1、第七章 向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量向量第二节第二节 数量积数量积 向量积向量积第三节第三节 平面及其方程平面及其方程第四节第四节 空间直线及其方程空间直线及其方程第五节第五节 曲面及其方程曲面及其方程第六节第六节 曲线及其方程曲线及其方程第一节 向量一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系二、向量的概念二、向量的概念三、向量的线性运算三、向量的线性运算四、向量的坐标四、向量的坐标x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向三个坐标轴的正方向符合符合右手系右手系.即即以以右右手手握握住住z轴轴，当当右右手手的的四四个个手手指指从从正正向向x
2、轴轴以以2 角角度度转转向向正正向向y轴轴时时，大大拇拇指指的的指指向向就就是是z轴轴的的正正向向.一、空间直角坐标系xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有八个卦限空间直角坐标系共有八个卦限三个坐标平面将整个空间分成八个部分空间三个坐标平面将整个空间分成八个部分空间空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 11特殊点的表示特殊点的表示:)0,0,0(O坐标原点),(zyxM xyzo)0,0,(xP)0,0(yQ),0,0(zR)0,(yxA),0(zyB),(zoxC坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,A,B,C设设M M是空间的一点是空间的一
3、点,过点过点M M做平行于坐标面的三个平面做平行于坐标面的三个平面,该三个平面与坐标轴的三个截距值该三个平面与坐标轴的三个截距值x,y,zx,y,z就是点就是点M M的坐标的坐标.设设),(1111zyxM、),(2222zyxM为为空空间间两两点点xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd,222212NMPNPMd 过点过点M1,M2 分别作平行于坐标面的平面分别作平行于坐标面的平面,形成一个形成一个六面体六面体.,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地：特殊地：若两点
4、分别为若两点分别为,),(zyxM)0,0,0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M二、向量的概念向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量.向量表示：向量表示：以以1M为起点，为起点，2M为终点的有向线段为终点的有向线段.1M2M a21MM模长为模长为1 1的向量的向量.21MM00a零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量.0|a21MM|向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小.单位向量：单位向量：或或或或或或自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量.相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量.向量平行向量
5、平行 方向相反或者方向相同的向量方向相反或者方向相同的向量a ab零向量和任何向量都平零向量和任何向量都平行行.三、向量的线性运算加法：加法：cba ababa ba(1)平行四边形法则平行四边形法则(2)三角形法则三角形法则向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：.abba （2 2）结合律：）结合律：cbacba )().(cba 多个向量相加，可以按照三角形法则多个向量相加，可以按照三角形法则.负向量负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量.aa（一）（一）向量的加减法向量的加减法)(baba 减法减法：abb b babac
6、)(cabba ba.0)(aa特例：特例：（二）（二）向量与数的乘法向量与数的乘法向量向量 与实数与实数 的乘积记作的乘积记作a a,0)1(a 与与a同同向向，|aa ,0)2(0 a,0)3(a 与与a反向，反向，|aa aa2a21 数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：)()(aa a)(（2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(,规定 是一个向量.a四、向量的坐标（一）（一）向量在轴上的投影向量在轴上的投影类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向
7、量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值.0()设有两个非零向量设有两个非零向量，任取空间一，任取空间一点点O O，作，作OA=,OB=，规定不超过，规定不超过的的AOB(设设=AOB，O O)称为称为向向量量与与的夹角的夹角 .oAB),(),(记作记作 AA.uOe 过点过点 作轴作轴 的垂直平面，交点的垂直平面，交点即为点即为点 在轴在轴 上的投影上的投影.AAuAru设设 ，则数，则数 称为向量称为向量 在在 轴上的投影，记作轴上的投影，记作 或或 .eOM rrjuPrur)(设设),(zyxaaaa 则则,Pra
8、jaxx,Prajazz,Prajayy 或记作或记作,)(xxaa,)(yyaa.)(zzaa u 向量向量AB在轴在轴 l 上的投影等于向量的模乘上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：以轴与向量的夹角的余弦：ABjlPr cos|AB 证证lABA B B ABjlPrABjlPr cos|AB l性质性质1(投影定理投影定理)向量的投影具有下列性质：向量的投影具有下列性质：性质性质1 1的说明：的说明：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；u(4)相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等；0)1(,2 2)2(,)3(,2 两两个个向向量量的的
9、和和在在轴轴上上的的投投影影等等于于两两个个向向量量在在该该轴轴上上的的投投影影之之和和.PrPr)(Pr jjj AA BB CC l 性质性质2 由下面图形很容易证明该性质由下面图形很容易证明该性质.Pr.PrPr).(Pr jjjj 推广推广：性质性质3 向量与数的乘积在轴上的投影等于向量在轴向量与数的乘积在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘积，即上的投影与数的乘积，即 PrjPrjl=Prj=Prjl证证 设设与与l 轴的夹角为轴的夹角为 ，01=1=-00时，时，1 1=Prjl由性质由性质1，Prj()=|cos(1 1)=|cos当当001=1=-注通过点M0(x0,y0,x
10、0),方向向量为s(m,n,p)的直线方程:v直线的参数方程 设pzznyymxx000t,得方程组 ptzzntyymtxx000.此方程组就是直线的参数方程.pzznyymxx000.t,得方程组 三、两直线的夹角 两直线的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两直线的夹角.设直线L1和L2的方向向量分别为 s1(m1,n1,p1)和s2(m2,n2,p2),|),cos(|cos21ss 222222212121212121|pnmpnmppnnmm.方向向量分别为(m1,n1,p1)和(m2,n2,p2)的直线的夹角余弦:222222212121212121|cospnmpnmppnnmm.
