1、设非齐次线性方程组的一般形式为mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111mbbb,21(为不全为零的常数)（3-1-1）在上一章知道，它的矩阵表达式为 BAx 其中,A B x分别是系数阵、常数项与未知阵。将系数矩阵与常数项矩阵放在一起构成的矩阵mmnmmnnbaaabaaabaaaBA21222221111211,称为方程组（3-1-1）的增广矩阵（也可记作 A）。因为线性方程组是由它的系数和常数项 决定的，所以用增广矩阵),(BA可以清楚地表示一个线性方程组。如果记 121111maaa222122maaamnnnnaaa21,则
2、线性方程组（3-1-1）又可表 示为Bxxxnn2211或 Bxxxnn2121,以上都是线性方程组（3-1-1）的各种变形。非齐次线性方程组（3-1-1）所对应的齐次线性方程组为000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa（3-1-2）线性方程组（3-1-2）也可以表示为 OAx 或 02211nnxxx【例例1】把线性方程组 04732522122432142214321xxxxxxxxxxxx表示为矩阵方程的形式。解解 设 473152121221A4321xxxxx021B则原方程组可表示为 BAx【例例2】写出以矩阵 3411234
3、101311321A为增广矩阵的线性方程组。解解 以 A为增广矩阵的线性方程组为：3423403132321321321321xxxxxxxxxxxx 习题习题3.11.写出线性方程组 1222430235124321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx的增广矩阵和矩阵方程形式。2.设矩阵 133262641A求出以 TA为系数矩阵的齐次线性方程组。3.2 线性方程组解的讨论线性方程组解的讨论3.2.1、高斯消元法、高斯消元法定理定理1 若将线性方程组的增广矩阵 BA,通过初等行变换化成矩阵 TS,则线性 方程组 BAx 与 TSx 同解。（证）证明证明 由于对矩阵作一次初
4、等行变换等价于矩阵左乘一个初等矩阵，因此存在初等矩 阵 kPPP,21使得),(),(11TSBAPPPkk记 PPPPkk11显然 P可逆。若 1xx 为 BAx 的解，即 BAx 1两边同时左乘矩阵 P有 PBPAx 1即 TSx 1于是 1xx 为 TSx 的解。反之，若 2xx 为 TSx 的解，即 TSx 2两边同时左乘矩阵 1P得 TPSxP121即 BAx 2于是 2xx 亦为 BAx 的解。故 BAx 与 TSx 同解。运用第二章的知识，我们总可以用初等行变换把增广矩阵 BA,化为 行最简阶梯形矩阵，求出行最简阶梯形矩阵所对应的线性方程组的解。由定理1知，行最简阶梯形矩阵所对应
5、的线性方程组的解就是原线性方程组的解。这个方法称为高斯（Gauss）消元法（简称消元法）。下面举例说明用高斯消元法求解线性方程组的方法和步骤。【例例1】用消元法解线性方程组：5274033324321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx 解解 BA,51112711140111331132 21rr51112711143113201113 )(7131rr51112711143113210001 141312242rrrrrr31110311101113010001424rrr1113031110311101000124233rrrr10420062200311101000
6、134rr42000622003111010001 432121rr21000311003111010001 4332rrrr21000101000001010001最后一个矩阵所对应的线性方程组即为原方程组的解 21014321xxxx【例例2】用消元法解线性方程组：052423232432143224321xxxxxxxxxxxx解解 BA,015214112321321 13123rrrr228402284021321 23rr000002284021321 241r00000212121021321 212rr00000212121010101最后一个矩阵所对应的线性方程组为：2121
