1、第一章第一章 矢量分析矢量分析 矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示 A矢量的几何表示矢量的几何表示矢量可表示为：矢量可表示为：其中其中 为为模值模值，表征矢量的，表征矢量的大小大小；为为单位矢量单位矢量，表征矢量的，表征矢量的方向方向；说明：矢量书写时，说明：矢量书写时，印刷体印刷体为场量符号加粗，如为场量符号加粗，如 。教材。教材上的矢量符号即采用印刷体。上的矢量符号即采用印刷体。1.1 矢量代数矢量代数1.1.1 标量和矢量标量和矢量 标量与矢量标量与矢量 标量：标量：只有大小，没有方向只有大小，没有方向的物理量的物理量(电压电压U U、电荷量
2、、电荷量Q Q、能量、能量W W等）等）矢量：矢量：既有大小，又有方向既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度）的物理量（作用力，电、磁场强度）矢量的代数表示矢量的代数表示FEHBDrrrrrArAeDAAeAAAeA第一章第一章 矢量分析矢量分析xxyyzzAe Ae Ae AcoscoscosxyzAAAAAA(coscoscos)xyzAA eee 矢量用坐标分量表示矢量用坐标分量表示coscoscosAxyzeeeezAxAAyAzxyO第一章第一章 矢量分析矢量分析1.1.2 矢量的运算矢量的运算xxyyzzxxyyzzAe Ae Ae ABe Be Be B()()ABBA
3、ABCABC()()()xxxyyyzzzABeABeABeAB 矢量的加法和减法矢量的加法和减法说明：说明：1 1、矢量的加法符合、矢量的加法符合交换律交换律和和结合律结合律：2 2、矢量相加和相减可用、矢量相加和相减可用平行四边形法则平行四边形法则求解：求解：BAABBAABB第一章第一章 矢量分析矢量分析cosABxxyyzzA BA BA BA BA Brrrr 矢量的乘法矢量的乘法 矢量与标量相乘矢量与标量相乘xxyyzzAkAe kAe kAe kAe k A标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。矢量的标积（点积）矢量的标积（点积）()
4、A BBAABCA BA Cvvvvvvvvvvv说明：说明：1 1、矢量的点积符合交换律和分配律：、矢量的点积符合交换律和分配律：2 2、两个矢量的点积为标量两个矢量的点积为标量 ABAB第一章第一章 矢量分析矢量分析sin()()()xyznABxyzxyzxyzzyyzxxzzxyyxeeeA Be ABAAABBBeA BA BeA BA BeA BA B 矢量的矢积（叉积）矢量的矢积（叉积）说明：说明：1 1、矢量的叉积、矢量的叉积不符合不符合交换律，但交换律，但符合符合分配律：分配律：2 2、两个矢量的叉积为矢量两个矢量的叉积为矢量 ()A BBAABCA BA C 3 3、矢量运
5、算恒等式、矢量运算恒等式()()()()()()AB CBCACA BAB CB A CC A Bvvvvvvvvvvvvvv vvvvsinABBABA第一章第一章 矢量分析矢量分析yx以以浓度浓度表示的表示的标量场标量场 以以箭头箭头表示的表示的矢量场矢量场A 标量场标量场（）和矢量场和矢量场（A）yx第一章第一章 矢量分析矢量分析1.1 标量场的梯度标量场的梯度q 如果物理量是标量，称该场为如果物理量是标量，称该场为标量场标量场。例如例如：温度场、电位场、高度场等。：温度场、电位场、高度场等。q 如果物理量是矢量，称该场为如果物理量是矢量，称该场为矢量场矢量场。例如例如：流速场、重力场、
6、电场、磁场等。：流速场、重力场、电场、磁场等。q 如果场与时间无关，称为如果场与时间无关，称为静态场静态场，反之为，反之为时变场时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：时变标量场和矢量场可分别表示为：(,)u x y z t、(,)F x y z t 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个域上定义了一个场场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场标量场和矢量场(,)u x y z、(,)F x y z静态标量场和矢量场可分别表示为：静态标量场和矢量场可分别
