陕西省2022届高三下学期理数模拟试卷（20份打包）.zip

高三下学期理数二模试卷 高三下学期理数二模试卷一、单选题一、单选题1已知集合，则（）ABCD2已知复数满足，则（）A1B2CD3设等差数列的前项和为，若，则（）A16B20C24D284已知，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5已知，且，则的值为（）ABCD6在 2021 年日本东京奥运会志愿者活动中，甲、乙等 6 人报名参加了三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需 1 名志愿者，且甲不能参加项目，乙不能参加项目，那么不同的志愿者分配方案共有（）A52 种B68 种C72 种D108 种7已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象B将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象C将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象D将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象8已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）ABCD9已知函数为偶函数，且当时，则不等式的解集为（）ABCD10已知数列满足，则数列的前 10 项和是（）ABCD11已知双曲线的左、右焦点分别是，若双曲线上存在点使得，则双曲线的离心率的取值范围为（）ABCD12已知函数有三个不同的零点，且，则的值为（）A3B4C9D16二、填空题二、填空题13在平行四边形中，为的中点，点为线段上的一点，且，则实数 14若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是 15已知正三棱柱的所有顶点都在球的表面上，直线与底面所成的角是，若正三棱柱的体积是 2，则球的表面积是 16已知椭圆的离心率是，若以为圆心且与椭圆有公共点的圆的最大半径为，此时椭圆的方程是 三、解答题三、解答题17在锐角中，角所对的边分别是，且（1）求角的大小；（2）求的取值范围18如图，在四棱锥中，（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值192020 年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标.2020 年也是脱贫攻坚决战决胜之年（总书记 2020 年新年贺词）截至 2019 年底，中国农村贫困人口从 2012年的 9899 万人减少至 1109 万人，贫困发生率由 2012 年的 10.2%下降至 2019 年的 0.6%，连续 8 年每年减贫规模都在 500 万人以上；确保到 2020 年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤，某贫困地区截至 2019 年底，按照农村家庭人均年纯收入8000 元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50 户，得到这 50 户家庭 2019 年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图（1）求出频率分布直方图中的的值，并求出这 50 户家庭人均年纯收入的平均数；（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）现从这 50 户 2019 年的家庭人均年纯收入在之间的家庭中任抽取 3 户进行调查，进一步了解家庭生活情况，设抽取的家庭人均年纯收入在的户数为，求的分布列和数学期望20已知抛物线上有一动点，过点作抛物线的切线 交轴于点（1）判断线段的中垂线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由；（2）过点作 的垂线交抛物线于另一点，求的面积的最小值21已知函数（1）求函数的单调区间；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）设，求证：22在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程及直线 的直角坐标方程；（2）若为直线 上距离为 4 的两动点，点为曲线上的动点求面积的最大值23已知函数（1）当时，解不等式；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围答案解析部分答案解析部分1【答案】C2【答案】D3【答案】B4【答案】A5【答案】B6【答案】A7【答案】A8【答案】B9【答案】D10【答案】C11【答案】B12【答案】C13【答案】14【答案】15【答案】16【答案】17【答案】（1）解：，由正弦定理得，所以，所以，又，所以；（2）解：三角形为锐角三角形，所以，即，则，所以即的范围是18【答案】（1）证明：连接交于点，则是等边三角形，则，又，所以，所以，所以，平面，所以平面，又平面，所以；（2）解：由余弦定理，在等边中，所以，所以，以为轴建立空间坐标系，如图，则，设平面的一个法向量是，则，取，则，即，设直线与平面所成角的大小为，则所以直线与平面所成角的正弦值为19【答案】（1）解：，.