7、2143231xxxxx将 43,xx移到方程组的右端，得 43231212211xxxxx当 43,xx任意取定一组实数时，得到线性方程组的一组解，因方程组有无穷多组解。因为 43,xx可以任意取值，所以 43,xx又称为自由未知量。令自由未知量 2413,kxkx则线性方程组的所有解为：241321211212211kxkxkkxkx（其中 1k与 2k为任意实数）。【例例3】讨论线性方程组 27435123632321321321xxxxxxxxx的解。解解 BA,2743511236312 21rr2743511235211 131253rrrr521420167105211 232r
8、r20000167105211最后一个矩阵所对应的线性方程组为：20016752332321xxxxxx显然，不可能有 321,xxx的值满足第三个方程，因此该线性方程 组无解。通过上面三个例子，可以总结出用高斯消元法解线性方程组的一般步骤：（1）通过初等行变换将线性方程组的增广矩阵 BA,化为行最简阶梯形矩阵；（2）将行最简阶梯形矩阵的首非零元所在列的未知量作为基本未知量，假设为 r个，其余未知量设为自由未知量，共计 rn个；（3）把自由未知量移到方程组的右端，令它们分别取常数 rnkkk,21即可得到线 性方程组的所有解。3.2.2、一般线性方程组解的判定、一般线性方程组解的判定 前面介绍
9、了用高斯消元法解线性方程组的方法，通过讨论可知，线性方程组解的情况有三种：惟一解、无穷多组解和无解。归纳求解过程，我们总结出线性方程组解的判定的一般规律。定理定理2 线性方程组（3-1-1）有解的充分必要条件是其系数矩阵与增广矩阵的秩相等。（1）当 nrBARAR),()(时，该线性方程组有唯一解；（2）当 nrBARAR),()(时，该线性方程组有无穷多组解。若线性方程组有解，则称该方程组是相容的；否则就称该方程组是不相容的。对于齐次线性方程组（3-1-2），显然 021nxxx是它的解，这样的解称为零解（或平凡解）。因此对于齐次线性方程组主要考虑其是否有非零解。由定理2容易得到下面的定理。
10、定理定理3 齐次线性方程组（3-1-2）有非零解的充分必要条件是 nrAR)(【例例4】判定下列线性方程组是否有解，若有解，有多少解？（！）14212201433231321321xxxxxxxxxx （2）025040432023121321321xxxxxxxxxx（3）174032132432143214321xxxxxxxxxxxx解解（1）BA,1420120201111413 21rr1420120214130111 131223rrrr142014201740011132rr1420174014200111 24232rrrr0000110014200111因为 3),()(BA
11、RAR所以方程组有解。又因为未知数个数 3n故原方程组有惟一解。（2）205014432211A 141312542rrrrrr850850850211 2423rrrr000000850211因为 2)(AR而齐次线性方程组中未知数的个数 4n所以原方程组有无穷多组解。（3）171140113213121,BA 131242rrrr553702537013121 23rr300002537013121因为 2)(AR3),(BAR所以原方程组无解。习题习题3.2 1.判断下列线性方程组是否有解？（1）55331222233321321221321xxxxxxxxxxxx（2）23254236
12、532432143214321xxxxxxxxxxxx2.解下列线性方程组：（1）7382273221321321xxxxxxxx（2）323232czccyxbzbbyxazaayx（cba,互不相等）（3）137133344324324214324321xxxxxxxxxxxxx（4）422312320432143214321xxxxxxxxxxxx（5）05610705254043750324354321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx3.当为何值时，非齐次线性方程组 23213213211xxxxxxxxx(1)有惟一解；（2）无解;（3）有无穷多