7、表示为：第一章第一章 矢量分析矢量分析1.1.1 标量场的等值面标量场的等值面 标量场空间中，由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。标量场空间中，由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。即若标量函数为即若标量函数为 ，则等值面方程为：，则等值面方程为：(,)uu x y z(,)u x y zcconst1.1.2 方向导数方向导数方向导数表征标量场空间中，方向导数表征标量场空间中，某点处某点处场值沿场值沿特定方向特定方向变化的规律。变化的规律。方向导数定义：方向导数定义：000()()limlMu Mu Mull M0Mll()u r方向导数与选取的方向导数与选取的考察方向考察方向有关
8、。有关。第一章第一章 矢量分析矢量分析 方向导数物理意义：方向导数物理意义：00Mul，标量场，标量场 在在 处沿处沿 方向增加率；方向增加率；u0M00Mul，标量场，标量场 在在 处沿处沿 方向减小率；方向减小率；u0Mll00Mul，标量场，标量场 在在 处沿处沿 方向为等值面方向（无改变）方向为等值面方向（无改变）u0Ml 方向导数的计算方向导数的计算coscoscosuuuulxyz 的方向余弦。的方向余弦。l式中式中：coscoscos、分别为分别为 与与x,y,zx,y,z坐标轴的夹角。坐标轴的夹角。l第一章第一章 矢量分析矢量分析 梯度的定义梯度的定义max(,)lugradu
9、 x y zelr式中：式中：为场量为场量 最大变化率最大变化率的方向上的单位矢量。的方向上的单位矢量。ler 梯度的性质梯度的性质 标量场的梯度为标量场的梯度为矢量矢量，且是坐标位置的函数，且是坐标位置的函数 标量场梯度的幅度表示标量场的标量场梯度的幅度表示标量场的最大增加率最大增加率 标量场梯度的方向标量场梯度的方向垂直于垂直于等值面，为标量场等值面，为标量场增加最快增加最快的方向的方向 标量场在给定点沿任意方向的标量场在给定点沿任意方向的方向导数方向导数等于等于梯度在该方向投影梯度在该方向投影1.1.3 标量场的梯度标量场的梯度u第一章第一章 矢量分析矢量分析 梯度的运算梯度的运算1rz
10、uuuueeerrz rrr11sinruuuueeerrr 直角坐标系：直角坐标系：()xyxyzzuuueeexgrad ueeexzzuyyrrrrrr哈密顿算符u 球面坐标系：球面坐标系：11()sinreeerrr 柱面坐标系：柱面坐标系：1()rzeeerrz vvv第一章第一章 矢量分析矢量分析0()()()()()CCuCuuvuvuvuvv uf ufuu 梯度运算相关公式梯度运算相关公式式中：式中：为常数；为常数；C,u v为坐标变量函数；为坐标变量函数；第一章第一章 矢量分析矢量分析zyxzyxeee 若引入算符若引入算符，在直角坐标系中该，在直角坐标系中该算符算符 可表
11、可表示为示为grad则梯度可以表示为则梯度可以表示为zxyr OP(x,y,z)r r r P(x,y,z)例例 计算计算 及及 。R1R1 表示对表示对 x,y,z 运算运算 表示对表示对 运算运算zyx,0Rrr这里这里第一章第一章 矢量分析矢量分析zyxzyxeeerzyxzyxeeer解解zyxzzyyxxeeeR)()()(222)()()(zzyyxxRzyxzyxeeezyxzyxeee31RRRRR1131RRR表示源点，表示源点，P 表示场点。表示场点。Pzxyr OP(x,y,z)r r r P(x,y,z)第一章第一章 矢量分析矢量分析1-5 矢量场的通量与散度矢量场的通
