1、1一、离散型随机变量及其概率分布一、离散型随机变量及其概率分布 对于离散型随机变量对于离散型随机变量X X，它的取值有限个或无限可列个，它的取值有限个或无限可列个.我们我们关心的问题是：关心的问题是：X X的所有可能的取值是什么？取每一个值的概的所有可能的取值是什么？取每一个值的概率是多少？将这两个问题综合起来就是概率分布率是多少？将这两个问题综合起来就是概率分布.2.2 离散型随机变量离散型随机变量D.r.v.及其概率分布及其概率分布1 1.概率分布的定义概率分布的定义 定义定义：若离散型随机变量：若离散型随机变量X 所有可能的取值为所有可能的取值为 x 1,x 2,对应的概率为对应的概率为
2、 p 1,p 2,，称称 P(X=xk)=pk ,k=1,2,(1)为随机变量为随机变量 X 的的概率分布概率分布或或概率函数概率函数或或 分布律分布律.注注（1）为了直观，概率分布表示为：）为了直观，概率分布表示为：X x 1 x 2 x n P p1 p2 pn (2)(X=x1),(X=x2),(X=xn)，构成完备事件组构成完备事件组.2 2 2.概率分布的性质概率分布的性质(1)pk0，k=1,2,；11)2(kkpP(X=xk)=pk ,k=1,2,注意注意：任一任一具有上述两个性质的数列具有上述两个性质的数列pk，都都有资格作为有资格作为某一个随机变量某一个随机变量 X 的分布列
3、。的分布列。这是判别某个数列是否成为分布列的充要条件！这是判别某个数列是否成为分布列的充要条件！用于验证用于验证概率函数概率函数的正确与否。的正确与否。练习练习1 下面给出的是不是概率函数？下面给出的是不是概率函数？1 1(1)()(),0,1,2,2 31(2)()(),1,2,2kkP XkkP Xkk解解0(1)()kP Xk 由由于于1(2)()()0,1,2,2kP Xkk 由由于于k0k)31(21 43311121 k0k)31(21 所以这不是概率函数所以这不是概率函数因此这是概率函数因此这是概率函数1()kP Xk 且且121121)21(k1k 练习练习2设随机变量设随机变
4、量X的的概率函数为概率函数为 求求 c 的值的值2()(),1,2,33kP Xkck 解解 由性质知由性质知232221(1)(2)(3)()()()333P XP XP Xccc 3827c 解得解得5例例1 1 掷一枚掷一枚骰子骰子，求出现的点数的概率分布，求出现的点数的概率分布及及P(X3).解：设解：设X表示出现的点数，则表示出现的点数，则 X=1，2，3，4，5，6.P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=1/6.所以，所以，X的概率分布为：的概率分布为：P(X=k)=1/6,k=1,2,3,4,5,6.或或X 1 2 3 4 5 6 P
5、 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 3 3.会求概率分布及相关概率会求概率分布及相关概率P(X3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1/2练习：书练习：书P35，例，例1 求分布律求分布律6 例例2 2 袋中有袋中有5 5个黑球、个黑球、3 3个白球，每次从中取一个，不放回，个白球，每次从中取一个，不放回，直到取到黑球为止直到取到黑球为止.求取到白球数目求取到白球数目X X的概率分布，并求的概率分布，并求P(-1X0)，P(1X3)，P(X3).解：解：X=0，1，2，3 P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=351587565832558765632
6、151876556概率分布为：概率分布为：X 0 1 2 3P 5/8 15/56 5/56 1/56=0=P(X=2)=5/56=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=17若离散型随机变量若离散型随机变量X的的概率分布为：概率分布为：P(X=xk)=pk ,k=1,2,I )()(kkxkIxkpxXPIXP则则若离散型随机变量若离散型随机变量X X的概率分布为：的概率分布为：)xX()bXa(bxaii bxaibxaiiip)xX(P)bXa(P bxaibxaiiip)xX(P)bXa(P 则：则：证明：证明：由概率的可加性知：由概率的可加性知：解解 由题知由题知X
