1、 高三数学二模试卷 高三数学二模试卷一、单选题一、单选题1已知集合，则（）ABCD2已知复数 z 满足，其中 i 为虚数单位，则（）A3B4C5D63已知点，向量，则向量（）ABCD4深圳是一座志愿者之城、爱心之城深圳市卫健委为了解防疫期间志愿者的服务时长（单位：小时），对参加过防疫的志愿者随机抽样调查，将样本中个体的服务时长进行整理，得到如图所示的频率分布直方图据此估计，7.2 万名参加过防疫的志愿者中服务时长超过 32 小时的约有（）A3.3 万人B3.4 万人C3.8 万人D3.9 万人5已知一个球的表面积在数值上是它的体积的倍，则这个球的半径是（）A2BC3D6若是函数图象的对称轴，则
2、的最小正周期的最大值是（）ABCD7已知，若过点可以作曲线的三条切线，则（）ABCD8过抛物线的焦点 F 作直线 l，交抛物线于 A，B 两点，若，则直线l 的倾斜角等于（）A30 或 150B45 或 135C60 或 120D与 p 值有关二、多选题二、多选题9如图，在正方体中，E 为的中点，则下列条件中，能使直线平面的有（）AF 为的中点BF 为的中点CF 为的中点DF 为的中点10已知随机变量 X 服从正态分布，密度函数，若，则（）ABC在上是增函数D11已知，则（）ABCD12P 是直线上的一个动点，过点 P 作圆的两条切线，A，B 为切点，则（）A弦长的最小值为B存在点 P，使得C
3、直线 AB 经过一个定点D线段 AB 的中点在一个定圆上三、填空题三、填空题13已知，则 14设，则的最小值为 .15已知函数是偶函数，则 16祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于 5 世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果裁得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”现已知直线与双曲线及其渐近线围成的平面图形 G 如图所示，若将图形 G 被直线所截得的两条线段绕 y轴旋转一周，则形成的旋转面的面积 ；若将图形 G 绕 y 轴旋转一周，则形成的旋转体的体积 四、解答题四、解答题17已知数列的前
4、 n 项和（1）求数列的通项公式；（2）若，求满足条件的最大整数 n18记的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知（1）证明：；（2）当时，求的面积 S19如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，M 是侧棱的中点，且平面（1）求证：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值202022 年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲
5、与乙比赛，乙赢概率为；甲与丙比赛，丙赢的概率为 p，其中（1）若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？（2）为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金 3 万元，负队获奖金1.5 万元；若平局，两队各获奖金 1.8 万元在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计 X 万元，求 X 的数学期望的取值范围21已知椭圆经过点，且焦距，线段分别是它的长轴和短轴（1）求椭圆 E 的方程；（2）若是平面上
6、的动点，从下面两个条件中选一个，证明：直线经过定点，直线与椭圆 E 的另一交点分别为 P，Q；，直线与椭圆 E 的另一交点分别为 P，Q22设函数，其中（1）讨论的单调性；（2）当存在小于零的极小值时，若，且，证明：答案解析部分答案解析部分1【答案】C2【答案】C3【答案】D4【答案】A5【答案】D6【答案】A7【答案】B8【答案】C9【答案】A,C,D10【答案】A,C,D11【答案】A,D12【答案】A,C,D13【答案】14【答案】915【答案】16【答案】；417【答案】（1）解：时，得，时，得，故是首项为 3，公比为 2 的等比数列，（2）解：由（1）得，故整理得，即，而，故的最大值
7、为 518【答案】（1）证明：由题意：因为正弦定理：，所以对于，有，整理得：，所以，因为 A，为的三个角，所以，得.（2）解：由(1)及题意可得：，则所以的面积为.19【答案】（1）证明：因为平面，所以，又底面为正方形，所以，又，所以平面，又平面 ABCD，所以平面平面；（2）解：取 AD 的中点 O，连接 PO，则平面 ABCD，则以 O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系：设 AB=2，则，所以，设平面 PBC 的一个法向量为，则，即，令，则，x=0，则，设 AM 与平面所成角，所以.20【答案】（1）解：第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：；第一场比赛，业余队安排丙
8、与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：，因为，所以，所以.所以，业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛.（2）解：由已知万元或万元.由（1）知，业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛.此时，业余队获胜的概率为，专业队获胜的概率为，所以，非平局的概率为，平局的概率为.的分布列为：4.53.6的数学期望为（万元）而，所以的取值范围为：（单位：万元）.21【答案】（1）解：由已知，点在椭圆上，所以，又因为，所以，所以椭圆的方程为：.（2）解：选，则，设，所以消去得：，所以，所以，则，所以，消去得：，所以，所以，则，所以，所以，所以直线的方程为：，所以，所以，故直线恒过定点.选，则，设，所以消去得：，所
9、以，所以，所以同理：，所以，所以所以直线的方程为：令，则故直线恒过定点.22【答案】（1）解：由当时，在上为单调递增函数.在上为单调递减函数.当时，令（i）当时，当时，此时；当时，此时；当时，此时；当时，恒成立，故在上为单调递增函数（ii）当时，或，故在和上为单调增函数，在上为单调减函数.(iii)当时，或，故在上为单调增函数，在和上为单调减函数.综上所述：当时，在上为单调递增函数.在上为单调递减函数.当时，若，在上为单调递增函数；若，在和上为单调增函数，在上为单调减函数；若，在上为单调增函数，在和上为单调减函数.（2）解：当存在小于零的极小值时，此时在上为单调递增函数，令令在上单调递增，而在在上单调递增从而在上单调递减