平均数为.（2）解：有户，有户，共有户.的可能取值为，所以分布列为：0123.20【答案】（1）解：设直线的方程为，和抛物线方程联立得：，由，得，则的解为，由得，得，在中，令得，所以，中点为，所以线段的中垂线方程为，所以线段的中垂线过定点.（2）解：由（1）可知，直线的方程为将其与抛物线方程联立得：，.所以的面积为，所以，当时，单调递减，当时，单调递增，所以时，.21【答案】（1）解：的定义域为，令，解得.所以在区间递增；在区间递减，所以的增区间为，减区间为.（2）解：，由（1）知：在上递增，在上递减，所以.（3）解：当时，令，则，所以.22【答案】（1）解：由得，即，为曲线普通方程，由得，所以，即为直线 的直线坐标方程；（2）解：设曲线任一点，则到直线 的距离为，其中为锐角，所以时，的最大值为23【答案】（1）解：当时，.当时，解得，此时；当时，恒成立；当时，解得，此时.综上所述，当时，不等式的解集为.（2）解：由绝对值三角不等式可得，由题意可得.当时，即当时，不等式恒成立；当时，可得或.若，则，可得，解得，此时；若，则，可得，解得，此时.综上所述，实数的取值范围是. 高三下学期理数二模试卷 高三下学期理数二模试卷一、单选题一、单选题1已知集合，则（）ABCD【答案】C【知识点】交集及其运算【解析】【解答】，所以.故答案为：C【分析】求函数的定义域求得，解分式不等式求得，由此求得.2已知复数满足，则（）A1B2CD【答案】D【知识点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】设，则，所以，所以故答案为：D【分析】设，代入已知求得，然后再化简，然后求模3设等差数列的前项和为，若，则（）A16B20C24D28【答案】B【知识点】等差数列的前 n 项和【解析】【解答】因为，可得，因此，.故答案为：B.【分析】利用等差数列求和公式可求得的值，再利用等差中项的性质可求得结果.4已知，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】，；，所以“”是“”的充分不必要条件故答案为：A【分析】结合充分、必要条件的知识确定正确选项.5已知，且，则的值为（）ABCD【答案】B【知识点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】由已知，所以故答案为：B【分析】由垂直的数量积表示得，再把模的运算转化为数量积计算6在 2021 年日本东京奥运会志愿者活动中，甲、乙等 6 人报名参加了三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需 1 名志愿者，且甲不能参加项目，乙不能参加项目，那么不同的志愿者分配方案共有（）A52 种B68 种C72 种D108 种【答案】A【知识点】分类加法计数原理【解析】【解答】甲最多只能参加项目，乙最多只能参加项目，按着甲乙两人只有一人，两人都参加和都不参加分类，由此可得方案数为故答案为：A【分析】按甲、乙是否参加参加志愿者活动分类讨论7已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象B将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象C将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象D将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象【答案】A【知识点】由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【解析】【解答】由图象可知，函数的最小正周期为，则，则，可得，所以，所以，因此，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.故答案为：A.【分析】利用图象求出函数的解析式，利用三角函数图象变换规律可得出合适的选项.8已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）ABCD【答案】B【知识点】由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】【解答】由题意，作出三视图的直观图，图下图所示，其中三棱锥即为该几何体的直观图，由三视图可知，所以三角形 的高为 所以三角形 的面积为 ；，；所以该几何体的表面积为 .故答案为：B.【分析】还原三视图，即可求解。