7、的的概率函数概率函数为为1 2 3 4 5Xpk1/15 2/15 3/15 4/15 5/15则则 (1)P(X=1 或或X=2)=(2)P(X )=(3)P(1 X 2)=P(1X 2)=2125P(X=1)+P(X=2)=1/15+2/15=1/5P(X=2)=2/15P(X=1)+P(X=2)=1/15+2/15=1/5P(X=1)+P(X=2)=1/15+2/15=1/5练习练习设随机变量设随机变量X的的概率函数为概率函数为(),1,2,3,4,515kP Xkk 求求(1)P(X=1 或或X=2)；(2)P(X )；(3)P(1 X 2)，P(1X 2)2125会求离散型随机变量的
8、概率分布（确定常数）；会求离散型随机变量的概率分布（确定常数）；已知离散型随机变量的概率分布，会求随机变量的取值落在一已知离散型随机变量的概率分布，会求随机变量的取值落在一个范围的概率；个范围的概率；要求：要求：10二、二、常用离散分布常用离散分布 1.1.退化分布退化分布若若 X 的概率分布为：的概率分布为：P(X=a)=1,a 为某一常数为某一常数,则称则称 X 服服从从 a 处的退化分布处的退化分布.此时随机变量退化成了一个常数此时随机变量退化成了一个常数.11若若X的概率分布为：的概率分布为：X 0 1 P 1-1-p pP(X=x1)=p,P(X=x2)=1-p.(0p1)2.2.两
9、点分布两点分布则称则称X服从参数为服从参数为p的两点分布的两点分布.注注0-1分布中分布中X的实质：的实质：设设P(A)=p，X“一次试验中一次试验中A发生的次数发生的次数”，则，则X服从服从0-1分分布布.甲投篮的投中率为甲投篮的投中率为0.40.4，一次投篮中投中的次数，一次投篮中投中的次数X X的分布？的分布？练习：练习：X 0 1P 0.6 0.4若若X服从服从x1=1,x2=0 处参数为处参数为p的两点分布，则称的两点分布，则称X服从服从0-1分布。分布。另如另如 1 1o o 进行一次射击进行一次射击，设事件，设事件A=击中击中，P(A)=p 随机变量随机变量X=一次一次射击射击中
10、中A发生的次数，则发生的次数，则 X0-1分布分布(p)2 2o o 进行一次投篮进行一次投篮，设事件，设事件A=投中投中，P(A)=p 随机变量随机变量X=一次一次投篮投篮中中A发生的次数，则发生的次数，则X0-1分布分布(p)3 3o o 从一批产品中任意抽取一个进行检验，从一批产品中任意抽取一个进行检验，设事件设事件A=废品废品，P(A)=p，随机变量随机变量X=一次一次抽取抽取中中A发生的次数，则发生的次数，则 X0-1分布分布(p)例：例：抛掷硬币的试验中，设事件抛掷硬币的试验中，设事件A=正面向上正面向上，P(A)=p 随机变量随机变量 X=一次抛掷中一次抛掷中A发生的次数，则发生
11、的次数，则 X0-1分布分布(p)13若若X的概率分布为：的概率分布为：P(X=xk)=1/n,k=1,2,n.且当且当 i j 时，时，x i x j，则称则称 X 服从离散型服从离散型均匀分布均匀分布.例例 掷一枚掷一枚骰骰子，出现的点数子，出现的点数X服从均匀分布服从均匀分布.3.3.均匀分布均匀分布P(X=k)=1/6 k=1，2，3，4，5，6.X 1 2 3 4 5 6P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/614若若X表示表示“n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A发生的次数发生的次数”，X的可能取的可能取值为值为0,1,2,n,对应的概率分布为：对应的概率分布为：()
12、,kkn knP XkC p qk=0,1,2,n.(0p 0 为常数，则称为常数，则称 X 服从参数为服从参数为 的泊松分布，的泊松分布，简记为简记为X P().定义定义 随机变量随机变量 X的概率分布为的概率分布为(),0,1,2,!kP Xkekk(满足二属性满足二属性)5.5.泊松泊松分布分布泊松分布的图形泊松分布的图形kO12 P()泊松分布泊松分布()1 2 345 6 7 8 910 12 14 16 18 20 22 240.120.100.080.060.040.02P()特征如右图所示特征如右图所示.注注：历史上，历史上，泊松泊松分布是作为二分布是作为二项分布的近似，项分布