12、量与散度1.5.1 1.5.1 矢量线（力线）矢量线（力线）矢量场的通量矢量场的通量 矢量线的矢量线的疏密疏密表征矢量场的表征矢量场的大小大小 矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向()SA rd Svv 若若矢量场矢量场 分布于空间中，在分布于空间中，在空间中存在任意曲面空间中存在任意曲面S S，则定义：，则定义：()F r为为矢量矢量 沿沿有向曲面有向曲面 S S 的通量的通量。1.5.2 1.5.2 矢量场的通量矢量场的通量()A r矢量线矢量线OM Fdrrrdr问题问题：如何定量描述矢量场的大小？如何定量描述矢量场的大小？引入引入通量通量的概念。
13、的概念。第一章第一章 矢量分析矢量分析cos()nsssF dSF e dSFr dS vvvvvvgg蜒 1)1)面元矢量面元矢量 定义：面积很小的定义：面积很小的有向有向曲面。曲面。dS：面元面积，为微分量，：面元面积，为微分量，无限小无限小dSne：面元法线方向，：面元法线方向，垂直于垂直于面元平面。面元平面。说明：说明：nedS2)2)面元法向面元法向 的确定方法：的确定方法：对非闭合曲面：由曲面边线绕向按对非闭合曲面：由曲面边线绕向按右手右手螺旋法则螺旋法则确定；确定；对闭合曲面：闭合面对闭合曲面：闭合面外法线方向外法线方向ne 若若S 为闭合曲面为闭合曲面 s()rd ASvvv物
14、理意义：表示穿入和穿出闭合面物理意义：表示穿入和穿出闭合面S S的通量的的通量的代数和代数和。第一章第一章 矢量分析矢量分析 若若 ，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发出矢量线的出矢量线的正源正源；0 若若 ，有净的矢量线进入，闭合面内有汇集矢量线的，有净的矢量线进入，闭合面内有汇集矢量线的负负源源；0 若若 ，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内无无源源，或或正源负源代数和为正源负源代数和为0 0。0 通过通过闭合面闭合面S S的通量的通量的物理意义：的物理意义：000第一章第一章 矢量分析矢量
15、分析 局限：只能判断闭合曲面中源的正负特性以及源的总量，不局限：只能判断闭合曲面中源的正负特性以及源的总量，不能显示源的分布特性。能显示源的分布特性。如果令包围某点的闭合面无限收缩，那么该点就可以通量可如果令包围某点的闭合面无限收缩，那么该点就可以通量可以表示源的特性。以表示源的特性。例：例：真空中的电场强度真空中的电场强度 E E 通过任一闭合曲面的通量等于该通过任一闭合曲面的通量等于该闭合包围的自由电荷的电荷量闭合包围的自由电荷的电荷量q q 与真空介电常数之比：与真空介电常数之比：即即0dSqES（高斯定理）（高斯定理）第一章第一章 矢量分析矢量分析1.5.31.5.3、矢量场的散度、矢
16、量场的散度 散度的定义散度的定义 在场空间在场空间 中任意点中任意点M M 处作一个闭合曲面，所围的体积处作一个闭合曲面，所围的体积为为 ，则定义场矢量，则定义场矢量 在在M M 点处的散度为：点处的散度为：AV0divlimsVA dSAVvg()F r散度是一个标量，即散度是一个标量，即通过单位体积闭合面的通量。通过单位体积闭合面的通量。第一章第一章 矢量分析矢量分析1.5.4 散度定理（矢量场的高斯定理）散度定理（矢量场的高斯定理）VsAdVAdS v 该公式表明了矢量场该公式表明了矢量场 A 的散度在体积的散度在体积V内的积分等于矢量场内的积分等于矢量场穿过包围该体积的穿过包围该体积的
17、边界面边界面S S的通量。的通量。从从数学数学角度可以认为散度定理建立了角度可以认为散度定理建立了面面积分和积分和体体积分的关系。积分的关系。从从物理物理角度可以理解为散度定理建立了角度可以理解为散度定理建立了区域区域 V 中的场和包围区域中的场和包围区域 V 的的边界边界 S 上的场之间的关系。因此，如果已知区域上的场之间的关系。因此，如果已知区域 V 中的场，中的场，根据根据散度定理即可求出边界散度定理即可求出边界 S 上的场，反之亦然。上的场，反之亦然。第一章第一章 矢量分析矢量分析n 散度的计算散度的计算 在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。矢量场 表示为：Ax