13、解，并求其所有解。4.当 qp,为何值时，非齐次线性方程组 qpxxxxxxxxx3213213213252342（1）无解；（2）有惟一解；（3）有无穷多解，并求其所有解。5.当 为何值时，齐次线性方程组 023055702024321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx（1）只有零解；（2）有非零解，并求所有解。3.3 向量及其运算向量及其运算3.3.13.3.1、n维向量的概念维向量的概念 定义定义1 n个数 naaa,21所组成的有序数组 12(,)na aa 称为 n维向量其中 naaa,21，称为向量 的分量，ia叫做 的第 i个 分量（或坐标）分量都是实数的向
14、量称为实向量，分量为复数的向量称为复向量，本书只讨论实向量向量一般用小写的希腊字母,表示，分量一般用小写的英文字母 iiba,表 示 由定义1可知，我们在平面解析几何所学的向量，是一个具有几何意义的二维向量。【例例1】已知方程组 33122321321321xxxxxxxxx若不记未知数的符号和等号，则方程组中的三个方程便分别与向量 2,1,1,211,1,1,123,1,1,33相对应，这样就可以用向量来研究线性方程组的求解问题。设 1212(,),(,)nna aab bb 都是 n维向量，当且仅当它们各个对应分量 都相等，即),2,1(nibaii时，称向量 与 相等，记作 分量都是0的
15、向量称为零向量，记作 O，即 O0,0,0应注意两个零向量维数不同时，它们是不相同的向量。向量 naaa,21称为向量 naaa,21的负向量，记作 n维向量也可以写出列的形式：Tnnaaaaaa,2121 写成行形式的向量 naaa,21称为行向量，写成列形式的向量称为列向量。列向量的转置即为行向量（T表示转置）.需注意当 1n时，一个行向量与一个列向量即使每个分量对应相等，也不能看成相等 的向量。一个 n维行向量可以看成是一个 n1的行矩阵 naaa,21一个 n维列向量可以看成是一个 1n的列矩阵 naaa21 由于向量可以看作矩阵，因此对向量进行运算时，可按矩阵的运算法则进行。由同维数
16、的向量所组成的集合称为向量组。如例1中的线性方程组就与 321,所组 成的向量组对应。又如矩阵 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211A的 m行可以看作 m个 n维行向量),2,1(,21miaaainiii称之为矩阵的行 向量组。从而矩阵 A可以记为mA21A的 n列可以看作 n个 m维列向量),2,1(21njaaamjjjj称之为矩阵 A的列向量组。矩阵 A也可以记为 nA,213.3.2、向量的运算、向量的运算定义定义2 设 1212(,),(,)nna aab bb都是 n维向量则向量 1122(,ab ab,)nnab叫做向量 与 的和，即向量的加法，记作 即11
17、22(,)nnababab 由向量的加法及负向量可以定义向量的减法：1122()(,)nnab abab 定义定义3设 12(,)na aa 为 n维向量，为实数，则向量),(21naaa叫做 数 与向量 的乘积，简称向量的数乘，记作 或 即 naaa,21向量的加法及数与向量的乘积两种运算统称为向量的线性运算，它们满足如下运算规律（设,都是 n维向量，,为实数）：（）（）()()（）O （）()O （）1 （）)()(（）()（）()由于向量可以看作矩阵，其运算规律与矩阵的运算规律一致,因此上述关于向量相等、向量的线性运算的规律均可借助于矩阵的运算规律得出。【例例2】已知 TT3,4,1,2
18、,8,0,2,7求 32解解 TT3,4,1,238,0,2,7232TT9,12,3,616,0,4,14T7,12,7,20【例例3】已知 1,1,1,4,10,5,1,10,3,1,5,2321如果满足)(5)(2)(3321xxx，求向量 x解解 先进行向量运算，得xx5523321从而)523(61321x 5,5,5,2020,10,2,209,3,15,6614,3,2,124,18,12,661习题习题3.31.已知向量 431,352,121321求：（1）321432（2）TTT321422.已知向量,1,1,1,4,10,5,1,10,3,5,5,4321且)(5)(2)
19、(3321xxx求向量 x3.已知向量 TT)1,4,3,3(,)5,0,3,5(求,4.已知向量)0,0,1()0,1,1()1,1,1()4,3,2(zyx求 zyx,3.4 向量组的线性相关性向量组的线性相关性3.4.1 向量的线性组合向量的线性组合在上节例1的三个方程中，第一个方程乘以2减去第二个方程就得到第三个方程。这种关系用对应的向量表示即为 2132即 3可由 21,经线性运算得到。这时 我们称 3是 21,的线性组合，或称 3可由 21,线性表示。定义定义1 给定向量组 m,21和向量 如果存在一组数 mkkk,21使得mmkkk2211则称向量 是向量组 12,m 的线性组合