11、v两直线垂直与平行的条件 设有两直线 L1 L2m1m2n1n2p1p20;则L1:111111pzznyymxx,L2:222222pzznyymxx,L1 L2212121ppnnmm.当直线与平面不垂直时,直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角,当直线与平面垂直时,规定直线与平面的夹角为90.提示：四、直线与平面的夹角 设直线的方向向量为s(m,n,p),平面的法线向量为n(A,B,C),则直线与平面的夹角 满足 222222|sinpnmCBACpBnAm.|),(2|ns,|),cos(|sinns.方向向量为(m,n,p)的直线与法线向量为(A,B,C)的平面的夹角
12、满足 222222|sinpnmCBACpBnAm.设直线L的方向向量为s(m,n,p),平面 的法线向量为n(A,B,C),则 L/AmBnCp0.L pCnBmA;v直线与平面垂直和平行的条件 设直线L的方向向量为s(m,n,p),平面 的法线向量为n(A,B,C),则 L/AmBnCp0.L pCnBmA;第五节 曲面及其方程一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋转曲面二、旋转曲面三、柱面三、柱面四、二次曲面四、二次曲面 在空间解析几何中,任何曲面都可以看作点的几何轨迹.一、曲面方程的概念那么,方程F(x,y,z)0就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程F(x,y,z)0的图形.(1
13、)曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x,y,z)0;(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x,y,z)0,v曲面方程的定义 如果曲面S与三元方程 F(x,y,z)0有下述关系:例1 建立球心在点M0(x0,y0,z0)、半径为R的球面的方程.解 设M(x,y,z)是球面上的任一点,那么|M0M|R,或 (xx0)2(yy0)2(zz0)2R2.因为球面上的点的坐标一定满足上述方程,而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程,所以上述方程就是所求的球面的方程.即Rzzyyxx202020)()()(,(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,建立这曲面的方程;(2)已知坐标x、y和z间的一个方程时,
14、研究这方程所表示的曲面的形状.v研究曲面的两个基本问题 旋转曲面的方程为 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面,这条定直线叫做旋转曲面的轴.设yOz平面上有一曲线C,它的方程为f(y,z)0.曲线C绕z 轴旋转一周得到一个旋转曲面.提问:曲线f(y,z)0绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程是什么？0),(22zyxf.二、旋转曲面 例2 试建立顶点在坐标原点O,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面的方程.解 在坐标面yOz内,与z轴夹角为的直线的方程为zycot,或 z2a2(x2y2),这就是所求的圆锥面的方程,其中acot.曲线f(y,z)0绕 z 轴旋转所得到的旋转曲面
15、的方程为 将方程 zycot中的 y 改成22yx,得 0),(22zyxf.cot22yxz,例3 方程x2y2R2表示怎样的曲面？三、柱面 在空间直角坐标系中,过xOy面上的圆x2y2R2作平行于z轴的直线l,则直线l上的点都满足方程x2y2R2,这说明直线l 一定在x2y2R2表示的曲面上.因此这个曲面可以看成是由平行于z轴的直线l沿xOy面上的圆x2y2R2移动而形成的.这曲面叫做圆柱面,xOy面上的圆x2y2R2叫做它的准线,这平行于z轴的直线l叫做它的母线.解 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面,定曲线C叫做柱面的准线,动直线L叫做柱面的母线.v柱面 上面我们看
16、到,不含z的方程x2y2R2在空间直角坐标系中表示圆柱面,它的母线平行于z轴,它的准线是xOy面上的圆x2y2R2.一般地,只含x、y而缺z的方程F(x,y)0,在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面,其准线是xOy面上的曲线C:F(x,y)0.方程y22x表示母线平行于z轴的柱面,它的准线是xOy面上的抛物线y22x,该柱面叫做抛物柱面.方程xy0表示母线平行于z轴的柱面,其准线是xOy面的直线xy0,所以它是过z轴的平面.v柱面举例 在空间直角坐标系中,方程G(x,z)0和方程H(y,z)0分别表示什么柱面？方程 xz0表示什么柱面？讨论 方程G(x,z)0表示母线平行于y轴的柱面.方
