1、2022 年高考理数真题试卷（全国乙卷）2022 年高考理数真题试卷（全国乙卷）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分1设全集 ，集合 M 满足 ，则（）ABCD2已知 ，且 ，其中 a，b 为实数，则（）ABCD3已知向量 满足 ，则 （）A-2B-1C1D24嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ：，依此类推，其中 则（）ABCD5设 F 为抛物线 的焦点，点 A 在 C 上，点 ，若 ，则 （）A2BC3D
2、6执行下边的程序框图，输出的 （）A3B4C5D67在正方体 中，E，F 分别为 的中点，则（）A平面 平面 B平面 平面 C平面 平面 D平面 平面 8已知等比数列 的前 3 项和为 168，则 （）A14B12C6D39已知球 O 的半径为 1，四棱锥的顶点为 O，底面的四个顶点均在球 O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）ABCD10某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 ，且 记该棋手连胜两盘的概率为 p，则（）Ap 与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关B该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大C该棋手在第二盘与乙比赛，p
3、 最大D该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大11双曲线 C 的两个焦点为 ，以 C 的实轴为直径的圆记为 D，过 作 D 的切线与 C 交于 M，N 两点，且 ，则 C 的离心率为（）ABCD12已知函数 的定义域均为 R，且 若 的图像关于直线 对称，则 （）A-21B-22C-23D-24二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13从甲、乙等 5 名同学中随机选 3 名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 14过四点 中的三点的一个圆的方程为 15记函数 的最小正周期为 T，若 ，为 的零点，则 的最小值为 16已
4、知 和 分别是函数 （且 ）的极小值点和极大值点若 ，则 a 的取值范围是 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60分三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60分17记 的内角 的对边分别为 ，已知 （1）证明：；（2）若 ，求 的周长 18如图，四面体 中，E 为 的中点 （1）证明：平面 平面 ；（2）设 ，点 F 在 上，
5、当 的面积最小时，求 与平面 所成的角的正弦值 19某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 10 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：样本号 i12345678910总和根部横截面积 0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量 0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得 附：相关系数 （1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本
6、相关系数（精确到 0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值 20已知椭圆 E 的中心为坐标原点，对称轴为 x 轴、y 轴，且过 两点 （1）求 E 的方程；（2）设过点 的直线交 E 于 M，N 两点，过 M 且平行于 x 轴的直线与线段 AB 交于点T，点 H 满足 证明：直线 HN 过定点 21已知函数 .（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；（2）若 在区间 各恰有一个零点，求 a 的取值范围 四、选考题，共 10 分请考生在第 22、
7、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分四、选考题，共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22在直角坐标系 中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为 （1）写出 l 的直角坐标方程；（2）若 l 与 C 有公共点，求 m 的取值范围23已知 a，b，c 都是正数，且 ，证明：（1）；（2）答案解析部分答案解析部分1【答案】A2【答案】A3【答案】C4【答案】D5【答案】B6【答案】B7【答案】A8【答案】D9【答案】C10【答案】D11【答案】C12【答案】D
8、13【答案】14【答案】或 或 或 15【答案】316【答案】17【答案】（1）证明：因为 ，所以 ，所以 ，即 ，所以 ；（2）解：因为 ，由（1）得 ，由余弦定理可得 ，则 ，所以 ，故 ，所以 ，所以 的周长为 .18【答案】（1）证明：因为 ，E 为 的中点，所以 ；在 和 中，因为 ，所以 ，所以 ，又因为 E 为 的中点，所以 ；又因为 平面 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以平面 平面 .（2）解：连接 ，由（1）知，平面 ，因为 平面 ，所以 ，所以 ，当 时，最小，即 的面积最小.因为 ，所以 ，又因为 ，所以 是等边三角形，因为 E 为 的中点，所以 ，因为 ，所以 ，在
9、中，所以 .以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ，所以 ，设平面 的一个法向量为 ，则 ，取 ，则 ，又因为 ，所以 ，所以 ，设 与平面 所成的角的正弦值为 ，所以 ，所以 与平面 所成的角的正弦值为 .19【答案】（1）解：样本中 10 棵这种树木的根部横截面积的平均值 样本中 10 棵这种树木的材积量的平均值 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为 ，平均一棵的材积量为（2）解：则（3）解：设该林区这种树木的总材积量的估计值为 ，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得 ，解之得 则该林区这种树木的总材积量估计为 20【答案】（1）解：设椭圆 E 的方程
10、为 ，过 ，则 ，解得 ，所以椭圆 E 的方程为：（2）证明：，所以 ，若过点 的直线斜率不存在，直线 .代入 ，可得 ，代入 AB 方程 ，可得，由 得到 .求得 HN 方程：，过点 .若过点 的直线斜率存在，设 .联立 得 ，可得 ，且 联立 可得 可求得此时 ，将 ，代入整理得 ，将 代入，得 显然成立，综上，可得直线 HN 过定点 21【答案】（1）解：的定义域为 当 时，所以切点为 ，所以切线斜率为 2所以曲线 在点 处的切线方程为（2）解：设 1若 ，当 ，即 所以 在 上单调递增，故 在 上没有零点，不合题意2若 ，当 ，则 所以 在 上单调递增所以 ，即 所以 在 上单调递增，
11、故 在 上没有零点，不合题意3若 当 ，则 ，所以 在 上单调递增所以存在 ，使得 ，即 当 单调递减当 单调递增所以当 当 所以 在 上有唯一零点又 没有零点，即 在 上有唯一零点当 设 所以 在 单调递增所以存在 ，使得 当 单调递减当 单调递增，又 所以存在 ，使得 ，即 当 单调递增，当 单调递减有 而 ，所以当 所以 在 上有唯一零点，上无零点即 在 上有唯一零点所以 ，符合题意所以若 在区间 各恰有一个零点，求 的取值范围为 22【答案】（1）解：因 l：，所以 ，又因为 ，所以化简为 ，整理得 l 的直角坐标方程：（2）解：联立 l 与 C 的方程，即将 ，代入 中，可得 ，所以 ，化简为 ，要使 l 与 C 有公共点，则 有解，令 ，则 ，令 ，对称轴为 ，开口向上，所以 ，所以 m 的取值范围为 .23【答案】（1）证明：因为 ，则 ，所以 ，即 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号（2）证明：因为 ，所以 ，所以 ，当且仅当 时取等号