18、xyyzzAA aA aA a123123ddddSSSSA SA SA SA S456456dddSSSA SA SA S在 x方向上：计算穿过 和 面的通量为2S1S111111d()ddxxSSSASAeSA S xexe第一章第一章 矢量分析矢量分析n 散度的计算散度的计算假设六面体很小，假设六面体很小，S1上各点的上各点的Ax相等：相等：11d(,)2xSxASA xy zy z 同理，同理，22d(,)2xSxASA xy zy z 因为（泰勒展开，略去高次项）因为（泰勒展开，略去高次项）(,)(,)()22xxxMAxxA xy zA x y zx(,)(,)()22xxxMAx
19、xA xy zA x y zx12d()xMSSAASx y zx 得：得：第一章第一章 矢量分析矢量分析散度的计算散度的计算同理，在上下和前后端面的通量为：同理，在上下和前后端面的通量为：()yMAx y zy 六面体表面总通量为：六面体表面总通量为：()zMAx y zz dyxzSAAAASx y zxyz 0divlimysxzVA dSAAAAVxyzvgvx y z 通常散度表示为：divAA 第一章第一章 矢量分析矢量分析 散度的物理意义散度的物理意义 矢量场的散度表征了矢量场的矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性通量源的分布特性(体密度体密度)；矢量场的矢量场的散度是标量
20、散度是标量；矢量场的散度是空间坐标的函数；矢量场的散度是空间坐标的函数；矢量场的散度值表征空间中某点处矢量场的散度值表征空间中某点处通量源的密度通量源的密度。(正源正源)()0divF r 负负源源)()0divF r(无源无源）()0divF r 若若 处处成立，则该矢量场称为处处成立，则该矢量场称为无散场无散场 若若 ，则该矢量场称为，则该矢量场称为有散场有散场，为源密度为源密度()0divF r()0divF r 讨论：在矢量场中，讨论：在矢量场中，第一章第一章 矢量分析矢量分析 在直角坐标系下：在直角坐标系下：()yxzFFFdivF rxyz()()xyzxxyyzzeeeF eF
21、eF exyz()F r vv 在圆柱坐标系下：在圆柱坐标系下：在球面坐标系下：在球面坐标系下：()11()rzFrFFF rrrrzvv22111()()(sin)sinsinrFF rr FFrrrrvv 散度的计算散度的计算第一章第一章 矢量分析矢量分析 散度运算相关公式散度运算相关公式0()()()()()()()CCCCfCffkFkF kf FfFFfFGFG 为常矢量为标量函数为常数第一章第一章 矢量分析矢量分析例例 求空间任一点位置矢量求空间任一点位置矢量 r 的散度的散度。3zzyyxxr求得求得zyxzyxeeer已知已知解解rOxzyxzy第一章第一章 矢量分析矢量分析z
22、xyr OP(x,y,z)r r r P(x,y,z)例例 计算计算21RRrr这里这里0R 当当31RRRzyxzyxeeerzyxzyxeeerzyxzzyyxxeeeR)()()(222)()()(zzyyxxR233332233533523351()13()13()13()xxyyzzRxyzRRRRxxxxyyyyxyRRRRRRzzzzzRRR R因此因此第一章第一章 矢量分析矢量分析可以得到可以得到233100RRRR33当当R=0，则上述微分不能运算，为了要计算包括，则上述微分不能运算，为了要计算包括R=0的区域中的区域中21R 的值，我们可以令源点的值，我们可以令源点P移动到
