1、 高三数学模拟考试（三模）试卷一、单选题1已知集合，则（）ABCD2已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（）A1B-1CD3已知双曲线：的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（）ABC2D4随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有3个完全相同的“冰墩墩”，甲、乙、丙、丁4位运动员要与这3个“冰墩墩”站成一排拍照留念，则有且只有2个“冰墩墩”相邻的排队方法数为（）A240B480C1440D28805已知二次函数的值域为，则的最小值为（）A-3B3C-4D46已知，则（）ABCD7若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（）ABCD8若
2、函数为偶函数，对任意的，且，都有，则（）ABCD二、多选题9在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试.为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为.按照，的分组作出频率分布直方图如图所示.其中，成绩落在区间内的人数为.则下列结论正确的是（）A样本容量B图中C估计该市全体学生成绩的平均分为70.6分D该市要对成绩由高到低前20%的学生授予“优秀学生”称号，则成绩为78分的学生肯定能得到此称号10已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A函数的图象可由的图象向左平移个单位得到B直线是图象的一
3、条对称轴C若，则的最小值为D直线与函数在上的图象有7个交点11已知直线与圆交于、两点，且为锐角（其中为坐标原点），则实数的取值可以是（）A5B6C7D812已知正项数列的前项和为，若，数列的前项和为，则下列结论正确的是（）A是等差数列BCD满足的的最小正整数解为10三、填空题13设随机变量，若，则 .14已知函数，则 .15在边长为的等边中，已知，点在线段上，且，则 .16已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且，则 ；设点是抛物线上的任意一点，点是的对称轴与准线的交点，则的最大值为 .四、解答题17已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）在锐角中，若，求的面积.18已知等差数列
4、的前项和为，且，数列满足.（1）求数列和的通项公式；（2）记，求数列的前项和.19如图1，在平行四边形中，以对角线为折痕把折起，使点到达图2所示点的位置，且.（1）求证：；（2）若点在线段上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.20某娱乐节目闯关游戏共有三关，游戏规则如下：选手依次参加第一、二、三关，每关闯关成功可获得的奖金分别为600元、900元、1500元，奖金可累加；若某关闯关成功，选手可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金，也可以选择继续闯关；若有任何一关闯关失败，则连同前面所得奖金全部归零，闯关游戏结束，选手小李参加该闯关游戏，已知他第一、二、三关闯关成功的概率分别为，第一关闯关成功选择继
5、续闯关的概率为，第二关闯关成功选择继续闯关的概率为，且每关闯关成功与否互不影响.（1）求小李第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率；（2）设小李所得总奖金为，求随机变量的分布列及其数学期望.21已知椭圆的左、右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，点在椭圆上，且的最大值为，椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆交于另一点（异于点），与直线交于一点，的角平分线与直线交于点，求证：点是线段的中点.22已知函数，.（1）当时，证明：；（2）若函数在内有零点，求实数的取值范围.答案解析部分1【答案】C2【答案】D3【答案】A4【答案】B5【答案】B6【答案】D7【答案】C8【答案】A9
6、【答案】B,C10【答案】B,C,D11【答案】B,C12【答案】A,C,D13【答案】0.514【答案】15【答案】16【答案】；17【答案】（1）解：因为.所以，函数的最小正周期为.（2）解：因为，所以，因为，则，可得，由余弦定理可得，即，因为，解得，此时，为最长边，角为最大角，此时，则角为锐角，所以，.18【答案】（1）解：设等差数列的公差为，则，解得，所以，当时，当时，可得，上述两个等式作差可得，也满足，故对任意的，.（2）解：由（1）可得，设，所以，所以，数列是等比数列，且首项为，公比为，因此，数列的前项和为.19【答案】（1）证明：在中，由余弦定理可得，所以，又因为四边形为平行四边
7、形，所以，在中，则，因为，平面，平面，.（2）解：因为，平面，以点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、，设，其中，设平面的法向量为，则，取，可得，易知平面的一个法向量为，由已知可得，因为，解得，所以，为的中点，因此，.20【答案】（1）解：根据题意得，小李第一关闯关成功，但所得总奖金为零的事件分为两类情况：第一种情况为：第一关闯关成功，第二关闯关失败，其概率为：；第二种情况为：第一关闯关成功，第二关闯关成功，第三关闯关失败，其概率为：；记“小李第一关闯关成功，但所得总奖金为零”为事件：则.（2）解：根据题意得：的可能取值为：0，600，1500，3000，
8、所以，所以的分布列为：060015003000所以的期望为：.21【答案】（1）解：由已知可得，解得，因此，椭圆的方程为.（2）证明：由对称性，不妨设点在轴上方.当直线的斜率存在时，因为的角平分线为，所以，所以，即，设直线的方程为，其中，联立可得，设点，则，所以，则，即点，所以，设直线的方程为，则点、，因为，则，整理可得，因为，所以，所以，所以，点为线段的中点；当直线的斜率不存在时，不妨设点，则直线的方程为，所以点，又因为直线的方程为，所以点，所以，点为线段的中点.综上可知，点为线段的中点.22【答案】（1）证明：当时，设，由，可得在单调递减，在单调递增，所以，则，即；（2）解：函数，若函数在内有零点，则函数在内至少有两个极值点，即在内至少有两个变号零点.，等价于在内至少有两个变号零点，当或时，或恒成立，则在上单调，不合题意；当时，由，可得在单调递减，在上单调递增，所以当时，在内有两个变号零点且最多两个，即，令，设，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，即在上恒成立，所以.此时即有两个零点，设为，当和时，单调递增，当时，单调递减，所以，则在上有零点，综上可得：.
