1、什么是高等数学什么是高等数学?初等数学 研究对象为常量常量,以静止观点研究问题.高等数学 研究对象为变量变量,以变化观点研究问题.1.分析基础:函数,极限,连续 2.微积分学:一元微积分(上册)(下册)3.向量代数与空间解析几何4.无穷级数5.常微分方程多元微积分数学中的转折点转折点是笛卡儿的变数变数.恩格斯 认识高等数学的重要性,培养浓厚的学习兴趣.学数学最好的方式是数学.聪明在于学习聪明在于学习,天才在于积累天才在于积累.学而优则用学而优则用,学而优则创学而优则创.由薄到厚由薄到厚,由厚到薄由厚到薄.马克思马克思 恩格斯恩格斯要辨证而又唯物地了解自然,就必须熟悉数学.一门科学,只有当它成功
2、地运用数学时,才能达到真正完善的地步.华罗庚华罗庚分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象研究对象 研究方法研究方法 研究桥梁研究桥梁函数、极限与连续(,)Uaxxa(,)U ax xaxa且ba,ba,ba,ba,aa()()0()f xg xg x 为函数则称使唯一的xfyxfyEyDx,()()0f xf xln()()0f xf xkxfDx)(,)()(,xfTxfDx为奇函数)()()(为偶函数)()()(xfxfxfxfxfxf)()()()(12121212xfxfxxxfxfxx严格单调递增)(单调递增xff(x)()()()(12121212xfxfxxxf
3、xfxx严格单调递减)(单调递减)(xfxf是偶函数)()()(xfxfxF是奇函数)()()(xfxfxF2)()(2)()()(xfxfxfxfxF10sgn0010 xyxxx，ge.10sgn10 xxxxx，0 xy ge.0,1,y0110 xxxyo134212)(xfy)(1xfyxy),(abQ),(baPxyo与)(xfy)(1xfyxy e,(,)xyx 对数函数),0(,lnxxy它们都单调递增,其图形关于直线xy 对称.指数函数对称.如的图形函数关于)(ufy()ux()yfxge.uyarcsin22 xuarctan arcsinexy 是由e,uy vuarct
4、anarcsinvx与复合而成eesh2xxxeech2xxxshthchxxxxy)10(aaayx且)1且0(log与aaayx.ge2,xxxx00 xx给出了几何问题的统一给出了几何问题的统一法国哲学家法国哲学家,数学家数学家,物理学家物理学家,他他 是解析几何奠基人之一是解析几何奠基人之一.1637年他发年他发表的表的几何学几何学论文分析了几何学与论文分析了几何学与 代数学的优缺点代数学的优缺点,进而提出了进而提出了“另外另外 一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法”,从而提出了解析几何学的主要思想和方法从而提出了解析几何学的主要思想和方
5、法,恩格斯把它称为数学中的转折点恩格斯把它称为数学中的转折点.把几何问题化成代数问题把几何问题化成代数问题,作图法作图法,我国在国际上享有盛誉的数学家我国在国际上享有盛誉的数学家.他在解析数论他在解析数论,自守函数论自守函数论,高维数值积分等广泛的数学领域中高维数值积分等广泛的数学领域中,程程,都作出都作出了了卓越的贡献卓越的贡献,发表专著与学术论文近发表专著与学术论文近 300 篇篇.偏微分方偏微分方多复变函数论多复变函数论,矩阵几何学矩阵几何学,典型群典型群,他对他对青年学生的成长非常关心青年学生的成长非常关心,他他提出治学之道是提出治学之道是“宽宽,专专,漫漫”,即基础要宽即基础要宽,专
6、业要专专业要专,要使要使自己的专业自己的专业知识漫到其它领域知识漫到其它领域.1984年来中国矿业大学视察时给年来中国矿业大学视察时给给师生题词给师生题词:“学而优则用学而优则用,学而优则创学而优则创”.判断函数 的奇偶性.()ln(sectan)f xxx的奇偶性试判断xx11ln)tan()lnsec()(xxxftanlnsecxxxxxxxxtansec)tan)(sectan(secln)()tanln(sectansec1lnxfxxxx1111(),()(),x xxf xx xx已知2243,)()()(xxxxxxxg(),().f g xg fx求1121)(,)(,)()
7、()(xxgxxgxgxgxgf)()()(31132xxgfxxxx时，且)()()(32132xxgfxxxx时，且)()()(41142xxgfxxxx时，且)()()(42142xxgfxxxx时，且2(cos)2sin,().fxxf x已知求cos,xt令()()()f g xh xf x，.已知求2()2 1f tt 2()3f xx于是则0aaa)(1Nx2Nxnaa恒有1xNx221limlimkkkkaaa任意性（取定以前）固定性（取定以后）()NNNN不唯一lim0,nnaaN 使当nN时，证明.0limnnx证证 0nx0)1()1(2nn2)1(1n11n,)1,0(