20、,或称 可由向量组 12,m 线性表示。显然，零向量可以由任意向量组 12,s 线性表示,这是因为12000sO任意 n维向量 12(,)na aa 都可以由 n维向量组 1(1,0,0),2(0,1,0),(0,0,1)n线性表示.这是因为1 122nnaaa1(1,0,0),2(0,1,0),(0,0,1)n称为 n维单位向量组。上述结论表明，任一 n维向量都可由 n维单位向量组线性表示。【例例1】设 1,3,2,3,2,1,2,1,3,4,0,2321试判断 能否由 321,线性表示。解解 先设 332211kkk其中 321,kkk为实数，则1,3,23,2,12,1,34,0,232
21、1kkk333222111,3,23,2,2,3kkkkkkkkk32132132132,32,23kkkkkkkkk 由两个向量相等的定义，可得线性方程组432032223321321321kkkkkkkkk因为 413203212213,BA 21rr413222130321 131223rrrr451027500321 32rr275045100321 235rr181800451003213181r110045100321 313235rrrr110010103021 2212rrr 110010101001由最后一个矩阵得线性方程组的解：111321kkk于是 321即向量 可由向量
22、组 321,线性表示。【例例2】将线性方程组 32442222321321321xxxxxxxxx写成向量方程形式。解解 若设 342,142,221,121321则线性方程组可写成向量方程的形式332211xxx用高斯消元法求出线性方程组的解为 122321xxx则有 32122即向量 可由向量组 321,线性表示。由以上例题可知，向量 能由向量组 m,21线性表示，也 就是线性方程组 mmxxx2211有解。由此得到以下定理：定理定理1 向量 能由向量组 m,21线性表示的充分必要 条件是：以 m,21为系数列向量，以 为常数项向量的线性方程组 mmxxx2211有解，并且此线性方程组的一
23、组解就是线性组合的一组系数。【例例3】向量 T)1,3,0,1(能否由向量组TT)3,1,2,1(,),2,2,1,1(21T)0,4,1,1(3线性表示，若能，则求出表达式，并说明表达式是否惟一。解解 由定理1知，向量 能否由向量组 321,线性表示，取决于线性方程 332211xxx是否有解。而 1032341201211111,321 121012101210111114131222rrrrrr 2423rrrr 0000000012102301000000001210111121rr由最后一个矩阵可知，线性方程组有无穷多解且所有解为 kxkxkx3212132（k为任意实数）于是 32
24、1)21()32(kkk（k为任意实数），即 能由向量组 321,线性表示。因为 k为任意实数，所以表达式不惟一。3.4.2、向量组的线性相关与线性无关向量组的线性相关与线性无关定义定义2 设有 n维向量组 12,m 若存在一组不全为零的实数 12,mk kk使得1122.mmkkkO成立，则称向量组 12,m 线性相关；否则，如果只有当 120mkkk时，才有 1122.mmkkk O成立,则称向量组 12,m 线性无关。如上节例1中表示三个方程的向量组具有关系：2132即 02321则存在一组不全为零的实数 1,1,2使得 0)1()1(2321故向量组 321,线性相关。由定义2知，对于
25、只含一个向量 的向量组，当 0时线性相关，当 0时线性无关。两个向量线性相关的充分必要条件是它们的对应分量成比例。如果把 1122.mmkkkO看成是以 12,m 为系数列向量、以 12,mk kk为未知数的齐次线性方程组，则由定义2和3.2节的定理2可得如下重要结论：定理定理2 关于列（行）向量组 12,m 设矩阵 mA,21（TmTTA,21），则 12,m 线性相关 齐次线性方程组 1122.mmkkk O有非零解 ,mAR向量组 12,m 线性无关 齐次线性方程组 1122.mmkkkO只有零解 ,mAR【例例4】判别下列向量组的线性相关性：（1）2,1,0,1,2,1,0,1,232