9已知函数为偶函数，且当时，则不等式的解集为（）ABCD【答案】D【知识点】利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】当时，单调递增，所以单调递增.因为是偶函数，所以当时，单调递减.，或.即不等式的解集为.故答案为：D【分析】结合导数以及函数的奇偶性判断出的单调性，由此化简不等式来求得不等式的解集.10已知数列满足，则数列的前 10 项和是（）ABCD【答案】C【知识点】数列递推式【解析】【解答】因为，所以时，两式相减得，又，满足此式，所以，所以数列的前 10 项和为故答案为：C【分析】用替换已知式中的，然后两式相减求得，然后由裂项相消法求和11已知双曲线的左、右焦点分别是，若双曲线上存在点使得，则双曲线的离心率的取值范围为（）ABCD【答案】B【知识点】数量积的坐标表达式；双曲线的简单性质【解析】【解答】设，则，所以，所以，故答案为：B【分析】设，由数量积的坐标表示求出，利用双曲线中得不等关系，从而求得的范围12已知函数有三个不同的零点，且，则的值为（）A3B4C9D16【答案】C【知识点】利用导数研究函数的单调性；一元二次方程的解集及其根与系数的关系【解析】【解答】，有三个不同的零点.令，在递增，在上递减，.时，.令，必有两个根，且，有一解，有两解，且，故.故答案为：C【分析】利用换元法转换，结合导数以及一元二次方程根与系数的关系来求得正确答案.二、填空题二、填空题13在平行四边形中，为的中点，点为线段上的一点，且，则实数 【答案】【知识点】向量的线性运算性质及几何意义【解析】【解答】设，依题意，所以.故答案为：【分析】根据平面向量的线性运算来列方程，由此求得的值.14若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是 【答案】【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【解答】，或 时，时，所以 在 和 上都递增，在 上递减，在区间 上有最大值，则 ，解得 故答案为：【分析】确定函数的单调区间，由 在区间上有最大值，可得不等式组，求解即可。15已知正三棱柱的所有顶点都在球的表面上，直线与底面所成的角是，若正三棱柱的体积是 2，则球的表面积是 【答案】【知识点】棱柱的结构特征；球内接多面体【解析】【解答】因为在正三棱柱直线与底面所成的角是，即，设正三棱柱的底面边长为，所以在直角三角形中，又正三棱柱的体积是，所以，所以，设的外接圆的圆心分别为，则正三棱柱的外接球的球心为线段的中点，即所以在正三角形中，由正弦定理可得设正三棱柱的外接球的半径为，如图下图所示，所以，即，所以球的表面积为.故答案为：.【分析】根据题意，可求出正三棱柱底面的边长和高，根据正三棱柱的特点，作出草图，根据勾股定理，即可求出外接球的半径，进而求出结果.16已知椭圆的离心率是，若以为圆心且与椭圆有公共点的圆的最大半径为，此时椭圆的方程是 【答案】【知识点】椭圆的简单性质【解析】【解答】由已知，所以，则，设椭圆上的任一点的坐标为，则，若，则当时，由得，满足题意，此时，椭圆方程为，若，则时，则，即，但时，无解综上，椭圆方程为故答案为：【分析】由离心率求得关系，然后设椭圆上点，计算，由的最大值为可得，得椭圆方程三、解答题三、解答题17在锐角中，角所对的边分别是，且（1）求角的大小；（2）求的取值范围【答案】（1）解：，由正弦定理得，所以，所以，又，所以；（2）解：三角形为锐角三角形，所以，即，则，所以即的范围是【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦定理；余弦定理【解析】【分析】（1）由正弦定理化角为边，再由余弦定理变形可得求得角；（2）求出角范围，把用角表示，然后结合二倍角公式、两角和的正弦公式变形，再由正弦函数性质得取值范围18如图，在四棱锥中，（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明：连接交于点，则是等边三角形，则，又，所以，所以，所以，平面，所以平面，又平面，所以；（2）解：由余弦定理，在等边中，所以，所以，以为轴建立空间坐标系，如图，则，设平面的一个法向量是，则，取，则，即，设直线与平面所成角的大小为，则所以直线与平面所成角的正弦值为【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】（1）连接交于点，易证 ，即可得，从而解决问题；（2）如图建立空间直角坐标系，由线面夹角的向量计算公式即可求解。