1、高 等 数 学 第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节导数的概念第四节隐函数、幂指函数以及参数式函数的导数第五节高阶导数第六节微分的概念、基本公式及运算法则函数的和、差、积、商的求导法则第二节极限反函数的导数与复合函数的导数的运算第三节第七节微分在近似计算中的应用 第一节第一节 导数的概念导数的概念 引例一1.1.变速直线运动的速度问题变速直线运动的速度问题通常我们所说的物体运动速度是指物体在一段时间内的平均速度。例如，一辆汽车从甲地出发到达乙地，全程200千米，行驶5小时，则汽车的行驶速度是40千米/小时，这仅是回答了汽车从甲地到乙地运行的平均速度。而事实上，汽车的行驶速度有快有慢，如下坡
2、时快些，上坡时慢些，即汽车每时每刻的速度是变化的。一般来说，平均速度并不能反映汽车在某一时刻的瞬间速度。随着科学技术的发展，仅仅知道物体运动的平均速度远远不够，例如研究子弹的穿透能力，必须知道弹头接触目标时的瞬时速度。知道了物体的运动规律，怎样计算物体运动的瞬时速度呢？第一节第一节 导数的概念导数的概念 第一节第一节 导数的概念导数的概念 2.曲线的切线问题圆的切线可定义为“与曲线只有一个交点的直线”。但是对于其他曲线,用“与曲线只有一个交点的直线”作为切线的定义就不一定适合。例如,对于抛物线y=x2,在原点O处两个坐标轴都符合上述定义,但实际上只有x轴是该抛物线在点O处的切线。下面给出切线的
3、定义。设有曲线C及C上的一点M,在点M外另取C上一点N,作割线MN。当点N沿曲线C趋于点M时,如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线。第一节第一节 导数的概念导数的概念 点M0(x0,y0)是曲线y=f(x)上一个点,在点M外另取曲线上一点M(x0+x,y0+y)作割线MM0,如图2-1所示。图2-1 第一节第一节 导数的概念导数的概念 导数的定义二 第一节第一节 导数的概念导数的概念 第一节第一节 导数的概念导数的概念 如果函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点都可导,则称为函数y=f(x)在区间(a,b)内可导。这时,对于区间(a,b)内每一点x,函
4、数都有一个确定的导数值与之对应,这样就构成了一个新的函数,称为y=f(x)的导函数,简称为导数。第一节第一节 导数的概念导数的概念 导数的几何意义三根据曲线的切线斜率的求法及导数的定义可知：函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)表示曲线y=f(x)上点M(x0,f(x0)的切线斜率,如图2-2所示。图2-2 第一节第一节 导数的概念导数的概念 第一节第一节 导数的概念导数的概念 可导的充要条件四 第一节第一节 导数的概念导数的概念 所以f(0)不存在。即函数在点x=0处不可导。但该函数在点x=0处是连续的,如图2-3所示。图2-3 第一节第一节 导数的概念导数的概念 可导与连续的关系五 第
5、一节第一节 导数的概念导数的概念 即函数在点x=0处不可导。如图2-4所示。图2-4第二节第二节 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则前面我们根据导数的定义，求出了一些简单函数的导数。但是,对于比较复杂的函数,直接根据定义来求它们的导数往往很困难,在本节和下节中,将介绍求导数的几个基本法则和基本初等函数的导数公式。借助于这些法则和公式就能方便地求出常见的函数-初等函数的导数。函数的和、差、积、商的导数一第二节第二节 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则第二节第二节 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则第二节第二节 函数的和
6、、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则第三节第三节 反函数的导数与复合函数的导数反函数的导数与复合函数的导数反函数的导数一第三节第三节 反函数的导数与复合函数的导数反函数的导数与复合函数的导数第三节第三节 反函数的导数与复合函数的导数反函数的导数与复合函数的导数复合函数的导数二第三节第三节 反函数的导数与复合函数的导数反函数的导数与复合函数的导数从以上例子看出，应用复合函数求导法则时，首先要分析所给函数可看作由哪些函数复合而成，或者说所给函数能分解成那些函数。如果所给函数能分解成比较简单的函数，而这些简单函数的导数我们已经会求，那么应用复合函数求导法则就可以求所给函数的导数了。第
7、三节第三节 反函数的导数与复合函数的导数反函数的导数与复合函数的导数哪些函数的导数我们已经会求了呢？首先，常数以及基本初等函数的导数我们已经会求了。其次，应用函数的和、差、积、商的求导法则，常数与基本初等函数的和、差、积、商的导数也会求了。所以，如果一个函数能分解成基本初等函数，或常数与基本初等函数的和、差、积、商，我们便可求它的导数。第三节第三节 反函数的导数与复合函数的导数反函数的导数与复合函数的导数第四节第四节 隐函数、幂指函数以及参数式函数的导数隐函数、幂指函数以及参数式函数的导数隐函数的导数一以前研究的函数,大多数可以把函数y表示成自变量x的函数,即y=f(x),如y=3x+1,y=
8、lnx+sin等,我们把这样的函数称为显函数.但在实际问题中,有些函数y与自变量x的关系由方程F(x,y)=0所确定,即y与x的关系隐藏在方程F(x,y)=0之中,这种函数称为隐函数，如3xy+1=0,x2+y2=25,exxy+ey=0等。隐函数的求导方法是：方程两边同时对自变量x求导,得到一个含y的方程式,从中解出y即可。第四节第四节 隐函数、幂指函数以及参数式函数的导数隐函数、幂指函数以及参数式函数的导数第四节第四节 隐函数、幂指函数以及参数式函数的导数隐函数、幂指函数以及参数式函数的导数幂指函数的导数二第四节第四节 隐函数、幂指函数以及参数式函数的导数隐函数、幂指函数以及参数式函数的导
