煤获得的动200vmPE的能量：单位时间牵引煤车提供能。的能量转变为煤的动即有50%5021EEk 煤的动能小于车提供的能量是因为传送带作用在煤上的摩擦力做负功，这部分功转变成传送带和煤的内能。28例15 倔强
15、系数为k的轻弹簧，一端固定，另一端与桌面上的质量为m的小球B相连接。推动小球，将弹簧压缩一段距离L后放开。假如小球所受的滑动摩擦力大小为F且恒定不变，滑动摩擦系数与静摩擦系数可视为相等。试求L必须满足什么条件时，才能使小球在放开后就开始运动，而且一旦停止下来就一直保持静止状态。BkLx0解：取弹簧自然伸长处为坐标原点，建立x坐标系。t=0时，球B静止于x=L处，放开后球就开始运动的条件为：kLF静,L F/k (1)29BkLx0小球向右运动越过0点后运动到x处静止，在此过程中，根据动能定理，2211()022F LxkxkL由上式得：0)2(222LLkFxkFx0)2)(LkFxLx因式分
16、解得kFLxLx2()0()xLF Lxkxdx起、止点都静止30小球停下来就一直保持静止的条件FkFLkxkFF2摩弹同时满足（1）(2）的L为：)2(3kFL L F/k (1)kFLkF3)2(3kFL 31作业：作业：1(5008)1(5008)、如图、如图1 1所示，质点所示，质点P P在水平面内沿一半径为在水平面内沿一半径为R R=2 m=2 m的圆轨的圆轨道转动转动的角速度道转动转动的角速度 与时间与时间t t的函数关系为的函数关系为 =kt2(k k为常为常量量)已知已知t=t=2 2s s时，质点时，质点P P的速度值为的速度值为32m/s32m/s试求试求t=t=1 1s
17、s 时，质点时，质点P P的速度与加速度的大小的速度与加速度的大小 O R P 3(0214)3(0214)、光滑圆盘面上有一质量为、光滑圆盘面上有一质量为m的物体的物体A，拴在一根穿过圆盘，拴在一根穿过圆盘中心中心O处光滑小孔的细绳上，如图处光滑小孔的细绳上，如图2 2所示开始时，该物体距圆盘中所示开始时，该物体距圆盘中心心O的距离为的距离为r0，并以角速度，并以角速度 0 0绕盘心绕盘心O作圆周运动现向下拉绳，作圆周运动现向下拉绳，当质点当质点A A的径向距离由的径向距离由r0减少到减少到r0/2时，向下拉的速度为时，向下拉的速度为v，求下拉过，求下拉过程中拉力所作的功程中拉力所作的功 2(0730)2(0730)、光滑水平面上有两个质量不同的小球光滑水平面上有两个质量不同的小球A A和和B BA A球静止，球静止，B B球以速度球以速度 和和A A球发生碰撞，碰撞后球发生碰撞，碰撞后B B球速度的大小为球速度的大小为 ，方向，方向 与与 垂直，求碰后垂直，求碰后A A球运动方向球运动方向 v/2vvAr0Ov0