23、坐标原点，则位置矢量移动到坐标原点，则位置矢量r=0，R=r。以坐标原点为球心做一个半径为以坐标原点为球心做一个半径为a的球，将函数的球，将函数对该球进行积分，利用散度定理：对该球进行积分，利用散度定理：21R 23322111114vvSSSSSdVdVddRRRRddSdSRRa nRSSR eS第一章第一章 矢量分析矢量分析可以得到可以得到233100RRRR33当当R=0，则上述微分不能运算，为了要计算包括，则上述微分不能运算，为了要计算包括R=0的区域中的区域中21R 的值，我们可以令源点的值，我们可以令源点P移动到坐标原点，则位置矢量移动到坐标原点，则位置矢量r=0，R=r。以坐标
24、原点为球心做一个半径为以坐标原点为球心做一个半径为a的球，将函数的球，将函数对该球进行积分，利用散度定理：对该球进行积分，利用散度定理：21R 23322111114nRSSR evvSSSSSdVdVddRRRRdSdSdSRRa 第一章第一章 矢量分析矢量分析210R 211104vdVRVR211004vdVRVR0R 当当有有若体积若体积V中不包括中不包括R=0的原点，的原点，根据根据函数的定义，有函数的定义，有211()4RR第一章第一章 矢量分析矢量分析函数及其相关性质函数及其相关性质电荷的分布特性可以用电荷体密度电荷的分布特性可以用电荷体密度Ruo(r)来表示，一般为空间来表示，
25、一般为空间坐标连续函数。坐标连续函数。但是在电磁场问题中会碰到点电荷的情况，如果将点电荷但是在电磁场问题中会碰到点电荷的情况，如果将点电荷q也也视为分布电荷时，就会出现一个特殊情况：在点电荷所在处，视为分布电荷时，就会出现一个特殊情况：在点电荷所在处，其其电荷体密度为无穷大电荷体密度为无穷大，为奇异点。但是对点电荷的电荷密度，为奇异点。但是对点电荷的电荷密度进行体积分时，去得到一个有限值进行体积分时，去得到一个有限值q。为了描述点电荷的这种特殊性质引入了为了描述点电荷的这种特殊性质引入了 函数函数第一章第一章 矢量分析矢量分析函数的定义函数的定义对于单位点电荷，其位置为对于单位点电荷，其位置为
26、r，则任一点（位置矢量为，则任一点（位置矢量为r）的密度函数为：的密度函数为：0()()rrrrrrr0()()1VVr dVdVrrrrrrrr表示体积分范围包含了单位点电荷所在的点。表示体积分范围包含了单位点电荷所在的点。第一章第一章 矢量分析矢量分析函数的定义函数的定义同样对于电荷量为同样对于电荷量为q的点电荷，其密度函数为：的点电荷，其密度函数为：0()()rqrrrrrr0()()VVr dVqdVqrrrrrr函数，也称为冲激函数，在电子学中，函数，也称为冲激函数，在电子学中，函数可以函数可以描述这样一个脉冲，高度为无穷大，宽度为描述这样一个脉冲，高度为无穷大，宽度为0，而脉冲面积
27、为，而脉冲面积为1，即，即00()0ttt00()1()10tt dtort dtt第一章第一章 矢量分析矢量分析函数的有关性质函数的有关性质1.函数的筛选性（抽样性）函数的筛选性（抽样性）()()()Vf rdVf rrr若若f(r)为连续函数，则有：为连续函数，则有：意义：这是对意义：这是对 的体积分，除了在点电荷所在处（的体积分，除了在点电荷所在处（r=r的奇点）的奇点）积分值等于积分值等于1之外，其余地方为之外，其余地方为0，因而对，因而对()()f rdVrr进行体积分，就得到在奇点处该函数的值进行体积分，就得到在奇点处该函数的值 。即把奇点处。即把奇点处的函数值的函数值 筛选出来。
28、筛选出来。()f r()f r第一章第一章 矢量分析矢量分析函数的有关性质函数的有关性质缩放性缩放性函数是一个函数是一个偶偶分布分布与与x 的分布积等于零：的分布积等于零：第一章第一章 矢量分析矢量分析函数的有关性质（函数的有关性质（高斯定理微分形式高斯定理微分形式）21()4()RR,303000(,)4(,)4(,)4(rr)4(,)vvvx y zERdvRx y zRdvRx y zdvx y z 所以在整个积分区域内，其余部分所以在整个积分区域内，其余部分为零，只有以场点为零，只有以场点(x,y,z)为球心，为球心，a为半径的小球体处才对积分有贡为半径的小球体处才对积分有贡献，当献，