8、欲使,0nx只要,11n即n取,11N则当Nn 时,就有,0nx故0)1()1(limlim2nxnnnn也可由2)1(10nnx.11取11N,)1()1(2nxnnlimnnaaa 唯一limnnnaaabab 且lim00nnaaN limnnnaaa有界当nN时，有0na lim0nnaabN 当nN时，有nab()limknnnaa kaa lim()knnnaaaa k 0,0,00(,)x不唯一，000,()xxf xxx在的极限存在与否0()lim()xxf xAf xA 有0()f xxx与在0 xx当时任意性（取定以前）固定性（取定以后）无需取最大处有无定义无关0 xx21
9、1lim2.1xxx证证 Axf)(2112xx21 x故,0取,当10 x时,必有2112xx因此211lim21xxx1 xAxfAxfxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000000,xxxx xx即0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 0lim()0,0 xxf xA 00 xx当时，有()f xA0lim()0,0 xxf xA 00 xx当时，有()f xA时当XxXAxfx,0)(lim,0,0)(limXAxfx)(lim)(lim)(limxfAxfAxfxxx,0,0)(limXAxfxAxf)(有AxfXx)(时，有当AxfXx)(时，有当XXAAoxy)(x
10、fy Ax 0lim()xxf xAA唯一00lim()(,),()xxfxAU xfxM 有00lim()0(,),()0 xxf xAU xf x 有00lim()0(,),()0 xxf xAU xf x 有00lim()()(,),()()xxf xABU xf xB 有BABxfAxfxx)()()(,)(lim0000lim(),()kkknnnxxf xAaax ax k且（海涅定理）则有Aafkn)(xx1sinlim0不存在.证证 取两个趋于零的数列12 nxn及212 nxn 有1limsinnnxnnx1sinlim由定理 知xx1sinlim0不存在.limsin2 0
11、nn2limsin(2)1nn的无穷小称为则0)(,0)(lim0 xxxfxfxxi.无穷小为一个变量ii.一个非常小的数不叫无穷小iii.“0”是一个特殊的无穷小）（0)(,0 xfxxi.有限个无穷小的和、差、积，仍为无穷小ii.具有极限的函数与无穷小的关系即：iii.无穷小与有界函数的关系即：0)()(0,)(0 xfxxMxfAxfAxf)()(的无穷大称为则0)(,)(lim0 xxxfxfxxMxfxxM)(0,0,00时，有当i.无穷大为一个变量ii.一个非常大的数不叫无穷大iii.是一个特殊的无穷大）（)(,0 xfxx0)(1)()(0 xfxxxfMxfxxMxfxx)(
12、,0,0,0)(lim00有当MxfxxMxfxx)(,0,0,0)(lim00有当lim()f xAlim(),lim(),f xAg xBlim()()lim()lim()f xg xABf xg xlim()()lim()lim()f xg xA Bf xg x()lim()lim()lim()f xAf xg xBg x0B（1）（2）（3）()yf g x()yf u()ug x()f g x0 x00lim(),xxg xu0lim(),uuf uA00,00(,)xU x0(),g xu00lim ()lim()xxuuf g xf uA定理（复合函数的极限运算法则）定理（复合函
13、数的极限运算法则）设函数是由函数与函数复合而成，在点的某去心邻域内有定义，若且存在当时，有则.2x，sintanxxx第六节第六节 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限,nnncbannnnxxxnxxxnxxx111212121,222abba,21aaabba4)(2,21aa若则02x，若则sintanxxxlimlimlimnnnnnnaacba则222111lim1.2nnnnnn证证 利用两边夹准则.2221112nnnnn22nnn22nn且22limnnnn1lim1nn122limnnn21lim1nn1nnlim2221112nnnn1由第六节第六节 极限存在
