1、p晶体中的电子不再束缚于个别原子，而在一个 具有晶格周期性的势场中作共有化运动；p对应孤立原子中电子的一个能级，在晶体中该 类电子的能级形成一个带；p能带理论成功地解释了固体的许多物理特性。p固体中存在大量的电子，它们的运动是相互 关联的，这是一个多体问题；p由量子力学理论可知，人们可以把这个多体 问题简化成单电子问题，即把每个电子的运 动看成是独立地在一个等效势场中的运动；p研究晶体中电子的能带所用的近似也是单电 子近似。5.1 布洛赫波函数一、布洛赫定理 晶体中电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波，即电子的波函数具有如下形式)()()()(nkkkrk ikRrururuer其中k为电子的
2、波矢，Rn是格矢332211anananRn上述理论称为布洛赫(Bloch)定理。波函数：描述微观粒子状态，波函数在空间某一点 的强度（振幅绝对值平方）和在该点找到粒 子的几率成正比。332211)()(anananRreRrnRk inkn布洛赫定理也可写成下面的形式)()()()()()()(rerueeruRruRrueeRrueRrnnnnRk iRk irk innRk irk inRrk ink证明:布洛赫波函数物理意义：与自由电子的波函数相比，布洛赫波函数多了一个周期函数，可以可作是被周期性函数调幅的平面波，其平面波部分反映电子在整个晶体内作公有化运动，而其调幅部分则反映在原胞内
3、的运动情况，它的大小取决于原胞中电子的势场。布洛赫函数 描述的是同一电子状态。)()(rrhKkk与rKkiKkrk ikhherer)()()(所以有)()()()()()()()()(reKkaeruereKkaeKKkarukrKillrk iKkrKkiKkrKKilhrKihnhKklnnnhlhh二、简约布里渊区)()()()(nkkkrk ikRrururuer由布洛赫定理已知同一个电子态应对应同一个能量，所以又有)()(hKkEkE 对应同一个本征值对应同一个本征值E(kE(k)，有无数个本征函数。，有无数个本征函数。为了使本征函数与本征值一一对应起来，即使电子为了使本征函数与
4、本征值一一对应起来，即使电子的波矢与本征值对应起来，必须把波矢的波矢与本征值对应起来，必须把波矢K K的取值限制的取值限制在一个倒格原胞区间。在一个倒格原胞区间。这个区间为简约布里渊区或第一布里渊区这个区间为简约布里渊区或第一布里渊区简约波矢简约波矢第一布里渊区体积第一布里渊区体积3,2,122iNlNiii3,2,122ibkbiii333222111bNlbNlbNlk在简约布里渊区，电子的波矢数目等于晶体的原胞数目在简约布里渊区，电子的波矢数目等于晶体的原胞数目321NNNN cbbb3321)2()(一个波矢对应的体积一个波矢对应的体积电子波矢密度电子波矢密度3)2(cVcVbNbNb
5、N3332211)2()11(15.2 5.2 一维晶格中的近自由电子一维晶格中的近自由电子 金属晶体中，原子实对价电子的束缚较弱，价电子的行为与自由电子相近为得出自由电子近似的主要结论，本节首先讨论简单的一维情况)()()(2)()()(222222xxExxVdxdmrErrVm将晶格周期势（V(x)）也化成指数函数是有利于问题的求解的将V(x)展成傅里叶级数一维晶格中的电子的薛定谔方程一维晶格中的电子的薛定谔方程nxaineVxV2)(nxaineVVVVxV200)(零级近似下零级近似下VHVdxdmH022202薛定谔方程薛定谔方程000020222EVdxdmikxkeLx1)(0
6、mkEk2220波函数和能量本征值波函数和能量本征值按量子微扰理论，电子的能量可写成.)2()1(0kkkkEEEE一级微扰能量一级微扰能量二级微扰能量二级微扰能量0)1(kEnnknakkmVE)2(22222)2(电子的波函数.)()()()1(0 xxxkkkikxkeLx1)(0若只考虑到电子能量的二级微扰nnknakkVmmkE)2(22222222)2(nxaniikxknakkmeVeLn)2(212222)1(波函数的一级修正波函数的一级修正电子的波函数电子的波函数nxaniikxknakkmeVeLn)2(212222)1(nxaniikxikxknakkmeVeLeLn)2
7、(2112222)2(211)(2222xaninnikxkenakkmVeLx令令xaninnkenakkmVxu2222)2(21)(可以证明可以证明()()kkuxmaux)(1)(xueLxkikxk电子波函数电子波函数 具有布洛赫函数形式具有布洛赫函数形式5.3 5.3 一维晶格中的电子的布拉格反射一维晶格中的电子的布拉格反射 当前进波的波矢远离 时，散射波很微弱，波函数与平面波相近。但当 时，波矢 的散射波不能在忽略。由于 ，我们称波矢为k的波为前进波，k的波为后退波。出现强烈散射波的原因？2ankkanankankkk前进波与后退波的波长不仅相等，而且满足关系式前进波与后退波的波