29、当 a 足够小时足够小时p(x,y,z)可以可以用场点的用场点的p(x,y,z)来代替。来代替。300RRR由于时第一章第一章 矢量分析矢量分析zyxzyxeee标量场的标量场的梯度梯度0ddiv limsVV ASAzAyAxAzyx A矢量场的矢量场的散度散度矢量场的矢量场的旋度旋度？zyxzyxeee算子算子第一章第一章 矢量分析矢量分析1.6 矢量场的矢量场的环流环流 旋度旋度磁感应线要磁感应线要么穿过曲面么穿过曲面磁感应线要么同时磁感应线要么同时穿入和穿出曲面穿入和穿出曲面磁感应磁感应线线磁场的环流：磁场的环流：第一章第一章 矢量分析矢量分析 矢量场矢量场 A 沿一条有向曲线沿一条有
30、向曲线 l 的的线积分线积分称为矢量称为矢量场场 A 沿该曲线的沿该曲线的环量环量，以，以 表示，即表示，即矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度 dlAl可见，若在闭合有向曲线可见，若在闭合有向曲线 l 上，矢量场上，矢量场 A 的方向处的方向处处与线元处与线元 dl 的方向保持的方向保持一致一致，则环量，则环量 0；若处；若处处处相反相反，则，则 0。可见，环量可以用来描述矢量。可见，环量可以用来描述矢量场的场的旋涡旋涡特性。特性。l第一章第一章 矢量分析矢量分析 已知真空中磁通密度已知真空中磁通密度 B 沿任一闭合有向曲线沿任一闭合有向曲线 l 的的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度环量
31、等于该闭合曲线包围的传导电流强度 I 与真空磁与真空磁导率导率 0 的乘积。即的乘积。即 式中，电流式中，电流 I 的正方向与的正方向与 dl 的方向构成的方向构成 右旋右旋 关系。关系。0 dlIBl 环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲线包围的是环量代表的是闭合曲线包围的总总的源强度，它不能的源强度，它不能显示源的显示源的分布分布特性。为此，需要研究矢量场的特性。为此，需要研究矢量场的旋度旋度。I1 I2第一章第一章 矢量分析矢量分析 旋度旋度是一个矢量。以符号是一个矢量。以符号 curl A 表示矢量表示矢量 A 的的旋
32、度，其旋度，其方向方向是使矢量是使矢量 A 具有具有最大最大环量强度的方向，环量强度的方向，其其大小大小等于对该矢量方向的最大环量等于对该矢量方向的最大环量强度强度，即，即 maxn0 dcurl limlSSAlAe式中式中 curl 是旋度的英文字是旋度的英文字；en 为为最大环量强度的方最大环量强度的方向上的单位矢量，向上的单位矢量，S 为闭合曲线为闭合曲线 l 包围的面积。包围的面积。矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的闭合曲线上的最大最大环量。环量。en1en2en第一章第一章 矢量分析矢量分析直角直角坐标系中，旋度可用矩阵表示
33、为坐标系中，旋度可用矩阵表示为 curl xyzxyzxyzAAAeeeA或者或者curl AA 无论梯度、散度或旋度都是无论梯度、散度或旋度都是微分运算微分运算，它们表示，它们表示场在场在某点某点附近的变化特性。因此，附近的变化特性。因此，梯度、散度及旋度梯度、散度及旋度描述的是场的描述的是场的点点特性或称为特性或称为微分微分特性特性。函数的函数的连续性连续性是可微的必要条件。因此在场量发是可微的必要条件。因此在场量发生生不连续不连续处，也就处，也就不存在不存在前述的梯度、散度或旋度。前述的梯度、散度或旋度。第一章第一章 矢量分析矢量分析 旋度的计算旋度的计算 直角坐标系：直角坐标系：xxy
34、yzzrotFe rot Fe rot Fe rot F()()()yyxxzzxyzFFFFFFeeeyzzxxy()xyzxxyyzzeeee Fe Fe FxyzFxyzxyzeeexyzFFF第一章第一章 矢量分析矢量分析1zzeeeFzFFF2sin1sinsinrrerereFrrFrFrF 柱面坐标系：柱面坐标系：球面坐标系：球面坐标系：矢量场的旋度矢量场的旋度的散度恒为零的散度恒为零标量场的梯度标量场的梯度的旋度恒为零的旋度恒为零()fFfFfF()fCfC 0C()FGFG()FGGFFG()0F()0u 旋度计算相关公式：旋度计算相关公式：证明证明证明证明第一章第一章 矢量
