1、 平面向量的正交分解及坐标运算平面向量的正交分解及坐标运算 2.3.2-2.3.4 _,2211aeea使和的两个向量，均可以分解为不共线任意向量，对平面上的由平面向量的基本定理2211ee 来来很很大大方方便便。量量，对对于于解解决决问问题题会会带带解解为为两两个个互互相相垂垂直直的的向向情情形形，若若把把一一个个向向量量分分，垂垂直直是是一一种种很很重重要要的的在在不不共共线线的的两两个个向向量量中中一、平面向量的正交分解一、平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把做把向量正交分解向量正交分解.,_表示表示个点都可用个点都可用面直角
2、坐标系中，每一面直角坐标系中，每一思考：我们知道，在平思考：我们知道，在平示呢？示呢？的每一个向量，如何表的每一个向量，如何表那么对直角坐标平面内那么对直角坐标平面内一对有序实数（即坐标）一对有序实数（即坐标）OxyA aa 设设对于平面内任一向量对于平面内任一向量,jyix 重合重合平移，使其起点与平移，使其起点与将向量将向量_aO原点原点ij_的位置的位置固定，则其终点固定，则其终点，方向，方向的起点固定，长度固定的起点固定，长度固定则由于向量则由于向量AOAaBC也固定也固定的长吗？的长吗？，：你能求出线段：你能求出线段思考思考OCOB1yOCxOB ,标吗？标吗？的坐的坐：你能说出点：
3、你能说出点思考思考A2），（yx的的坐坐标标有有什什么么关关系系？的的坐坐标标与与向向量量：点点思思考考aA3二、平面向量的坐标表示二、平面向量的坐标表示,ajiyxji任一向量任一向量为基底，则对于平面内为基底，则对于平面内若以若以，轴方向相同的单位向量轴方向相同的单位向量轴、轴、是分别与是分别与如果如果，使得，使得有且只有一对实数有且只有一对实数yx,jyixa _,）叫做）叫做则把有序实数对（则把有序实数对（yx的坐标的坐标向量向量a记作：记作：a）（yx,_的的叫做向量叫做向量 ax_的的叫做向量叫做向量 ay横横坐坐标标纵坐标纵坐标 jia53例如，例如，)5,3(jib43)4,3
4、(jc4)4,0(id6)0,6(特别地，特别地，0）（0,0 i）（0,1 j）（1,0思考：如何求出任一向量的坐标呢？思考：如何求出任一向量的坐标呢？例例2如图，用基底如图，用基底i，j 分别表示向量分别表示向量a、b、c、d，并求它们的坐标，并求它们的坐标AA2A1三、向量坐标的求法三、向量坐标的求法坐坐标标即即为为所所求求。重重合合，则则此此时时终终点点平平移移，使使其其起起点点与与原原点点的的坐坐标标，只只需需将将向向量量想想求求平平面面内内任任一一向向量量Oaa平移法平移法.1)1,2(）（4,3aO思考：有没有更快的方法求向量的坐标？思考：有没有更快的方法求向量的坐标？练习：求下
5、图中向量练习：求下图中向量 的坐标的坐标a坐坐标标减减去去起起点点坐坐标标。对对应应的的有有向向线线段段的的终终点点的的坐坐标标，只只需需将将向向量量想想求求平平面面内内任任一一向向量量aa点坐标相减法点坐标相减法.2)1,2(）（4,3aOAB)1,2()4,3(ab)21,1()27,6(练习：求下图中向量练习：求下图中向量 的坐标的坐标ba,思考：如果两个向量相等，则他们的坐标有什么关系？思考：如果两个向量相等，则他们的坐标有什么关系？如果两个向量是相等向量，则他们的坐标也相等，如果两个向量是相等向量，则他们的坐标也相等，即向量的坐标和向量所在位置无关，只与终点坐即向量的坐标和向量所在位
6、置无关，只与终点坐标和起点坐标的差有关标和起点坐标的差有关的坐标吗？的坐标吗？你能得出你能得出思考：已知思考：已知ababayxbyxa,),(),(2211 ba),(2121yyxx ),(),(2211yxyx jyix11 jyix22 jyyixx)()(2121 同理可得同理可得 ba),(2121yyxx a),(11yx四平面向量的坐标运算四平面向量的坐标运算则则若若),(),(2211yxbyxa ba),(2121yyxxba),(2121yyxxa),(11yx向量的坐标：向量的坐标：求下列求下列：已知：已知例例),4,3(),1,2(1 baba 3ba52 ba232
7、1 例例2 已知平面上三点的坐标分别为已知平面上三点的坐标分别为A(2,1),B(1,3),C(3,4)，求点，求点D的的坐标使这四点构成平行四边形四个顶坐标使这四点构成平行四边形四个顶点点坐标。坐标。的的及及、求点求点且且：已知点：已知点例例MNNMCBCNCACMCBA,),(),(),(234313423 则则设设,0),(),(2211 yxayxb思考：什么是共线向量定理？如何用坐标思考：什么是共线向量定理？如何用坐标表示两个共线向量？表示两个共线向量？)0(/aab有且只有一个实数有且只有一个实数 ，使使ab ，使使有有且且只只有有一一个个实实数数),(),(2211yxyx 21
8、21yyxx 得：得：消去消去 01221 yxyx则则若若),(),(2211yxbyxa 五平面向量共线的坐标表示五平面向量共线的坐标表示 )0(/aab01221 yxyx的值的值求求，且，且：已知：已知例例ybayba,/),6(),2,4(4 三三点点之之间间的的位位置置关关系系判判断断，：已已知知例例CBACBA,),(),(),(4231115).,(),(,222111216yxPyxPPPP坐坐标标为为点点坐坐标标为为点点上上的的一一点点是是线线段段：设设点点例例坐标；坐标；的中点时，求的中点时，求是线段是线段当点当点PPPP21)1(坐标；坐标；求求的一个三等分点时，的一个三等分点时，是线段是线段当点当点PPPP21)2(