13、的近似，于于18371837年由法国数学家泊松引入的年由法国数学家泊松引入的.泊松分布产生的一般条件泊松分布产生的一般条件在自然界和现实生活中，在自然界和现实生活中，常遇到在常遇到在随机时刻随机时刻出现的某种事件出现的某种事件.把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列称为把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列称为随机事件流随机事件流.若随机事件流具有平稳性、无后效性、普通性，则称该事件若随机事件流具有平稳性、无后效性、普通性，则称该事件流为流为泊松事件流泊松事件流(泊松流泊松流).).平稳性平稳性在任意时间区间内，在任意时间区间内，事件发生事件发生k次次)0(k的概率只依赖于区间长度而与区间端点
14、无关的概率只依赖于区间长度而与区间端点无关.无后效性无后效性在不相重叠的时间段内，事件的发生相互独立在不相重叠的时间段内，事件的发生相互独立.普通性普通性如果时间区间充分小，事件出现两次或两次以上的如果时间区间充分小，事件出现两次或两次以上的概率可忽略不计概率可忽略不计.下列事件都可视为泊松流：下列事件都可视为泊松流：某电话交换台一定时间内收到的用户的呼叫数；某电话交换台一定时间内收到的用户的呼叫数；到某机场降落的飞机数；到某机场降落的飞机数；某售票窗口接待的顾客数；某售票窗口接待的顾客数；一纺锭在某一时段内发生断头的次数；一纺锭在某一时段内发生断头的次数；对泊松流，对泊松流，在任意时间间隔在
15、任意时间间隔),0(t内，内，事件发事件发生的次数服从参数为生的次数服从参数为的泊松分布，的泊松分布，称为称为泊松流的强度泊松流的强度.泊泊松松分布的优点：有关计算可查表分布的优点：有关计算可查表.泊松分布常与单位时间（单位面积、单位产品等）上的计数过泊松分布常与单位时间（单位面积、单位产品等）上的计数过程相联系程相联系.28例例1 1 设设X P(5)，求求P（X=2）P（X=5）P（X=20）=0.084224=0.1754670.00000029例例2 某电话交换台每分钟收到的用户呼唤次数某电话交换台每分钟收到的用户呼唤次数 X X 服从参数服从参数=3=3的的泊松分布，写出泊松分布，写
16、出X X的概率分布，并求一分钟内呼唤的概率分布，并求一分钟内呼唤5 5次的概率次的概率.解：解：X的概率分布为的概率分布为35!53)5(eXP33(),0,1,2,!kP Xkekk1008190.也可以求一分钟内呼唤次数不超过也可以求一分钟内呼唤次数不超过5次的概率次的概率P(X5).50(5)()0.916kP XP Xk 30每月的销售数量为每月的销售数量为X，则则X P(5).例例3（书（书P40，例，例7）由某商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数量可由某商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数量可以用参数以用参数=5 5的泊松分布来描述，为了以的泊松分布来描述，为了以9
17、595以上的把握保证以上的把握保证不脱销，问商店在月初至少应进该商品多少件？（假定上个月没不脱销，问商店在月初至少应进该商品多少件？（假定上个月没有存货）有存货）解：解：事件事件“不脱销不脱销”即（即（X m）查表知，查表知，m=9.设商店在月初至少应进该商品设商店在月初至少应进该商品N N件件.现已知现已知P(X m）95%505()95%!kNkp Xmek85050.9319060.95!kkek95050.9681720.95!kkek泊松分布的图形泊松分布的图形二项分布的图形二项分布的图形二项分布与泊松分布的关系二项分布与泊松分布的关系（2）二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似泊松定
18、理泊松定理1nnkkkn knnnnnnAp,nnp,k,lim P Xk limCp(p)ek!在在 重重伯伯努努利利实实验验中中，事事件件 在在每每次次实实验验中中发发生生的的概概率率为为如如果果时时，则则对对任任定定理理(泊泊松松定定理理)意意给给定定的的有有二项分布二项分布 泊松分布泊松分布n n很大很大,p p 很小很小注注：00 11n10kkknknnpb(n,p)n)p(p.)(np)e.kp()!pnp 当当二二项项分分布布的的参参数数 很很大大（，而而 很很小小时时，可可用用参参数数为为的的泊泊松松分分布布C C来来近近似似，即即书：书：np 10 1033 解：解：X “