17、程H(y,z)0表示母线平行于x轴的柱面.方程xz0表示母线平行于y轴的柱面,其准线是zOx面上的直线xz0.所以它是过y轴的平面.提示 四、二次曲面1.椭圆锥面 的面为由方程22222zbyax所表示曲称椭圆锥面.截痕 1)()(2222btyatx.倍即得椭圆锥面轴方向伸缩沿把圆锥面abyzayx 2222.当t0时,截痕为平面zt上的椭圆 当t0时,截痕为一点(0,0,0);椭圆锥面与平面zt的截痕:椭圆锥面的形成 研究曲面的截痕法研究曲面的截痕法 研究曲面的伸缩变形法研究曲面的伸缩变形法 倍轴方向伸缩再把旋转椭球面沿aby ,2.椭球面 的面由方程1222222czbyax所表示曲称为
18、椭球面.倍轴方向伸缩沿把球面aczazyx 2222,得旋转椭球面 122222czayx,得椭球面 1222222czbyax.椭球面的形成 第六节 曲线及其方程一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程空间曲线空间曲线可以看作两个曲面的交线可以看作两个曲面的交线.设设 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程 0,zyxF 0,zyxG和和 是两个曲面的方程是两个曲面的方程,它们的交线为它们的交线为C(图图7-44).0,0,zyxGzyxF(1)因为曲线因为曲线C上的任何点的坐标应上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程同时满足这两个曲
19、面的方程,所以应满足方程组所以应满足方程组xozy1S2SC图图7-44 反过来反过来,如果点如果点M不在曲线不在曲线C上上,那么它不可能同时那么它不可能同时在两个曲面上在两个曲面上,所以它的坐标不满足方程组所以它的坐标不满足方程组(1).因此因此,曲线曲线C可以用方程组可以用方程组(1)来表示来表示.方程组方程组(1)叫做叫做空间曲线空间曲线C的一般方程的一般方程.二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 空间曲线空间曲线C的方程除了一般方程之外的方程除了一般方程之外,也可以用参数形式也可以用参数形式表示表示,只要将只要将C上动点的坐标上动点的坐标x，y，z表示为参数表示为参数t的函数的
20、函数:.,tzztyytxx(2)当给定当给定 1tt 时时,就得到就得到C上的一个点上的一个点 111,zyx随着随着t的变动便可得曲线的变动便可得曲线C上的全部点上的全部点.方程组方程组(2)叫做空间叫做空间曲线的参数方程曲线的参数方程.绕绕z轴旋转轴旋转,同时又以线速度同时又以线速度v沿平行于沿平行于z轴的正方向上升轴的正方向上升(其其中中 都是常数都是常数),那么点那么点M构成的图形叫做螺旋线构成的图形叫做螺旋线.试建立试建立例例 如果空间一点如果空间一点M在圆柱面在圆柱面 222ayx 上以角速度上以角速度 v,其参数方程其参数方程.解解 取时间取时间t为参数为参数.设当设当 0 t
21、时时,0,0,aA处处.经过时间经过时间t,动点由动点由A运动到运动到 zyxM,(图图7-47).动点位于动点位于x轴上的一点轴上的一点 A MM t xyzo图图7-47h记记M在在xOy面上的投影为面上的投影为 M,M 的坐标为的坐标为.0,yx 由于动点在圆柱面上以角速度由于动点在圆柱面上以角速度 绕绕z轴旋转轴旋转,所以经过时间所以经过时间t,tMAO .sinsintaMAOMOy 从而从而,coscostaMAOMOx 由于动点同时以线速度由于动点同时以线速度v沿平行于沿平行于z轴的正方向上升轴的正方向上升,所以所以vtMMz 因此螺旋线的参数方程为因此螺旋线的参数方程为 .,s
22、in,cosvtztaytax 也可以用其他变量作参数也可以用其他变量作参数;例如令例如令 t ,则螺旋线的参数则螺旋线的参数方程可写为方程可写为 .,sin,cos bzayax这里这里 vb ,而参数为而参数为 螺旋线是实践中常用的曲线螺旋线是实践中常用的曲线.例如例如,平头螺丝钉的外缘曲线平头螺丝钉的外缘曲线就是螺旋线就是螺旋线.当我们拧紧平头螺丝钉时当我们拧紧平头螺丝钉时,它的外缘曲线上的它的外缘曲线上的任一点任一点M,一方面绕螺丝钉的轴旋转一方面绕螺丝钉的轴旋转,另一方面又沿平行于另一方面又沿平行于轴线的方向前进轴线的方向前进,点点M就走出一段螺旋线就走出一段螺旋线.螺旋线有一个重要性质螺旋线有一个重要性质:当当 从从 0 变到变到 0时时,z由由 0 b变到变到 bb 0特别是当特别是当MO 转过一周转过一周,即即 2 时时,M点就上升固定的点就上升固定的高度高度bh 2.这个高度这个高度 bh 2 在工程技术上叫做螺距在工程技术上叫做螺距.这说明当这说明当 MO 转过角转过角 时时,M点沿螺旋线点沿螺旋线上升了高度上升了高度 b即上升的高度与即上升的高度与 MO 转过的角度成正比转过的角度成正比.,