26、1（2）10,5,3,2,4,2,1,1,2,1,0,1321(3)8,6,4,9,5,6,1,2,1,2,3,14321解解(1)设 210121012,321TTTA因为 04210121012A所以齐次线 性方程 0332211TTTkkk只有零解，即向量组 321,线性无关。(2)24231413223216203103102111042521310211,rrrrrrrrTTTA000000310211因为 32 AR所以向量组 321,线性相关。（3）设 891365224611,4321TTTTA因为 4AR所以向量组 321,4线性相关。【例例5】讨论 n维单位向量组 1,0,
27、0,0,1,0,0,0,121n的线性相关性。解解因为 nRTnTT,21所以 n维单位向量组 1,0,0,0,1,0,0,0,121n线性无关。【例例6】设向量组 321,线性无关，133322211,试证明 321,也线性无关。321,kkk，使得0133322211kkk证明证明 设有一组实数 则 0332221131kkkkkk因为 321,线性无关，故 000322131kkkkkk而它的系数行列式 02110011101D,故 0321kkk所以 321,线性无关。下面的定理说明了线性组合与线性相关这两个概念之间的密切关系。定理定理3 向量组 m,21（2m）线性相关的充分必要条件
28、是其中 至少存在一个向量可以由其余 1m个向量线性表示证明证明 必要性 设 m,21线性相关，即存在一组不全为零的数 mkkk,21使得 1122.mmkkk O因为 mkkk,21中至少有一个不为零，不妨设 01k，则有mmkkkkkk13132121即 1能由其余 1m个向量线性表示。充分性 不妨设向量组 m,21中的 m能由其余 1m个向量线性表示，即有112211mmmkkk故 0)1(112211mmmkkk因为 1,121mkkk这 m001个数不全为（至少），所以 m,21线性相关。如例1中的 能由 321,线性表示，即 321则由定理3知向量组 321,线性相关。定理定理4 设
29、向量组 m,21线性无关，而向量组,21m性相关，则 能由 m,21线性表示，且表示方法是惟一的。删去下面内容证明证明 因为向量组,21m线性相关，故存在一组不全为零的数 121,mmkkkk使012211mmmkkkk要证 能由 m,21线性表示，只须证明 01mk。用反证法，假设 01mk则 mkkk,21不全为零，且 02211mmkkk则 m,21线性相关，这与已知 m,21线性无关矛盾，故 01mk再证表示方法惟一。设 有两个表达式mm2211mm2211两式相减得 0)()()(222111mmm因为 m,21线性无关，所以 0ii即),2,1(miii故 的表示方法唯一。3.4.
30、3向量组的秩向量组的秩由定理2可知，向量组的线性相关性与由向量组组成的矩阵的秩密切相关。为使讨论进一步深入，我们把秩的概念引进向量组。定义定义3 设 A是 n维向量所组成的向量组，如果 A中有 r个向量 12,r 满足：(1)12,r 线性无关(2)对任一个 A能由 12,r 线性表示。.则称 12,r 是向量组 A的一个最大线性无关组，简称最大无关组，最大无关组所含向量的个数 r称为向量组 A的秩，记作 nRAR,21或只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为零。求向量组的秩和最大无关组可以通过相应的矩阵运算来实现。为此，我们给出下面的定理：定理定理5 矩阵的秩等于它的行向量组的秩，也
31、等于它的列向量组的秩。证明证明 设 n,21是矩阵 A的列向量组，即 nA,21且设 rAR则 A中有非零的 r阶子式，记作 rD即 0rD由定理2知，rD是所在的 r列向量线性无关；又因为 A中所有 1r阶子式都为零，所以 A中任意 1r个列向量都线性相关。故由定理4 和定义3知 rD所在的 r列是 A的列向量组的一个最大无关组，所以 列向量组的秩等于 r同理可证矩阵 A的行向量组的秩也等于 AR根据3.2的定理1我们还可以证明，如果对一个矩阵 A施以初等行 变换化为矩阵 A则 A的列向量组与 A的列向量组之间有相同 的线性关系，即矩阵的初等行变换不改变其列向量间的线性关系，亦即不改变矩阵的