19、该单位患有这种疾病的人数该单位患有这种疾病的人数”，则则X b(5000,0.001).P(X2)=500014999500010.9990.001 0.999C X可以可以近似地服从参数为近似地服从参数为 =n p=5 的泊松分布的泊松分布 P(X 2）15051!kkek 例例4 已知某种疾病的发病率为已知某种疾病的发病率为1/10001/1000，某单位共有，某单位共有50005000人，问人，问该单位至少有该单位至少有2 2人患有这种疾病的概率有多大？人患有这种疾病的概率有多大？所求的概率为：所求的概率为：=1-0.006738-0.03369=0.95957234 例例5 某人向某目
20、标射击，命中率为某人向某目标射击，命中率为0.2 0.2.现在不断地进行射击，直现在不断地进行射击，直到命中目标为止，求命中时射击次数的分布到命中目标为止，求命中时射击次数的分布.解：解：X表示表示“命中目标时的射击次数命中目标时的射击次数”，则，则X=1，2，(X=k)表示射击到第表示射击到第k次才命中目标，即次才命中目标，即前前k-1次次不中，第不中，第k次击中次击中.由独立性可求出：由独立性可求出：P(X=k)=(1-0.2)k-1 0.2 k=1,2,35若若X的概率分布为：的概率分布为：P(X=k)=(1-p)k-1 p,k=1,2,则称则称 X 服从参数为服从参数为 p 的几何分布
21、的几何分布.例例11 设某批电子管的合格品率为设某批电子管的合格品率为0.750.75，现对该批电子管进行，现对该批电子管进行有放回地测试，设第有放回地测试，设第X X次首次测到合格品，求次首次测到合格品，求X X的概率函数的概率函数 .X 的可能取值为：的可能取值为：1,2,.事件事件(X=k)表示表示“第第 k 次才测到合格品次才测到合格品”，则，则P(X=k)=0.25 k-1 0.75,k=1,2,解：解：几何分布满足概率分布的二属性几何分布满足概率分布的二属性.6.6.几何分布几何分布在独立试验序列中在独立试验序列中P(A)=p,X“事件事件A 首次发生时所需的试验次数首次发生时所需
22、的试验次数”.注注X G(p)记记作作 解解 用X表示汽车因遇红灯而停止前所经过的交叉路口数，则X的所有可能取值为0，1，2，3，4.X=0表示第一个路口是红灯，所以PX=0=0.4,而X=1 表示第一个路口是绿灯而第二个路口是红灯，所以 ，同理(1)0.6 0.40.24P X 2(2)0.60.40.144P X 3(3)0.60.40.0864P X 4(4)0.60.1296P X 例例1 1 某汽车将要经过的路线上有某汽车将要经过的路线上有4 4个交叉路口个交叉路口.假设在每个假设在每个交叉路口遇到红灯的概率都是交叉路口遇到红灯的概率都是0.40.4，且各路口的红绿灯，且各路口的红绿
23、灯是相互独立的是相互独立的.求该汽车在因遇到红灯而停止前所经过求该汽车在因遇到红灯而停止前所经过的交叉路口个数的分布列的交叉路口个数的分布列.几何分布的无记忆性几何分布的无记忆性定理定理（几何分布的无记忆性）设（几何分布的无记忆性）设X G(p),则对任意正整数则对任意正整数m与与n有有()()P Xmn XmP Xn 定理表明：在一列贝努利试验序列中，若首次成功（定理表明：在一列贝努利试验序列中，若首次成功（A）出现的）出现的试验次数试验次数X服从几何分布，在前服从几何分布，在前m次试验中事件次试验中事件A没有出现的条没有出现的条件下，则在接下来的件下，则在接下来的n次试验中次试验中A仍未出
24、现的概率只与仍未出现的概率只与n有关，有关，而与以前的而与以前的m次试验无关，似乎忘记了前次试验无关，似乎忘记了前m次试验结果，这就是次试验结果，这就是无记忆性无记忆性.|P XmnP Xmn XmP Xm 证证明明1111kk m nkk mqpqp nq P Xn(1)(1)m nmqpqq pq 38 引例引例 某班有某班有20名学生，其中有名学生，其中有5名女生名女生.今从班上任选今从班上任选4名学生去名学生去参观，求被选到的女生数参观，求被选到的女生数X的概率分布的概率分布.解：解：X=0，1，2，3，4.)4,3,2,1,0()(4204155kCCCkXPkk 7.7.超几何分布