192020 年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标.2020 年也是脱贫攻坚决战决胜之年（总书记 2020 年新年贺词）截至 2019 年底，中国农村贫困人口从 2012 年的 9899 万人减少至 1109 万人，贫困发生率由 2012 年的 10.2%下降至 2019 年的 0.6%，连续 8 年每年减贫规模都在 500 万人以上；确保到 2020 年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤，某贫困地区截至 2019 年底，按照农村家庭人均年纯收入 8000 元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取 50 户，得到这 50 户家庭 2019 年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图（1）求出频率分布直方图中的的值，并求出这 50 户家庭人均年纯收入的平均数；（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）现从这 50 户 2019 年的家庭人均年纯收入在之间的家庭中任抽取 3 户进行调查，进一步了解家庭生活情况，设抽取的家庭人均年纯收入在的户数为，求的分布列和数学期望【答案】（1）解：，.平均数为.（2）解：有户，有户，共有户.的可能取值为，所以分布列为：0123.【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的性质可求 a，进而由平均数计算公式即可求解；（2）由（1）计算每一个区间的户数，进而由古典概型概率计算公式计算 X 取每一个值得概率，即可解决问题。20已知抛物线上有一动点，过点作抛物线的切线 交轴于点（1）判断线段的中垂线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由；（2）过点作 的垂线交抛物线于另一点，求的面积的最小值【答案】（1）解：设直线的方程为，和抛物线方程联立得：，由，得，则的解为，由得，得，在中，令得，所以，中点为，所以线段的中垂线方程为，所以线段的中垂线过定点.（2）解：由（1）可知，直线的方程为将其与抛物线方程联立得：，.所以的面积为，所以，当时，单调递减，当时，单调递增，所以时，.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）设直线 的方程为 与抛物线方程联立方程组，消元后由判别式为 0，得，这样可用表示出点坐标，从而也可得点坐标，然后求出中垂线方程后可得定点；（2）由（1），求出方程，与抛物线方程联立求得点坐标后，计算出，从而得面积 的面积为，其中，利用导数可求得其最小值21已知函数（1）求函数的单调区间；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）设，求证：【答案】（1）解：的定义域为，令，解得.所以在区间递增；在区间递减，所以的增区间为，减区间为.（2）解：，由（1）知：在上递增，在上递减，所以.（3）解：当时，令，则，所以.【知识点】利用导数研究函数的单调性；等差数列的前 n 项和【解析】【分析】（1）利用导数求得的单调区间.（2）结合的单调性以及来求得的取值范围.（3）结合（2）的结论得到，由等差数列的前项和公式证得不等式成立.22在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程及直线 的直角坐标方程；（2）若为直线 上距离为 4 的两动点，点为曲线上的动点求面积的最大值【答案】（1）解：由得，即，为曲线普通方程，由得，所以，即为直线 的直线坐标方程；（2）解：设曲线任一点，则到直线 的距离为，其中为锐角，所以时，的最大值为【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【解析】【分析】（1）由平方关系消元后可得曲线普通方程，由公式可得直线 的直角坐标方程；（2）用曲线的参数方程表示出曲线上点的坐标，求点到直线的距离，利用三角函数性质得最大值，然后可得面积最大值23已知函数（1）当时，解不等式；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）解：当时，.当时，解得，此时；当时，恒成立；当时，解得，此时.综上所述，当时，不等式的解集为.（2）解：由绝对值三角不等式可得，由题意可得.当时，即当时，不等式恒成立；当时，可得或.若，则，可得，解得，此时；若，则，可得，解得，此时.综上所述，实数的取值范围是.【知识点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法【解析】【分析】（1）分、三种情况解不等式，综合可得出原不等式解集；（2）分析可得，分、两种情况解不等式，综合可得出实数的取值范围. 高三下学期理数三模试卷 高三下学期理数三模试卷一、单选题一、单选题1设，其中 为虚数单位，是实数，则（）A1BCD22已知命题，命题，则下列命题中为真命题的是()ABCD3已知正项等比数列中，则（）A16B32C64D-324飞沫传播是新冠肺炎传播的主要途径，已知患者通过飞沫传播被感染的概率为，假设甲、乙两人是否被飞沫感染相互独立，则甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为（）ABCD5素数也叫质数，部分素数可写成“”的形式（是素数），法国数学家马丁梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“”形式（是素数）的素数称为梅森素数.