35、分析矢量分析讨论：散度和旋度比较讨论：散度和旋度比较 0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF第一章第一章 矢量分析矢量分析1.6.3 1.6.3 斯托克斯定理斯托克斯定理()cdd lAASvvvv0limro tcnSdSlAevvv 对于有限大对于有限大面面积积s s，可将其按如图方可将其按如图方式进行分割，对每一小面积元有式进行分割，对每一小面积元有：小面：小面积元用积元用S S1 1表示，包围它的闭合小回路为表示，包围它的闭合小回路为C C1 1，由由旋度定义：旋度定义：矢量矢量A沿闭合曲线沿闭合曲线C1的环路积分为：的环路积分为：)11()clAdAdS vvvv22()clAdA
36、dS vvvv()sAdS vvclAdvv()SlAdSA dlvvvvgp 斯托克斯定理的证明：斯托克斯定理的证明：得证！意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的环流。该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的环流。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大方向相反大小相等抵消小相等抵消第一章第一章 矢量分析矢量分析旋度定理旋度定理（斯托克斯定理斯托克斯定理）从数学角度可以认为从数学角度可以认为旋度旋度定理建立了定理建立了面面积分和积分和线线积分的关系。从物理角度可以理解为积分的关系。从物理角度可以理解为旋度旋度定理建立了定理建立了区域区域 S
37、中的场和包围区域中的场和包围区域 S 的的边界边界 l 上的场之间的关上的场之间的关系。因此，如果已知区域系。因此，如果已知区域 S 中的场，根据旋度定理即中的场，根据旋度定理即可求出边界可求出边界 l 上的场，反之亦然。上的场，反之亦然。或者或者()SlAdSA dlvvvvg(cul)SlAdSA dlvvvg第一章第一章 矢量分析矢量分析例例 试证任何矢量场试证任何矢量场 A 均满足下列等式均满足下列等式 ()ddVsV AAS式中，式中，S 为包围体积为包围体积 V 的闭合表的闭合表面。此式又称为面。此式又称为矢量矢量旋度定理，旋度定理，或或矢量矢量斯托克斯定理。斯托克斯定理。证证AC
38、ACCAAC)(设设 C 为任一为任一常常矢量，则矢量，则SVAne第一章第一章 矢量分析矢量分析第一章第一章 矢量分析矢量分析根据散度定理，上式左端根据散度定理，上式左端VVVV d d)(ACAC ()d()dVsVC ACAS(d)dssC ASCAS蜒那么对于任一体积那么对于任一体积 V，得，得 ()ddVSV CACAS求得求得ACACCAAC)(第一章第一章 矢量分析矢量分析 散度处处为散度处处为零零的矢量场称为的矢量场称为无散场无散场，旋度处处，旋度处处为为零零的矢量场称为的矢量场称为无旋场无旋场。4.无散场和无旋场无散场和无旋场()0 可证明可证明()0SldSdl 注：标量函
39、数的封闭曲线积分为注：标量函数的封闭曲线积分为0.对左式：对于任意封闭对左式：对于任意封闭曲面的积分为曲面的积分为0，那么被积函数为，那么被积函数为0第一章第一章 矢量分析矢量分析4.无散场和无旋场无散场和无旋场 上式表明，上式表明，任一标量场任一标量场 的梯度的旋度一定的梯度的旋度一定等于零等于零。因此，任一。因此，任一无旋无旋场一定可以表示为一个场一定可以表示为一个标量场的标量场的梯度梯度，或者说，任何，或者说，任何梯度梯度场一定是场一定是无旋无旋场场。()0 讨论：讨论：静电场为什么可以用一个标量势来表示？静电场为什么可以用一个标量势来表示？，1.静电场的旋度为零。静电场的旋度为零。2.