32、秩。这样我们就可以利用初等行变换求向量组的秩及最大无关组，并可把向量组中任一向量由它的最大无关组线性表示。这时我们也称 A与 A的列向量组之间是等价的（即 A的列向量组与 A的列向量组能相互线性表示）。【例例6】求向量组 2,1,1,4,0,1,1,2,1,1,1,1321的秩和一个最大无关组。解解 将 321,作为列向量组成矩阵 A然后对矩阵 A施行初等行变换，化为行阶梯形矩阵201111111421A 41rr421111111201 141312rrrrrr220110110201 24232rrrr000000110201由最后一个矩阵可知向量组 321,的秩 为2，其中 21,线性无
33、关，故 21,为一个最大无关组。显然，31,和 32,也是向量组 321,的最大无关组。由此可得，最大无关组不是惟一的，但它们所含向量的个数是相等的。【例例7】求向量组 1,5,1,2,4,4,1,1,3,1,3,14321的秩及它的一个最大无关组，并将其它向量用该最大无关组线性表示。解解 将 4321,，作为列向量组成矩阵 121154131431A对 A施行初等行变换，将其化为行最简形矩阵 13123121154131431rrrrA222088801431232281rrr000011101431 213rrA000011102101所以 2ARAR即向量组 4321,，的秩为 2。由最
34、后一个矩阵 A可知，21,为一个最大无关组，且 2142132,习题习题3.4 1.判断下列向量组的线性相关性：（1）300,020,011321（2）142,020,011321（3）)2,1,1,4(),0,1,1,2(),1,1,1,1(321（4）)2,6,0,2,0(),1,2,0,1,2(),1,3,0,1,0(),2,2,1,2,1(4321（5）)2,5,3(),0,2,2(),1,0,1(321（6）)1,7,2,2(),4,2,1,3(),1,3,1,1(321（7）)7,6,5,4(),6,5,4,3(),5,4,3,2(),4,3,2,1(4321（8）)1,0,1()
35、,2,1,3(),3,1,2(),2,1,1(43212.判断下列各题中向量 能否由其它向量线性表示，若能，将其它向量的线性组合：（1）)1,0,0,0(),0,1,0,0(),0,0,1,0(),0,0,0,1(),1,2,1,3(4321（2）)6,3,2(),4,1,0(),3,2,1(),5,1,1(321（3）)1,3,6,5(),2,0,5,3(),3,1,7,2(),10,7,3,8(3213.已知)1,3,2(),1,2(),3,4,1(321t线性相关，求 t的值。4.求下列向量组的秩和一个最大无关组：（1）TTT)3,0,0(,)0,2,0(,)0,1,1(321(2)TT
36、TT)1,1,3,4(,)2,6,2,4(,)0,2,1,3(,)1,3,1,2(4321（3）1234(1,5,0,8),(4,3,1,2),(2,10,0,16),(5,8,1,6)（4）)7,4,3,1(),8,6,2,4(),3,1,2,1(3215.求下列向量组的秩和一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组线性表示。（1）)3,2,1(),0,0,1(),0,1,1(),1,1,1(4321（2）)0,2,1,1(),6,5,1,2(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(54321（3）1234(6,4,1,9,2),(1,0,2,3,4),(1,4,9,6,
37、22),(7,1,0,1,3)6.设向量组 321,线性无关，求证 2331223112,2,2也线性无关。7.证明线性无关向量组的部分组必线性无关。3.5 一般线性方程组解的结构一般线性方程组解的结构3.5.1齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构在3.1节中齐次线性方程组（3-1-2）的矩阵表达式为 0Ax若有 n维列向量，使得 0A则称 为（2）的解向量，它也是 矩阵方程 0Ax的解。当方程 0Ax有无穷多解（当然是非零解）时，其解有如下性质：性质性质1 如果 21和是 0Ax的两个解，则 21也是 0Ax的解 性质性质2 如果 是 0Ax的解，k为任意实数，则 k也是 0Ax的解
