1、把定积分的微元法推广到二重积分的应用中.内任取一个直径很小的闭区域 时，d 可近似地表示为 的形式，(,)df x y 其中 在),(yx所求量的积分表达式为(,)d.DUf x y d内若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性当闭区域D分成许多小闭区域时，许多部分量，并且在闭区域D所求量U相应地分成且U等于部分量之和)，(即相应地部分量d,U记为 称为所求量U的微元，(,)df x y 这个 xyzo,Dxoy 面上的投影区域为面上的投影区域为在在d,D(,)d,x y如图，设小区域 d),(yxMS 设曲面(,)zf x y 的方程为：SdAdSdAS，为截切平面dzs轴的小柱面，边界为准
2、线，母线平行于以截曲面S为dS；为S上过(,(,)M x y f x y的切平面。D则有dd.AS dd,Axoy在面上的投影为ddcos,A点 221,1xyff22d1dxyAff 221d,xyDAff曲面S的面积元素曲面面积若曲面(,),zf x y 的方程为：S则公式为：221d dxyDzzAx yxy xyzo d),(yxMS dAdSDcos ddcosA 设曲面的方程为：(,),(,)xzyh z xx zD 曲面面积公式为：d d221.z xDyyAz xzx 设曲面的方程为：(,),(,)y zxg y zy zD曲面面积公式为：d d221;yzDxxAy zyz
3、同理可得 解求球面2222xyza，含在圆柱体22xyax内部的那部分面积.例例8.218.21由对称性知14AA 曲面方程 222,zaxy 222,aaxy 于是221zzxy12224d dDax yaxy 面积12241d dxyDAzzx y 2214 d dar rar .4222aa cosa 20011niiyiniim xMxMm 11niixiniim yMyMm 设平面上有个质点，xOyn则该质点系的质心的坐标为为12,nm mm1122(,),(,),(,)nnxyxyxy处，点其中1niiMm 为质点系的总质量。它们分别位于质量分别为11,nnyiixiiiiMm x
4、 Mm y 分别为该质点系对y轴和x轴的静矩。设有一平面薄片，在点处的面密度为(,)x y(,),x y 假定在(,)x y 上连续，D在闭区域D上任取一直径很小的闭区域d(这个闭区域的面积也记作d)，(,),x yd 由于d 的直径很小，d 的质量近似于(,),x y d这部分质量可近似面上的闭区域xOy,D占有求平面薄片的质心的坐标。(,)x y 在D上连续，且薄片当薄片是均匀的，此时质心称为平面图形的形心.1d,DxxA1d.DyyAdDA其中(,d(,)d,)DDxx yxx y (,d(,)d.)DDyx yyx y 看作集中在点(,)x y上，于是静矩元素dyM及d:xMd(,)d
5、,yMxx y(,)d,yDMxx y 薄片的质心为d(,)d.xMyx y(,)d.xDMyx y 解先求区域先求区域 D的面积的面积 A，20(1 cos)d(sin)ata tt 2022)cos1(dtta.32a Da 2a)(xy例8.22(02),t (sin),(1cos)xa ttyat设平面薄板由与x轴围成，求形心坐标1,它的面密度02t 02xa ax 所以形心在上，由于区域关于直线xa 对称，,xa 即1d dDyy x yA2()001dday xxy yA 22201()d6ay xxa 2301cosd6att 5.6 5,.6a所求形心坐标为所求形心坐标为 2(
6、)001dday xyxy yA 23Aa (sin)(1cos)xa ttyat Da 2a)(xy21,nxiiiIm y 12,.nm mm1122(,),(,),(,)nnxyxyxy处，转动惯量依次为设平面上有个质点，xOyn则该质点系对于轴和轴的xy它们分别位于质量分别为21.nyiiiIm x 设有一平面薄片，假定的转动惯量。,D在点处的面密度为(,)x y(,),x y 在上连续，(,)x y D轴和轴xy求该薄片对于在闭区域D上任取一直径很小的闭区域d(这个闭区域的面积也记作d)，(,),x yd 由于d 的直径很小，d 的质量近似于(,),x y d这部分质量可近似面上的闭
7、区域xOy占有(,)x y 在D上连续，且薄片2(,)d,xDIyx y 2(,)d.yDIxx y 薄片对于 轴的转动惯量x薄片对于 轴的转动惯量y2d(,)d,xIyx y 看作集中在点(,)x y上，于是薄片对x轴及y轴的转动惯量元素为2 d(,)d.yIxx y 类似地，占有空间有界闭区域、在点(,)x y z处的密度为(,)x y z（假设(,)x y z 在 上连续）的物体对于,x y z轴的转动惯量为22()(,)d,xIyzx y zv 22()(,)d,yIxzx y zv 22()(,)d.zIxyx y zv 物体 对,xOy yOz zOx坐标面的转动惯量为2(,)d,xyIzx y zv 2(,)d,yzIxx y zv 2(,)d,zxIyx y zv 222()d.OIxyzv 物体 对坐标原点O的转动惯量为