已知第 20个梅森素数为，第 19 个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（）（参考数据：）ABCD6已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（）A1BC2D7由伦敦著名建筑事务所 Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为 2，离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程为（）ABCD8已知 ，则 （）ABCD9执行如图所示的程序框图，如果输入的 x，那么输出的 S 的最大值为（）A0B1C2D410设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则展开式的系数为（）A-150B150C-500D50011古代勤劳而聪明的中国人，发明了非常多的计时器，其中计时沙漏制作最为简洁方便、实用，该几何体是由简单几何体组合而成的封闭容器（内装一定量的细沙），其三视图如图所示（沙漏尖端忽略不计），则该几何体的表面积为（）ABCD12已知定义在 R 上的可导函数，对，都有，当时，若，则实数 a 的取值范围是（）ABCD二、填空题二、填空题13已知向量，且，则 14观察下列不等式，照此规律，第 n 个不等式为 15已知数列的前 n 项和，则数列的前 2022 项和为 16已知集合.给定一个函数，定义集合，若对任意的成立，则称该函数具有性质“”（1）具有性质“”的一个一次函数的解析式可以是 ；（2）给出下列函数：；，其中具有性质“”的函数的序号是 .三、解答题三、解答题17已知的数（1）求的单调增区间；（2）设的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若，求外接圆的面积18如图，在四棱锥中，平面 ABCD，四边形 ABCD 是平行四边形，是边长为的等边三角形，（1）证明：平面 PBD；（2）设 E 是 BP 的中点，求 AB 和平面 DAE 所成角的余弦值192022 年北京冬奥组委发布的北京 2022 年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）显示，北京冬奥会已签约 45 家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式为了解该 45 家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对 45 家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于 8 小时的企业有 20 家，余下的企业中，每天的销售额不足 30 万元的企业占，统计后得到如下列联表：销售额不少于 30 万元销售额不足 30 万元合计线上销售时间不少于 8 小时1720线上销售时间不足 8 小时合计45附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828参考公式：，其中（1）请完成上面的列联表，能否有 99%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关？（2）按销售额在上述赞助企业中采用分层抽样方法抽取 5 家企业在销售额不足 30 万元的企业中抽取时，记“抽到线上销售时间不少于 8 小时的企业数”为 X，求 X 的分布列和数学期望20已知椭圆的上顶点为 A，左右焦点分别为，线段，的中点分别为，且是面积为的正三角形（1）求椭圆 C 方程；（2）设圆心为原点，半径为的圆是椭圆 C 的“基圆”，点 P 是椭圆 C 的“基圆”上的一个动点，过点 P 作直线，与椭圆 C 都只有一个交点试判断，是否垂直？并说明理由21设函数（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在区间上存在唯一零点，求实数 m 的取值范围22在直角坐标系 xOy 中，的圆心，半径为 2，以 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程是（1）求的极坐标方程和直线 的直角坐标方程；（2）若直线 与相交于 A、B 两点，求线段的长23设函数（1）求不等式的解集；（2）若关于 x 的不等式恒成立，求实数 a 的取值范围答案解析部分答案解析部分1【答案】B2【答案】A3【答案】B4【答案】D5【答案】B6【答案】A7【答案】B8【答案】A9【答案】D10【答案】B11【答案】D12【答案】C13【答案】14【答案】15【答案】16【答案】（1）y=x+1(答案不唯一)（2）17【答案】（1）解：，令，解得，故函数的单调递增区间为（2）解：由（1）可知，则，又，故设的外接圆半径为 R，由正弦定理可得，故的外接圆的面积为18【答案】（1）证明：因为平面，且平面，所以，在直角中，所以，在直角中，可得，所以，可得，又因为四边形为平行四边形，所以，所以，由于平面，平面，所以，又因为，所以平面.