9、数第四节第四节 隐函数、幂指函数以及参数式函数的导数隐函数、幂指函数以及参数式函数的导数参数式函数的导数三第四节第四节 隐函数、幂指函数以及参数式函数的导数隐函数、幂指函数以及参数式函数的导数第五节第五节 高高 阶阶 导导 数数我们知道，变速直线运动的速度v(t)是路程函数s(t)对时间t的导数，即v(t)=s(t)，而加速度a(t)=v(t)=s(t)为s(t)的导数s(t)的导数，称为s(t)的二阶导数。一般地，函数y=f(x)的导数f(x)的导数，称为f(x)的二阶导数。第五节第五节 高高 阶阶 导导 数数 二阶和二阶以上的导数，统称为高阶导数例2-40 求函数y=ax+b的二阶导数解
10、y=a,y=0例2-41 设y=3x22x+,求y解 y=(3x22x+)=6x2，y=(3x22x+)=(6x2)=6例2-42 设y=xex,求y解 y=(xex)=ex+xex=(1+x)ex y=(1+x)ex=ex+(1+x)ex=(2+x)ex第五节第五节 高高 阶阶 导导 数数第六节第六节 微分的概念、基本公式及运算法则微分的概念、基本公式及运算法则微分的概念一首先讨论这样一个问题：设有一个边长为x0的正方形金属片,受热后它的边长伸长了x,问其面积增加了多少?这个问题是容易解决的,我们知道正方形的面积S与边长x的函数关系为S=x2如图2-5所示。图2-5第六节第六节 微分的概念、
11、基本公式及运算法则微分的概念、基本公式及运算法则第六节第六节 微分的概念、基本公式及运算法则微分的概念、基本公式及运算法则微分的几何意义二如图2-6所示,MQ=x=dx,QP=MQtan=f(x0)dx=dy,即dy=QP。由此可知：函数y=f(x)在x0处的微分dy=f(x0)dx，就是曲线y=f(x)在点M(x0,y0)处的切线MT的纵坐标在x0处的增量QP,这就是微分的几何意义.它是曲线 y=f(x)在点x0处的纵坐标改变量的近似值,且误差ydy=PN,当x0时,是比x较高阶的无穷小量。第六节第六节 微分的概念、基本公式及运算法则微分的概念、基本公式及运算法则图2-6第六节第六节 微分的
12、概念、基本公式及运算法则微分的概念、基本公式及运算法则这说明函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商.因此导数也称微商。引入微分以后,已知导数可以得出微分,反过来,已知微分也可以得出导数。求函数的微分dy,只要求出函数的导数f(x),再乘上dx即可。函数在x处可导也可说成在x处可微。函数y=f(x)在x处可微的充要条件是函数y=f(x)在x处可导。第六节第六节 微分的概念、基本公式及运算法则微分的概念、基本公式及运算法则微分基本公式与四则运算法则三1.微分基本公式第六节第六节 微分的概念、基本公式及运算法则微分的概念、基本公式及运算法则2.微分的四则运算法则第六节第六节 微分的概念、基本公式
13、及运算法则微分的概念、基本公式及运算法则复合函数的微分四定理2-7（复合函数的微分法则）若函数u=(x)在点x处可微,函数y=f(u)在对应点u处可微,则复合函数y=f(x)在点x处可微,且 dy=f(u)(x)dx由于du=(x)dx,所以上式可写为 dy=f(u)du从上式的形式看,它与y=f(x)的微分dy=f(x)dx形式一样,其意义是：不管u是自变量还是中间变量,函数y=f(u)的微分形式总是dy=f(u)du。这一性质通常称为一阶微分形式的不变性。第六节第六节 微分的概念、基本公式及运算法则微分的概念、基本公式及运算法则第七节第七节 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用在工
14、程问题中，经常会遇到一些复杂的计算公式。如果直接用这些公式进行计算,那是很费力的。利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替。由微分的定义与几何意义可知,当x很小时,函数y=f(x)在点x0处的改变量y可用函数的微分dy来代替,即ydy,于是,有如下近似计算公式 yf(x0)x （2-5）第七节第七节 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用例2-57 一平面圆环，其内半径为10 cm,外半径为10.1 cm,求其面积的近似值。解 半径为r的圆的面积公式为 S=r2显然,圆环的面积是函数S=r2在r=10,r=0.1时的改变量S,由近似计算公式（2-5）可得S的近似值为
15、SdS=(r2)r=2rr=2100.1=2(cm2)第七节第七节 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用第七节第七节 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用在生产实践中，经常要测量各种数据。但是有的数据不易直接测量，这时我们就通过测量其他有关数据后，根据某种公式算出所要的数据。例如，要计算圆钢的截面积A，可先用卡尺测量圆钢截面的直径D。由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它称为间接测量误差。第七节第七节 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用在实际工作中，某个量的精确值往往是无法知道的，于是绝对误差和相对误差也就无法可得，但是根据测量仪器的精度等因素，有时能够确定误差在某一范围内.如果某个量的精确值是A，测得它的近似值是a，又知道它的误差不超过A，即 AaAThank You!