40、标量函数梯度的旋度为零。标量函数梯度的旋度为零。3.则可用标量函数来描述静电场则可用标量函数来描述静电场()0 E E0第一章第一章 矢量分析矢量分析2:2:可以证明可以证明()0 A()VSdVdS AA()0 xyzxyzxyza a aaaAa a aA A A 混积将将代替代替a ，得，得()0 A第一章第一章 矢量分析矢量分析()0 A 上式表明，上式表明，任一矢量场任一矢量场 A 的旋度的散度一定等的旋度的散度一定等于零于零。因此，任一。因此，任一无散无散场可以表示为另一矢量场的场可以表示为另一矢量场的旋度旋度，或者说，任何，或者说，任何旋度旋度场一定是场一定是无散无散场。场。讨论
41、：讨论：恒定磁场为什么可以用矢量位函数描述？恒定磁场为什么可以用矢量位函数描述？磁场的散度为零。场的散度为零。矢量函数的旋度的散度为零。矢量函数的旋度的散度为零。则可用矢量函数来描述磁场则可用矢量函数来描述磁场B0(A)0 AB 第一章第一章 矢量分析矢量分析6.矢量场的惟一性定理矢量场的惟一性定理 位于某一区域中的矢量场，当其位于某一区域中的矢量场，当其散度散度、旋度旋度以及边以及边界上场量的界上场量的切向切向分量或分量或法向法向分量给定后，则该区域中的分量给定后，则该区域中的矢量场被惟一地确定。矢量场被惟一地确定。已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性已知散度和旋度代表产生矢量场的源
42、，可见惟一性定理表明，矢量场被其定理表明，矢量场被其源源及及边界条件边界条件共同决定。共同决定。VSF(r)tn FFFF和 及或第一章第一章 矢量分析矢量分析 若矢量场若矢量场 F(r)在在无限无限区域中处处是区域中处处是单值单值的，的，且其且其导数连续有界导数连续有界，源分布在，源分布在有限有限区域区域V 中，则当矢量场中，则当矢量场的的散度散度及及旋度旋度给定后，该矢量场给定后，该矢量场 F(r)可以表示为可以表示为 7.亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 )()()(rArrFVVd)(41)(rrrFrAVVd)(41)(rrrFr式中式中V zxyr Or r r F(r)第一章第一章 矢量
43、分析矢量分析 该定理表明任一矢量场均可表示为一个该定理表明任一矢量场均可表示为一个无旋无旋场场与一个与一个无散场无散场之和之和。矢量场的矢量场的散度散度及及旋度旋度特性特性是研究矢量场的是研究矢量场的首要首要问题问题。)()()(rArrF第一章第一章 矢量分析矢量分析第一章第一章 矢量分析矢量分析8.正交曲面坐标系正交曲面坐标系 直角坐标系直角坐标系(x,y,z)zxyz=z0 x=x0y=y0P0zexeyeO第一章第一章 矢量分析矢量分析圆柱坐标系圆柱坐标系(r,z)yzxP0 0=0r=r0z=z0rezeeO第一章第一章 矢量分析矢量分析球坐标系球坐标系(r,)=0 x z y 0
44、0r=r 0=0ereeP0O第一章第一章 矢量分析矢量分析微分微分单元单元的表示的表示球坐标系球坐标系d sin d ddrrrreeeld dd d sin d d sind2rrrrrreeeSd d d sind2rrV 圆柱坐标系圆柱坐标系zrrzrdd ddeeeld d d dd d drrzrzrzreeeSzrrVd d d d直角坐标系直角坐标系zyxzyxddddeeelyxzxzyzyxddddd ddeeeSzyxVd d dd第一章第一章 矢量分析矢量分析zzryrxsincos22arctanrxyyxzz坐标坐标变量变量的转换的转换cossinsincossinrzryrx22222arctanarctanrxyzxyzyx第一章第一章 矢量分析矢量分析zyxzrAAAAAA 1000cossin0sincoszyxrAAAAAA 0cossinsinsincoscoscoscossinsincossinzrrAAAAAA 010sin0coscos0sin矢量矢量分量分量的转换的转换
