1、 初等代数研究的对象是数,运算是数的加法、减法、乘法等.由于数学和科学的发展，我们需要对许多不是数的对象进行研究，并按照类似于以上运算的规则进行计算.因此，我们将这些东西抽象出来统一研究，就产生了抽象代数.由集合和集合上的运算所构成的系统称为代数系统.本章将给出代数系统的一般定义与实例，并讨论一些典型的代数系统.第五章 代数系统简介简介内容：二元运算，交换律，结合律，分配 律，吸收律，幂等律，消去律等。重点：（1）掌握二元运算的概念；（2）掌握二元运算的重要性质；（3）掌握零元，幺元，逆元的定义。5.1 二元运算及性质二元运算及性质定义定义5.1 设A为非空集合，n为正整数，则函数:nfAAA
2、A 个称为集合A上的n元运算元运算.当n=1时，函数f称为集合A上的一个一元运算一元运算；当n=2时，函数f称为集合A上的一个二元运算二元运算；二元运算是最常见的代数运算.例如:集合N上的一个二元运算.但普通的减法运算不是N上的二元运算，因为两个自然数相减可能为负数，而负数不属于自然数.这时也称集合N对减法不封闭不封闭.NNNf:,babaf,就是自然数注意：注意：验证一个运算为集合上A的二元运算，要满足以下两个条件：A中的任何元素都可以进行这种运算，且运算 的结果是唯一的.A中的任何元素的运算结果都属于A，即运算在A上是封闭的.法，除法不是。(1)自然数集合上的加法，乘法都是二元运算，但减N
3、(3)A为任意集合，则并、交、差、补为集合A上的幂集()上的二元运算.(4)表示所有 阶实矩阵的集合()nMRn(2)n 则矩阵的加法、减法、乘法和除法都是二元运算。，例1 判断下列几个命题哪些是正确的，哪些是不正确的.但除法不(2)上的加法，乘法，减法都是二元运算，Z上求相反数的运算是一元运算。Z是。解：解：在上述个命题中，、和是正确的，是错误的.我们通常用等符号表示二元运算，称为算符算符.,:A AA是上的二元运算，对任意的设,x yAx yz zyx可记作和二元运算一样，也可以使用算符来表示元运算.若 baaafn),(21，则可记为baaan,21例如，ba)(一元运算，baa21,二
4、元运算，baaa321,三元运算.这些相当于前缀表示法，但对二元运算用得较多的还是 baa21.我们在本书中所涉及的代数运算仅限于一元.和二元运算如果集合是有穷集，上的一元和二元运算也可以用运算表给出.表51和表52是一元和二元运算表的一般形式.表51 表51例2、(2)设，定义 二元运算如下：0,1,2,3,4S S上的两个()mod5xyxy(,)x yS()mod5xyxy(,)x yS求运算和的运算表。解：解：()mod5xy()mod5xy分别是，,x y的和与积除以5的余数，运算表如下：二、有关运算律。二、有关运算律。设是A上的二元运算，如果对A内的任意元素,2、若，则称运算“*”
5、的.或称“*”满足结合律结合律.在A上是可结合cbacbaa,b,c1、若者说运算“”满足交交换律换律.，则称运算“”在A上是可换的，或abba例如：在实数集R上，通常的加法和乘法都满足交换律，但减法和除法不满足交换律.因为2和4都是实数.因为2-44-2.在幂集P(S)上,都满足交换律，但相对补不满足交换律.例如：实数R上的全体n阶方阵构成的集合 RMn上的方阵的乘法满足结合律，而减法不满足结合律.在幂集P(S)上,也是可结合的.注意：注意：一个代数运算如果满足结合律，则进行运算时常省略括号，如：如果每一次参与运算的都是同一个元素，还可以用该元素的幂来表示，如 cbacbacba个nnaaa
6、a，当运算满足结合律时，用数学归纳法很容易证明 nmnmaaa，mnnmaa，m,n为正整数.3、若，则称运算“”对运”满足左分配律左分配律；cabacba算“acabacb，算“算“，则称运算“”对运”满足左分配律左分配律；”满足右分配律右分配律.若左右分配律则则运算“”对运算“”对运算“”对运算“称运算“”对运算“”对运算“”对运算“均满足，”满足分配律分配律.左吸收律左吸收律；若aaba，则称运算“”对运算”对运”对运算“，则4、若acaa称运算“”对运算“”对运算“”对运算“”满足”对运算“”满足右吸收律右吸收律.若左右吸收律均满足，则称运算“”满足吸收律吸收律.若若5.2 代数系统及
7、其子代数和积代数代数系统及其子代数和积代数内容：子代数，积代数。重点：掌握子代数的定义。了解：积代数的定义。5.3 代数系统的同态和同构代数系统的同态和同构内容：同态，满同态，同构。重点：（1）掌握同态，满同态的定义；（2）掌握判断两个代数系统同态的方法；（3）掌握判断两个代数系统同构的方法；5.4 群的基础知识群的基础知识 内容：半群，群，群同态，群同构，子群，循环群。重点：（1）掌握半群，群，群同态，群同构，子 群，循环群的定义；（2）掌握判断一个代数系统为群，子群的方法；（3）掌握群的阶，有限群，无限群的定义。第五章 小结和例题一、二元运算及其性质1、基本概念。n元运算,二元运算，算符，
8、交换律，结合律，分配律，吸收律，幂等律，消去律零元，幺元，逆元。2、应用。（1）判断一个运算是否为二元运算；（2）识别二元运算的常见性质；（3）判断一个二元运算是否有零元，幺元，逆元，如果有，找出它们。二、代数的基本知识1、基本概念。代数系统的子代数和积代数，代数系统的同态和同构，满同态，同态映射，同构映射。2、应用 （1）求一个代数系统的子代数，积代数；（2）证明两个代数系统是同态或者同构的。三、群的基础知识1、基本概念。半群，群，群同态，群同构，子群，真子群，循环群，幺元，阶，。2、应用。（1）判断一个代数系统为群，半群，阿贝尔群；（2）求一个群的子群；（3）求群的阶，并判断其为有限群或无限群。表56