38、.由两个性质推广可得性质3性质性质3 如果 s,21是 0Ax的解，则它们的线性组合sskkk2211也是 0Ax的解，其中 skkk,21是任意实数。由此可知，如果能求出 0Ax的所有解构成的解向量组的一个最大无关组，则能用它的线性组合来表示齐次线性方程组 0Ax的全部解。定义定义1 若齐次线性方程组 0Ax的一组解向量 r,21满足条件：（1）r,21线性无关；（2）0Ax的任一解向量都可由 r,21线性表示，则称 r,21是齐次线性方程组 0Ax的一个基础解系。显然 0Ax的基础解系就是它的解向量组的一个最大无关组。于是，只要找出 0Ax的一个基础解系，它的全部解向量就能由基础解系的线性
39、组合表示出来：rrkkkx2211(skkk,21是任意实数)称其为齐次线性方程组 0Ax的通解。设齐次线性方程组 0Ax的系数矩阵 A的秩为 r于是对 A施行若干次初等行变换，A可以化为行最简阶梯形矩阵rrnrrnrnrAbbbbbb00000000001000100011212111rA对应的方程组为 nrnrrrrnnrrnnrrxbxbxxbxbxxbxbx112112211111（3-5-1）方程组 0Ax与方程组（3-5-1）为同解方程组。在方程组（3-5-1）中，把 nrrxxx,21作为自由未知量，并令它们依次取下列 rn组数100,010,001则有rnnnrrrrrrrrr
40、bbbbbbbbbxxx21222211121121,从而得到线性方程组 0Ax的 rn个解向量：100,010,001122121111rnnrnrrrrrrbbbbbb可以证明 rn,21是线性无关的，而且方程组 0Ax的任一解 都可由 rn,21线性表示出来：rnnrrxxx2211故 rn,21就是齐次线性方程组 0Ax的基础解系，它所含向量个数为 rn 个。上述过程给出了一种求方程组 0Ax的基础解系的方法。从这个过程中可以看出，基础解系不是惟一的，即齐次线性 方程组可以有不同的基础解系。如将 nrrxxx,21任取 rn 个线性无关的 rn 维向量，再通过方程组（3-5-1）求出
41、rxxx,21便可得到方程组 0Ax的一个基础解系。【例例1】求齐次线性方程组042022022432143214321xxxxxxxxxxxx的基础解系。解解 对方程组的系数矩阵 A作初等行变换 63306330221141212112221113122rrrrA 22331rrr000021102211 21rr000021100101因为 42 AR所以方程组有非零解，且有2个自由未知量，同解方程组为02043231xxxxx取 43,xx为自由未知量，将方程组改写成 432312xxxxx令 0,143xx可得 1,121xx令 1,043xx可得 2,021xx于是原方程组的基础解系
42、为1020,011121【例例2】求齐次线性方程组 022042022432143214321xxxxxxxxxxxx的通解解解 对方程组的系数矩阵 A作初等行变换 13122122111422121rrrrA330033002121 22331rrr000011002121 21rr000011001021因为 42 AR所以方程组有非零解，且有2个自由未知量，同解方 程组为00243421xxxxx取 42,xx为自由未知量，将方程组改写成 434212xxxxx分别令 0,142 xx及 1,042 xx可得基础解系 1101,001221则通解为 2211kkx其中 21,kk为任意实
43、数。此题也可以将系数矩阵 A的行最简阶梯形矩阵所对应的同解方程组写成如下形式4443224212xxxxxxxxx这里 42,xx仍为自由未知量，11010012424321xxxxxx则自由未知量系数组成的列向量组 1101,001221便是原方程组的一个基础解系。将上式改为向量形式有 3.5.2非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组 BAx 对应的齐次线性方程组 0Ax亦称为非齐次线性方程组的导出组。这两种方程的解之间有下列性质：性质性质4 如果 21,是 BAx 的解，则 21是其导出组 0Ax的解。证明：因为 BABA21,故 02121BBAAA所以 21是
44、 0Ax的解。性质性质5 如果 是 BAx 的解，是其导出组 0Ax的通解，则 是 BAx 的解（证明留做练习供同学自己思考）由上面两个性质，可得如下定理：定理定理1 如果 0是 BAx 的一个特解，是其导出组 0Ax的通解，那么 0是 BAx的通解。（证略）上述定理说明，如果求得导出组 0Ax的一个基础解系 rn,21和 BAx 的一个特解 0则方程组 BAx 的通解为rnrnkkkx22110（其中 rnkkk,21为任意实数）【例例3】求非齐次线性方程组 422542122432143214321xxxxxxxxxxxx的通解。解解 对增广矩阵施行初等行变换131224122151142
