1、 定义定义8.2 (,)f x y z是空间有界闭区域是空间有界闭区域 上的有界上的有界函数。函数。将将 任意分成任意分成n个小区域个小区域12,nvvv其中其中iv 表示第表示第i个小闭区域，也表示它的面积。个小闭区域，也表示它的面积。在在每个每个iv 上任取一点上任取一点(,),iii 作乘积作乘积iiiivf ),(1,2,),in 并作和并作和1(,).niiiiifv 若当各小闭区域直径中的最大值若当各小闭区域直径中的最大值 趋于零时，这和式趋于零时，这和式的极限总存在，的极限总存在，则称此极限为则称此极限为(,)f x y z在闭区域在闭区域 上的三重积分。上的三重积分。(,)d,
2、f x y zv 记作记作即即(,)df x y zv 01lim(,).niiiiifv 体积元素体积元素.ijklvxyz 则则如果如果用平行于坐标面用平行于坐标面的平面的平面在直角坐标系中，在直角坐标系中，来划分来划分,01(,)d d dlim(,)niiiiif x y zx y zfv 三重积分记为三重积分记为叫做直角坐标系中的体叫做直角坐标系中的体积元素。积元素。其中其中d d dx y z三重积分具有与二重积分类似的性质。三重积分具有与二重积分类似的性质。xyzo Dab)(1xyy )(2xyy ),(yx如图，11:(,),Szzx y,),(作直线作直线过点过点Dyx 穿
3、出穿出穿入，从穿入，从从从21zz闭区域 在xOy面上的投影为闭区域.D22:(,),Szzx y 2S),(2yxzz 1S),(1yxzz 1z2z函数，则函数，则的的只看作只看作看作定值，将看作定值，将先将先将zzyxfyx),(,d(,)(,)F x yf x y zz 上的二重积分上的二重积分在闭区间在闭区间计算计算DyxF),(21(,)(,)(,)d(,)dd.zx yzx yDDF x yf x y zz 12:()(),D y xyyxaxb 得 12(,)(,)(,),(,)x y z z x yzzx yx yD xyzo Dab)(1xyy )(2xyy ),(yx2S
4、),(2yxzz 1S),(1yxzz 1z2zxyzo Dab)(1xyy )(2xyy ),(yx2S),(2yxzz 1S),(1yxzz 1z2z1(,)zx y2(,)zx y(,)df x y zv 2211()(,)()(,)dd(,).dbyxzx yayxzx yxyf x y zz 上式把三重积分化为先对z、次对y、最后对x的三次积分。于两点情形相交不多的边界曲面直线与闭区域S内部的轴且穿过闭区域这是平行于z也可以把 投影到yOz面上或xOz面上，可把三重积分化为其它顺序的三次积分。若平行于坐标轴且穿过 内部时直线与边界曲面的交点多于两个，上的三重积分化为各个部分闭区域上的
5、三重积分的和。此方法称为坐标面投影法或穿线法。分成若干部分，把 使 0,r 02,.z规定：xyzo),(zyxM(,)P r r为空间内一点，设(,)M x y z则这样的三的极坐标为面上的投影xOyP,r 的柱面坐标就叫点个数,rz M在M并设点 cos,sin,.xryrzz 柱面坐标与直角坐标为常数为常数z为为常常数数 如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平 面),(zyxM(,)P r rzxyzo为常数r的关系为d(,)d df x y zx y z(cos,sin,d d).df rrz r rz rxyzodzdrddr 如图，柱面坐标系中的体积元素为dd d d,vr rz
6、变换以后的三重积分再化为三次积分。化三次积分时，根据,rz 在积分区域 中的变化范围来确定。一般地，当积分区域为圆柱体、扇形柱体、圆环柱体或被积函数为22(,)f xyz 时可采用柱面坐标法。解22243rzrz 1,3,zr知交线为d d d,Iz x y z 例8.17 计算 其中是球面 2224xyz223xyz与抛物面所围的立体。cossinxryrzz 由柱坐标变换2243rzr ，03,r:02.d d dIz x y z .413 d d drr z z 24 r 23r2003解旋旋转转面面方方程程为为,222zyx 所围成的立体如图，例例8.188.18 22()d d dI
7、xyx y z计算，其中zy22 0 xoz是曲线 ，绕轴旋转一周而成的曲面与两平面所围的立体。2,8zz由220yzx 绕 oz 轴旋转得，:D2216,xy(,)|02,02,28rzrz 所围成立体的投影区域如图，在柱面坐标系下222xyz22()d d dIxyx y z 22482022dddrrrr z 2282002dddrrr z 336.D2(,)|02,24,2,8rrzrz 的球面坐标称为点 M来确定，次序的数,r 距离，轴正向所夹的角，与为有向线段 OM z 为的角，方向转到有向线段OP 投影，轴按逆时针轴来看自从正zx面上的在点为MP这里xOy Oxyzr 为空间内一
8、点，设(,)M x y z可用三个有M则点为原点O与点M 间的r其中个数,r 这样的三(,)M x y zP 0,r 02.0,规定：为常数为常数r为常数为常数 为常数为常数 如图，三坐标面分别为圆锥面；球面；半平面xyzxyxyzxyxyzxy .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐标与直角坐标的关系为如图，zyxPyzo),(zyxMr AMxoyP设设点点在在面面上上的的投投影影为为，,OAx 则则PxA点点在在轴轴上上的的投投影影为为，,APy.PMz (,)d d df x y zx y z (sincos,sinsin,cos)f rrr 球面坐标系中的体积元素2
9、dsin d d d,vrr rxyzo ddrsinrd rd d d sinr如图，一般地，当积分区域为球体、半球体、锥面与球面围成的立体或被积函数为222()f xyz可采用球面坐标计算。2sin.rdrd d az ,cosar 222zyx ,4:例例8.198.19 计算 22()d d dIxyx y z,其中 是锥面222zyx 与平面az )0(a所围的立体.解法1采用球面坐标02,0,cosar 0,4 22()d d dIxyx y z d d dr 5345012sin(0)d5 cosa 5.10a 20400cosa 222sinsinrr 22()d d dIxyx y z2200dddaarrrzr 302()dararr 45245aaa5.10a 222zyx ,zr:0,02,ra 解法2 采用柱面坐标za D,rza 解,2ar ,4:02,0,02,4ra 例8.20 求曲面22222xyza与22zxy 所围成的立体体积.W 由锥面和球面围成，采用球面坐标，由22222azyx 22yxz 4220200dddsinaVrr 340(2)2sind3a 34(21).3a由三重积分的性质知由三重积分的性质知 V d d d,x y z
