1、第二讲 空间平面方程高等数学（下册）第八章 向量代数与空间解析几何本讲内容01空间平面方程表示两平面的位置关系02点到平面的距离03一、空间平面方程表示31.平面的点法式方程定义显然，一个平面的法线向量不唯一，且法线向量与平面上的任何一个向量都垂直.一、空间平面方程表示41.平面的点法式方程xyzOn0M M 一、空间平面方程表示50000(,)Mxyz我们称这个方程为过定点，法线向量为的平面 的点法式方程.n (,)M x y z如图所示 设为平面上的任一点根据 ，0,M M 法线向量的定义得所以n0,0M M=n0000,M Mxxyyzz 由于因此有，000()()(8.1)()0A x
2、xB yyC zz 8.1方程（）对于平面上的所有点都成立对于，.唯一确定了这个平面8.1不在平面上的点就不成立所以方程（），xOyznM0M一、空间平面方程表示6 1例 解0(1,1,2)2,1,4M求过点且垂直于向量 的平面方程n2490.xyz(8,1),由平面的点法式方程得所求平面的方程为2(1)1(1)4(2)0 xyz ，整理得一、空间平面方程表示7 2例 解123(2,1,4)(1,3,2)(0,332)MMM求过 个点 的平面 的方程，12139,34614231=M MM M=ijk nijk1213 M MM M解法一 所求平面的法向量同时垂直于与因此可取，12131213
3、M MM MM MM M与的向量积为该平面的一个法向量即，n1213,M MM M n=由于1213 3,4,6 2,3,1M MM M ，因此一、空间平面方程表示8 2例 解123(2,1,4)(1,3,2)(0,332)MMM求过 个点 的平面 的方程，149150.xyz因此所求平面的方程为14(2)9(1)(4)0 xyz，化简得一、空间平面方程表示9 2例 解123(2,1,4)(1,3,2)(0,332)MMM求过 个点 的平面 的方程，149150.xyz1(,3 )M x y zM M解法二 设点为平面上任意一点则 个向量，1213112130,.8.2M MM MM M M
4、M M M 与共面 根据定理得混合积，即2143460231xyz，化简得一、空间平面方程表示10 2例 解123(2,1,4)(1,3,2)(0,332)MMM求过 个点 的平面 的方程，.上式称为平面的三点式方程(,)(1,2,3),3kkkkMxyzk 一般地 过不共线的 个点 的平面方程为111212121313131,0 xxyyzzxxyyzzxxyyzz 一、空间平面方程表示112.平面的一般式方程,.8 2A B C称式为平面的一般式方程其中为平面的一个法向量，n=8.1 平面的点法式方程可化为000()0AxByCzAxByCz ，000()DAxByCz 令得，.8.20A
5、xByCzD 一、空间平面方程表示121.00DAxByCz（）若 时平面 过原点，几个特殊平面xyz一、空间平面方程表示13(2)平行于坐标轴的平面.x表示过 轴的平面00AByCzD当时平面 的法向量，0,.B Cxx垂直于 轴所以平面平行于 轴，n00DByCz特别地当 时平面，0.C 特点：0AxCzDy同理平面平行于 轴，0B 特点：0ByDAxz平平行于面轴，xyzOxyzOxyzO一、空间平面方程表示14xyzxyzOxyzO(3)平行于坐标面的平面xOy平行于 平面.0.BC特点：0.AC特点：00,DABCzDzC 当 时平面即，xy此平面既平行于 轴又平行于 轴即，0AxD
6、yOz同理，平面平行于平面，0zByDOx平平行于面轴，一、空间平面方程表示15 3例 解(3,0,2)(1,2,4)ABx求过两点 且与 轴平行的平面方程，3 20 yz整理得 xAB 解法一 由已知所求平面的法向量同时与和 轴垂直即法向，4,2,61,0,0ABAB 量同时与和垂直因此可取，i=i 作为该平面的一个法向量0 26464242606201010100AB ijk ni=ijkijk 由平面的点法式方程得0(3)6(0)2(2)0 xyz，一、空间平面方程表示16 3例 解(3,0,2)(1,2,4)ABx求过两点 且与 轴平行的平面方程，.320yz 0.xBxCzD解法二
7、设与轴平行的平面方程为 依题意 (3,0,2)(1,2,4)20,ABCD点和点满足上述方程故，240BCD解得，.2,3DC BC 所以平面方程为一、空间平面方程表示173.平面的截距式方程.z和 轴上截距(,0,0)(0,0)(0,0,)(0)A aBbCc abc 若平面过三点如图所示，根据平面的三点式方程得0 00 xayzabac，化简整理得31 8.xyzabc 8 3,.a bxcy式称为平面的其中 分别称为平面在 轴 轴，截距式方程C（0,0,c）B（0,b,0）yA（a,0,0）xzO本讲内容01空间平面方程表示两平面的位置关系02点到平面的距离0302二、两平面的位置关系1
8、9定义 两平面法线向量的夹角 通常指锐角和直角称为两平面的夹角.（）2222,ABC n.设有两个平面的方程分别为11111111:0A xB yC zDABC（不同时为零），22222222:0A xB yC zDABC（不同时为零），则两平面的法向量分别为1111,ABC，n121n2n二、两平面的位置关系208.4式（）就是两平面夹角的公式.12,根据两向量夹角余弦的公式 平面 和 的夹角 的余弦为121212|c oscos,|n nnnnn121212222222111222.8.4|A AB BC CABCABC （）二、两平面的位置关系2111112222 ABCDABCD特别地
9、当时两平面重合，两平面的位置特征：121212121.00A AB BC C两平面垂直n n 11111222222ABCDABCD两平面平行nn二、两平面的位置关系22 4例 解 260250.xyzxyz求两平面和的夹角.3因此两平面之间的夹角为，121,1,228,1,.1 4根据公式()得，nn2222221 2(1)12 11c.os21(1)2211 本讲内容01空间平面方程表示两平面的位置关系02点到平面的距离0303三、点到平面的距离240 M外的一点求点 到 的距离，0000(,)0MxyzAxByCzD在空间直角坐标系中设点 是平面：，1000010222|j PrM MAxByCzDdM MABC (8.5)nnn10MM在平面上任取一点 如图所示则点 到平面 的距离为，1nM0M1d二、两平面的位置关系25 5例 解310350 xyzxyz 求两个平行平面与间的距离.222 66 11.11113d 310(1,0,0)xyz 在平面上选取一点 由点到平面的，8.5距离公式（）得学海无涯，祝你成功！高等数学（下册）