45、12121,rrrrBA333003330012121 22331rrr00000111001212121rr0000011100210212,ARBAR所以方程组有解，同解方程组为 12243421xxxxx或写为 444322421122xxxxxxxxx即 010211010012424321xxxxxx令 TT1101,001221T01020所以非齐次线性方程组的通解为 22110kkx（其中 21,kk为任意实数）。删去下面内容【例例4】讨论当 qp,为何值时，下列方程组qxxxxxxxxxpxxxxxxxxxx5432154325432154321343536223231（1）无
46、解；（2）有解，并求其通解。解解 对增广矩阵施行初等行变换 BA,qp1343536212031213111111 141253rrrr562120362120362120111111qp32rr562120362120362120111111qp2423rrrr 20000000000362120111111qp21rr20000000000362120251011qp(1)当 0p或 2q时，ARBAR,方程组无解。(2)当 0p且 2q时 52,ARBAR方程组有解，同解方程组为36222554235421xxxxxxxx即 55445423225421362225xxxxxxxxxxx
47、xxx或 0030210605012010121154254321xxxxxxxx求得非齐次线性方程组的一个特解 T0,0,3,0,20及导出组的一个基础解系TTT1,0,6,0,5,0,1,2,0,1,0,0,2,1,1321所以非齐次线性方程组的通解为 3322110kkkx（321,kkk为任意实数）习题习题3.5 1.求下列齐次线性方程组的一个基础解系：（1）0520202432143214321xxxxxxxxxxxx（2）043320354203254321543214321xxxxxxxxxxxxxx2.求下列齐次线性方程组的通解：（1）02200432143214321xxxx
48、xxxxxxxx（2）0793083032054321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx（3）032022034243213214321xxxxxxxxxxx （4）0940283032042321321321321xxxxxxxxxxxx3.求下列非齐次线性方程组的通解：（1）2531320432143214321xxxxxxxxxxxx（2）0895443313432143214321xxxxxxxxxxxx（3）32323534213254321543214321xxxxxxxxxxxxxx（4）642322552313214432143214321432xxxxx
49、xxxxxxxxxx4.当 ba,取何值时，非齐次线性方程组 bxxxxxxxxxxxxxxaxxxxx5432154325432154321334536221323有解，且求其通解。5.当 为何值时，齐次线性方程组 002200432432143214321xxxxxxxxxxxxxxx有无穷多解，并求其通解。复习题三复习题三1.填空题：（1）已知 3,5,1,0,9,7,5,321且 23132则 _3（2）若存在一组实数 m,21使得 mm2211则称 m,21的一个 _且,21m线性 _关。（3）设向量组),0(),0,(),0,(321bacbca线性无关，则 cba,必须满足关系式
50、 _（4）如果5元齐次线性方程组 0Ax的同解方程组是 03231xxx则 _)(AR0Ax的基础解系有 _个解向量。（5）m个 n维向量组成的向量组，当 nm_时，这个向量组一定线性相关。（6）已知向量组)2,5,4,0(),0,0,2(),1,1,2,1(321t的秩为2则 t的值为 _2.单选题：（1）设向量组 54321,的秩为 3且满足 0531423则下列向量组中（）是 54321,一个最大无关组。A.531,B.321,C.542,D 421,（2）设 A是 n阶方阵且 0A则 A中（）A.必有一列元素全为零 B.必有两列元素对应成比例 C.必有一列向量是其余向量的线性组合 D.