（2）解：由（1）知，又由平面 ABCD，故以点 D 为坐标原点，DB、DC、DP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立的空间直角坐标系，如图所示可得，因为是的中点，所以，则，设平面的法向量，则，取，则，所以，设直线与平面所成的角为，其中，可得，所以故直线与平面所成角的余弦值为19【答案】（1）解：由题意，可得下面的列联表：销售额不少于 30 万元销售额不足 30 万元合计线上销售时间不少于 8 小时17320线上销售时间不足 8 小时101525合计271845根据上面的列联表得，故有 99%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天的线上销售时间有关（2）解：企业总数为 45，样本容量与总体容量之比为，所以从销售额不少于 30 万元、销售额不足 30 万元的企业中应分别抽取的企业个数为 3、2，则随机变量的可能取值为 0，1，2，可得，所以随机变量的分布列为：X012P所以数学期望20【答案】（1）解：椭圆 C 方程为：（2）解：设是“基圆”上任意一点，则，当经过 P 与椭圆相切的直线斜率存在时，设经过 P 与椭圆相切的直线方程为，其中，由得，将代入上式可得，所以，当经过 P 与椭圆相切的直线斜率不存在时，此时 P 的坐标为，例如过的切线方程是，显然，其他类似综上可得，“基圆”上任意动点 P 都可使21【答案】（1）解：，又，在点处的切线方程为（2）解：，的定义域为，令当，即时，在上单调递增，又，在上无零点，不合题意；当，即时，有两根，；当，即时，此时在上单调递增，又，在上无零点，不合题意；当时，此时在上无零点，不合题意；当时，此时在上单调递减，在上单调递增，在区间上存在唯一零点，即即可解得综上，若在区间上存在唯一零点，则 m 的取值范围为22【答案】（1）解：因为的直角坐标方程为，根据极坐标与直角的互化公式，可得的极坐标方程为，化简得，即的极坐标方程为，又由直线 的极坐标方程是，可得直线 的直角坐标方程为（2）解：设 A、B 极坐标分别为、，将代入，整理得，所以，所以23【答案】（1）解：当时，无解；当时，解得；当时，解得；综上所述，不等式的解集为（2）解：根据分段函数的表达形式可知，故要满足题意，只需，解得或，即 a 的取值范围为 高三下学期理数三模试卷 高三下学期理数三模试卷一、单选题一、单选题1设，其中 为虚数单位，是实数，则（）A1BCD2【答案】B【知识点】复数求模【解析】【解答】因为，所以，解得，所以.故答案为：B.【分析】利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出答案.2已知命题，命题，则下列命题中为真命题的是()ABCD【答案】A【知识点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用【解析】【解答】对于指数函数 y，y0，故 p 为真命题，为假命题；当时，故 q 命题为假命题，为真命题；故为真命题，为假命题，为假命题，为假命题故答案为：A【分析】分别判断出 p，q 的真假，从而判断出复合命题的真假即可.3已知正项等比数列中，则（）A16B32C64D-32【答案】B【知识点】等比数列的通项公式【解析】【解答】因为正项等比数列中，所以，解得，所以，故答案为：B.【分析】通过可得，利用等比数列的通项公式求出答案.4飞沫传播是新冠肺炎传播的主要途径，已知患者通过飞沫传播被感染的概率为，假设甲、乙两人是否被飞沫感染相互独立，则甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为（）ABCD【答案】D【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式【解析】【解答】记甲是通过飞沫传播被感染为事件，乙是通过飞沫传播被感染为事件，甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为：故答案为：D【分析】由对立事件概率公式和独立事件的概率公式计算可得答案.5素数也叫质数，部分素数可写成“”的形式（是素数），法国数学家马丁梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“”形式（是素数）的素数称为梅森素数.