14、准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限12limnnnaaaMaa11limnnnnMaaaaa第六节第六节 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限,),2,1()1(1nxnnn证明数列nx极限存在.证证 利用二项式公式,有nnnx)1(11nn 1!121!2)1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!)1()1(11)1(1!1nn)1(2n)1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n第六节第六节 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限11nx)1(1!1nn)1(2n)1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1
15、(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211!)1(1nnnnn大大 大大 正正),2,1(1nxxnn11)1(1nnnx!21!31!1n又比较可知第六节第六节 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限nx记此极限为 e,1lim(1)ennn e 为无理数,其值为e2.718281828459045即有极限.11)1(1nnnx!21!31!1n1121221121n又32121111n1213n第六节第六节 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限000()()(),(,),lim()lim()xxxxf xg xh xxU xf xAh
16、 x其中1lim(1)exxx1sinlim.10 xxx第六节第六节 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限0lim()xxg xA则1sincosxxx圆扇形AOB的面积1sinlim.10 xxx证证 当即xsin21x21xtan21亦即2sintan(0)xxxx2(0,)x时，2(0)x,1coslim0 xx1sinlim0 xxx显然有AOB 的面积AOD的面积DCBAx1oxxxcos1sin1故有第六节第六节 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限.tanlim0 xxx解解 xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0
17、 xxcos1lim01例例 求.arcsinlim0 xxx解解 令,arcsin xt 则,sintx 因此原式tttsinlim0 1lim0tttsin1.cos1lim20 xxx解解 原式=2220sin2limxxx21212120sinlimx2x2x21第六节第六节 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限1lim(1)exxx.)1(lim1xxx解解 令,xt则xxx)1(lim1ttt)1(lim1 1limttt)1(11e说明说明：若利用()1()()lim(1)e,xxx则 原式111lim(1)exxx 第六节第六节 极限存在准则极限存在准则 两个重要
18、极限两个重要极限limx.)cos(sinlim11xxxx解解 原式=2)cos(sinlim211xxxx2)sin1(lim2xxx)sin1(2xexx22sinx2sin1,11)1sin(lim1xxx,1sinlim0 xxx,111sinlimxxx,0sinlimxxx,011sinlim0 xxx1lim(1)exxx10lim(1)exxx第六节第六节 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限（等价无穷小）则,1lim0 xx的同阶无穷小称为则,0lim0cxx阶无穷小的称为则kckxx,0lim0第七节第七节 无穷小的比较无穷小的比较0lim0,xx则()o（