8、长不仅相等，而且满足关系式na 2图5.1 一维晶格的布拉格反射格点2的散射波与格点1的散射波的波程差为2a,格点3的散射波与格点1的散射波的波程差为4a各格点产生的散射波的波程差都是波长的整数倍，各格点的散射波相互加强，形成一个很强的散射波。电子的零级波函数是前进波和反射波的线性组合 )()()(000 xBxAxkk事实上，波矢接近布拉格反射条件时，即)1(ank)1(ank代入薛定谔方程可得0)()(20222xExVdxdm利用)()()(2)()()(200002220000222xkExVdxdmxkExVdxdmkkkk得到0)()()()(0000 xVEkEBxVEkEAkk
9、2/122222/1220000414)()()()(21nnnTVTVnkEkEkEkEE其中222anmTn是一个小量。当是一个小量。当=0=0时时上式说明，电子遭受晶格最强散射时，电子有两个能态，一个高于动能Tn，一个低于动能，能差为nnVTEngVE2当0时，考虑到Tn般大于|Vn|，展开并只取到2,得到 22221ankmVTVTEnnnn22212kanmVTVTEnnnn总结以上内容，我们的要点是 1)在 处(布里渊区边界上)，电子的能 量出现禁带，禁带宽度为2|Vn|2)在 附近，能带底的电子能量与波矢 的关系是向上弯曲的抛物线，能带顶是向下弯 曲的抛物线3)在k远离 处，电子
10、的能量与自由电子的 能量相近ank/ank/an/图5.2 近自由电子的能带 图5.3 能带(a)周期性表示和简约布里渊区表示 (b)抛物线型表示 电子的能带有三种绘制方法 5.5 布里渊区 简约布里渊区内包含的波矢数目恰好等于原胞的数目；当电子的波矢落在布里渊区边界上时，电子将遭受到与布里渊区边界平行的晶面族的反射，此时电子的能带出现能隙。因此有必要对布里渊区边界作进一步的认识。一、二维方格子一、二维方格子设方格子的原胞基矢为 则倒格子的原胞基矢为 离原点最近的倒格点有四个：它们的垂直平分线围成的区域就是简约布里渊区，即第一布里渊区。是一个正方形，面积为 j aai aa21,jabiab2
11、,2212211,bbbb22*/2aS离原点次近的4个倒格子点分别是 它们的垂直平分线与第一布里渊区边界围成的区域就是第二布里渊区。离原点再远一点的倒格点有四个，分别是 它们的垂直平分线与第一、第二布里渊区边界围成的区域就是第三布里渊区。21212121,bbbbbbbb22112,2,2,2bbbb图5.5 二维方格子布里渊区5 58 8 电子的平均速度电子的平均速度 平均加速度和有效质量平均加速度和有效质量一、晶体中电子的平均速度 由量子力学可知，电子不能同时具有确定的位置和速度，但其位置和速度的平均值是确定的。电子的平均速度001)(dkdEkv通常用波包描述波矢为k的电子波包-由k0
12、为中心，在k范围内的布洛赫波函数叠加所组成的波包中心位置表示电子位置。电子运动的平均速度，相当于以k0为中心波包移动速度二、电子的平均加速度和有效质量二、电子的平均加速度和有效质量 在外力Fx作用下,晶体电子的加速度.按照力学的原理,在dt时间内电子获得的能量dE等于外力所作的功,即dtvFdExx或写成xxxxdkdEFvFdtdE1电子的加速度dtdEdkddkdEdtddtdvxxx11将 的表达示代入上式,得xxxxxxFdkEddkdEdkdFdtdEdkddtdvx2222111同牛顿定律比较xxFmdtdv*1确定电子的有效质量m*的倒数dtdE222*11xdkEdm在k0附近
13、能量较高的能带nVVmkE0202min2能带底部电子的有效质量为nVmkmm221202*底在k0附近能量较低的能带naxmVVmkE02022能带顶部电子的有效质量为122202*nVmkmm顶这是一个正的量这是一个负的量 晶体中电子的有效质量m*不同于自由电子的质量m,这是因为计入周期场的影响，这种影响主要通过布拉格反射的形式在电子和晶格之间交换动量。p 当电子从外场中获得的动量大于电子传递给晶格的 动量时，有效质量m0；p 当电子从外场获得的动量小于电子传递给晶格的动 量时mo；p 当电子从外场获得的动量全部交给晶格时m 此时电子的平均加速度为零。5 59 9 等能面等能面 能态密度能
14、态密度一、等能面 k空间内，电子的能量等于定值的曲面称为等能面对于自由电子，能量为 所以其等能面为一个个同心球面在绝对零度时，电子将能量区间 占满，称为费密能。对应能量 的等能面称为费密面kF称为费密半径也就是说，在绝对零度时，电子占满半径为kF的一个球mkE222oFE0oFEoFEmkEFF2220二、能态密度二、能态密度 单位能量间距的两等能面间所包含的量子态数目称为能态密度。21212/3224CEEhmVdEdZc式中2/3224hmVCc自由电子近自由电子近自由电子在原点附近，能态密度与自由电子相近在接近布里渊区边界，近自由电子能态密度大于自由电子能态密度，到达最大值后，能态密度迅速缩小图图5.14 自由电子和近自由电子的能态密度自由电子和近自由电子的能态密度