已知第 20个梅森素数为，第 19 个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（）（参考数据：）ABCD【答案】B【知识点】指数式与对数式的互化【解析】【解答】解：2170令 2170k，则 lg2170lgk，170lg2lgk，又 lg20.3，51lgk，即 k1051，与最接近的数为 1051故答案为：B【分析】由，令 2170k，化指数式为对数式求解可得答案.6已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（）A1BC2D【答案】A【知识点】抛物线的定义【解析】【解答】解：如图所示，设此抛物线的焦点为，准线过点作，垂足为则，到轴的距离，则点到点的距离与到轴的距离之和为设，因此当、三点共线时，取得最小值即的最小值为，所以则点到点的距离与到轴的距离之和为.故答案为：A.【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义转化列出方程，然后求解最值即可.7由伦敦著名建筑事务所 Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为 2，离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程为（）ABCD【答案】B【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】因为 ，所以下焦点为 ，渐近线方程为 ，即 ，则下焦点到 的距离为 ，又因为 ，解得 ，即 ，所以渐近线方程为：故答案为：B【分析】利用已知条件求出，即可求解双曲线的渐近线方程8已知 ，则 （）ABCD【答案】A【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正切公式【解析】【解答】由有 ,故 ,合并同类型有 ,显然 ,所以 ,故 故答案为：A【分析】用和差角公式展开 ,求得 后再算 即可.9执行如图所示的程序框图，如果输入的 x，那么输出的 S 的最大值为（）A0B1C2D4【答案】D【知识点】程序框图【解析】【解答】由题意，不等式组所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为直线，当直线经过点时，直线在轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为，又由不等式时，根据程序框图，可得，所以输出的的最大值为 4.故答案为：D.【分析】根据算法的功能：当时求函数的最大值，否则 S=1；由此求出程序运行后输出 S 的最大值.10设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则展开式的系数为（）A-150B150C-500D500【答案】B【知识点】二项式定理；二项式系数的性质【解析】【解答】中，令得展开式的各项系数之和，根据二项式系数和公式得二项式系数之和，所以，解得，的展开式的通项为：，令得，故展开式中的系数为，故答案为：B.【分析】利用赋值法及二项式系数和公式求出 M、N 列出方程求得 n，利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项，令 x 的指数为 3 求得展开式中的系数.11古代勤劳而聪明的中国人，发明了非常多的计时器，其中计时沙漏制作最为简洁方便、实用，该几何体是由简单几何体组合而成的封闭容器（内装一定量的细沙），其三视图如图所示（沙漏尖端忽略不计），则该几何体的表面积为（）ABCD【答案】D【知识点】由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】【解答】解：由题意知，该沙漏由两个形状相同的圆锥组成，圆锥底面圆半径，高为，则母线长，则圆锥的侧面积，圆锥底面积，则圆锥表面积为，则沙漏表面积为，故答案为：D.【分析】由三视图还原几何体为双锥体，由题意求出圆锥的母线长，从而可求出圆锥的底面积和侧面积，即可求出该几何体的表面积.12已知定义在 R 上的可导函数，对，都有，当时，若，则实数 a 的取值范围是（）ABCD【答案】C【知识点】函数奇偶性的判断；奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：令，则当时，所以在区间单调递减，又，所以为偶函数，且在区间单调递增，又，即，所以，即，得或，故答案为：C.【分析】令，判断 g(x)的单调性和奇偶性，根据得到，再求出 a 的取值范围.二、填空题二、填空题13已知向量，且，则 【答案】【知识点】向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】【解答】根据题意，因为，所以，所以，所以，所以.故答案为：.【分析】由得，解出 m 的值，可得的坐标，再利用向量模的公式可求出答案.14观察下列不等式，照此规律，第 n 个不等式为 【答案】【知识点】归纳推理【解析】【解答】由题意，不等式可化简为：，照此规律，第 n 个不等式为.故答案为：.【分析】将所给的不等式的右边进行变形，按照此规律规律可得到第 n 个不等式.15已知数列的前 n 项和，则数列的前 2022 项和为 【答案】【知识点】数列的求和【解析】【解答】因为，当时，当时，满足，所以，所以，所以数列的前 2022 项和为.故答案为：.【分析】由求得，再由裂项相消法即可求出数列的前 2022 项和.16已知集合.