19、高阶无穷小）221cos1xxmxxm1)1(sin arcsin arctan tan e1ln(1)xxxxxxx0 x0)(xf()sin()()arcsin()arctan()tan()e1ln1()f xf xf xf xf xf xf x)(21)(cos12xfxf)(1)(1 xmfxfm第七节第七节 无穷小的比较无穷小的比较Axx0limAxx0lim0lim1()xxo 第七节第七节 无穷小的比较无穷小的比较.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1(tanlimxxxx2132210limxxxx例例 求解解 原式 231x221x.1cos1
20、)1(lim3120 xxx解解,0时当x1)1(312 x231x1cosx221x0limx原式32第七节第七节 无穷小的比较无穷小的比较极限极限极限极限231()1xxf xxx的极限存在.1lim)(lim211xxfxx1lim)(lim311xxfxx()f x故的极限存在极限极限20(1)1lim.xxxx求ln(1)0e1 ln(1)limln(1)xxxxxxx原式xxxxxxx)1ln()1ln()1ln(lim01)1ln(lim0 xxx极限极限3131lim.11xxx求2313(1)lim1xxxx原式3011lim11xxx求32112limxxxx1)1)(1(
21、)2)(1(lim21xxxxxx极限极限210lim(cos).xxx求1cos10lim(1cos1)xxx原式201coslim.xxx求201 coslimxxx原式2202sin2limxxx20)22sin(21limxxx2121cosxx12e20cos1limexxx极限极限!lim.nnnn 求0nnn2211122lim1,lim11nnnnnnn且0!limnnnnnnnnn321n10nnn212nn222111lim().12nnnnn求极限极限,22222,221naaa22,211aaann221nnnaaa，则假设有界故na211nnnnaaaa，则假设单调递
22、增故na存在知由单调有界数列的性质nnalimnnnnnaaaaalim),1(21,010求lim.nna求222nnaa122limlim1nnnnaa2limnna0lim)()(lim000yxfxfxxx)()(,0,000 xfxfxx时，有当0000(0)()f xf xf x或)0()0(00 xfxf)()0()0(000 xfxfxf第八节第八节 函数的连续与间断函数的连续与间断上单调且连续在反函数单调且连续在yxIyxIxfy)()(上连续，在如连续反三角函数在定义域上 11arcsin,xy在定义域上连续)1,0(aaayx在定义域上连续)1,0(logaaayx第九节
23、第九节 连续函数的运算与性质连续函数的运算与性质连续在00)(),(xxxfybax)()0()()0(),(bfbfafafba，内连续且)(max)(),(min)(,)(1010 xfxfxfxfbaxbaxbaxfy使上连续在cfbaMcmbaxfy)(,)(使上连续，在cfbabfcafbaxfy)(,)()(,)(使上连续，在第九节第九节 连续函数的运算与性质连续函数的运算与性质0)(),(0)()(,)(fbabfafbaxfy使上连续，在,)(,0,)(baxMxfMbaxfy使上连续在设xyo第九节第九节 连续函数的运算与性质连续函数的运算与性质连续连续连续连续bababxa
24、x并且不超过则至少存在一个正根，证明方程0,0,sin,0,sin)(baxxbxaxf令00)()1baxbaf，则方程的根为若0)0(bfabaabaf)sin()(0 1)sin(baa0)(,0)0(,0)()2baffbaf若0)(),0(fba使由零点存在定理babxax过至少有一个正根且不超sin连续连续时1x)1()(lim)(lim)(11fxfxfxfxx连续)1(1,211bababa即故)1()(lim)(lim)(11fxfxfxfxx连续10),2(1,211babababa则解得即故bxaxxf2)(时1xxxf1)(21)1(baf21)1(baf2122()lim1nnnxaxbxf xx连续，求a,b.考察定义域 为连续连续)(lim0 xfxx的极限情况()xkf x因此是的第二因此是的可去间断点求f(x)的定义域x0且在 内有定义D0(,)U x()sinxf xx求函数的间断点.若则而0lim1sinxxxxk若则而limsinxkxx 间断点)0(),0(),0(),0(1100 xfxfxfxfnnnxxxf2211lim)(1)01(,1)01(ff1)01(,1)01(ff1,1()xxf x 是的1)(1xfx时，1)(1xfx时，连续连续求函数的间断点.跳跃间断点时，f(x)无定义1x