给定一个函数，定义集合，若对任意的成立，则称该函数具有性质“”（1）具有性质“”的一个一次函数的解析式可以是 ；（2）给出下列函数：；，其中具有性质“”的函数的序号是 .【答案】（1）y=x+1(答案不唯一)（2）【知识点】二次函数的性质；幂函数的单调性、奇偶性及其应用；余弦函数的单调性【解析】【解答】（1）可取，由，由可得，满足对任意的成立，具有性质“”；（2），由，由可得，循环下去，满足对任意的成立，具有性质“”；，由，由可得，根据单调性得相邻两个集合不会有交集，符合对任意的成立，具有性质“”；，由，由可得，不满足对任意的成立，故不具有性质“”.故答案为：（答案不唯一）；【分析】(1)可取 y=x+1，由集合的运算和函数的值域求法，结合新定义可判断；(2)分别运用反比例函数、二次函数和余弦函数的单调性和值域，结合新定义，即可判断.三、解答题三、解答题17已知的数（1）求的单调增区间；（2）设的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若，求外接圆的面积【答案】（1）解：，令，解得，故函数的单调递增区间为（2）解：由（1）可知，则，又，故设的外接圆半径为 R，由正弦定理可得，故的外接圆的面积为【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性；正弦定理【解析】【分析】(1)将函数利用二倍角公式以及辅助角公式化 f(x)为正弦型函数，根据正弦函数的单调性求出 的单调增区间；(2)由已知可求，根据范围 可求出 A，进而根据正弦定理可得R，利用圆的面积公式即可求解出 外接圆的面积18如图，在四棱锥中，平面 ABCD，四边形 ABCD 是平行四边形，是边长为的等边三角形，（1）证明：平面 PBD；（2）设 E 是 BP 的中点，求 AB 和平面 DAE 所成角的余弦值【答案】（1）证明：因为平面，且平面，所以，在直角中，所以，在直角中，可得，所以，可得，又因为四边形为平行四边形，所以，所以，由于平面，平面，所以，又因为，所以平面.（2）解：由（1）知，又由平面 ABCD，故以点 D 为坐标原点，DB、DC、DP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立的空间直角坐标系，如图所示可得，因为是的中点，所以，则，设平面的法向量，则，取，则，所以，设直线与平面所成的角为，其中，可得，所以故直线与平面所成角的余弦值为【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】(1)由已知可得 PDBD，PDCD，求解三角形证明，即可得到ABBD，又由已知可得 PDAB，由直线与平面垂直的判定得 平面 PBD；(2)以点 D 为坐标原点，DB、DC、DP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立的空间直角坐标系 求得平面 的法向量和，利用向量的夹角公式即可求出 AB 和平面 DAE 所成角的余弦值.192022 年北京冬奥组委发布的北京 2022 年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）显示，北京冬奥会已签约 45 家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式为了解该 45 家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对 45 家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于 8 小时的企业有 20 家，余下的企业中，每天的销售额不足 30 万元的企业占，统计后得到如下列联表：销售额不少于 30 万元销售额不足 30 万元合计线上销售时间不少于 8 小时1720线上销售时间不足 8 小时合计45附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828参考公式：，其中（1）请完成上面的列联表，能否有 99%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关？（2）按销售额在上述赞助企业中采用分层抽样方法抽取 5 家企业在销售额不足 30 万元的企业中抽取时，记“抽到线上销售时间不少于 8 小时的企业数”为 X，求 X 的分布列和数学期望【答案】（1）解：由题意，可得下面的列联表：销售额不少于 30 万元销售额不足 30 万元合计线上销售时间不少于 8 小时17320线上销售时间不足 8 小时101525合计271845根据上面的列联表得，故有 99%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天的线上销售时间有关（2）解：企业总数为 45，样本容量与总体容量之比为，所以从销售额不少于 30 万元、销售额不足 30 万元的企业中应分别抽取的企业个数为 3、2