25、超几何分布事件事件(X=k)表示选取的表示选取的4人中有人中有k名女生名女生.则则X 39 (1)(1)定义定义 设设 N个元素分成两类，第一类有个元素分成两类，第一类有N1个元素，第二类个元素，第二类有有N2个元素个元素(N1+N2=N).从从N个元素中任取个元素中任取n个，个，X表示取出的表示取出的n个个元素中第一类元素的个数，则元素中第一类元素的个数，则X的概率分布为的概率分布为nNC()P XkkNC1knNNC 1)min(2 1 01n,N.,k 称称X服从服从超几何分布超几何分布.其中其中 n，N1 ，N 都是正整数，且都是正整数，且 1n N，N1 N 。注意注意，若出现，若出
26、现 或或 的情况，规定此时的情况，规定此时的的 .1kN2nkN120kn kNNCCX 服从超几何分布，其概率函数为：服从超几何分布，其概率函数为：随机变量随机变量 X 的可能取值为的可能取值为 0,1,2,3例例1 1：1o 100个产品中有个产品中有 3 个废品，从中任取个废品，从中任取 5 个，求取到个，求取到的次品数的次品数 X 的概率函数。的概率函数。53100 35100(),0,1,2,3kkC CP XkkC 解：解：（2）举例）举例X 服从超几何分布，其概率函数为：服从超几何分布，其概率函数为：随机变量随机变量X的可能取值为的可能取值为 0,1,2,3 2 2o o100个
27、产品中有个产品中有 5 个废品，从中任取个废品，从中任取 3 个，求取到的个，求取到的次品数次品数 X的概率函数。的概率函数。35100 53100(),0,1,2,3kkC CP XkkC 解：解：X服从超几何分布，其概率函数为：服从超几何分布，其概率函数为：随机变量随机变量X的可能取值为的可能取值为 0,1,2,3,4。例例2 2：一袋子中有一袋子中有 20 个球，其中有个球，其中有 5 个白球。现从中任取个白球。现从中任取4个个球，求被选到的白球数球，求被选到的白球数X 的概率函数。的概率函数。4520 5420(),0,1,2,3,4kkC CP XkkC 其概率分布表为：其概率分布表
28、为：解：解：（3）超几何分布的二项分布逼近）超几何分布的二项分布逼近 对一批产品进行对一批产品进行有放回的抽样时，有放回的抽样时，产品的次品率始终保持产品的次品率始终保持不变，这时次品数服从不变，这时次品数服从二项分布二项分布。若进行若进行不放回抽样不放回抽样，其次品，其次品数服从数服从超几何分布超几何分布。但当批量。但当批量 N 很大，而很大，而 n 相对很小时，抽取相对很小时，抽取一件产品后不放回，对次品率影响不大，可以近似地认为次品一件产品后不放回，对次品率影响不大，可以近似地认为次品率近乎不变，这时从率近乎不变，这时从 N 件产品中抽取件产品中抽取 n 件所得次品数件所得次品数 X 近
29、似服近似服从二项分布从二项分布。可以证明，当可以证明，当 N 时，超几何分布以二项分布为极限，时，超几何分布以二项分布为极限，即如果即如果X 服从超几何分布，而服从超几何分布，而N很大，很大，n 相对相对N较小，则较小，则X 近似地近似地服从参数为服从参数为n，p=N1/N 的二项分布的二项分布.定理2 若随机变量 服从参数为 的超几何分布，则对于固定的 ，当 时，有 其中 ，且 .X12,n N Nn1limNNpN12limlimmn mNNmmn mnnNNNC CP XmCpqC（2-102-10）12NNN1Nn1qp 一般地，当一般地，当 n/N 0.1 时，用二项分布来逼近超几何
30、分时，用二项分布来逼近超几何分布，精度就很好。布，精度就很好。12,NNNn当当很很大大，均均较较大大，相相对对很很小小时时，1212mn mmn mNNnNnNC CNNCCNN 44设设 X 表示发芽的种子数，则表示发芽的种子数，则 X 近似服从近似服从二项分布二项分布 B(10,0.9)10 粒种子是从粒种子是从一批一批种子中任取的种子中任取的(不重复）不重复），所以，所以这这是是 N 很大很大而而n=10 相对于相对于 N 很小的超几何分布问题，很小的超几何分布问题，可用二项分布来近似计算可用二项分布来近似计算.一批种子（一批种子（1000010000粒）的发芽率为粒）的发芽率为 90
31、 90%，从中任取，从中任取 10 10 粒，粒，求播种后：求播种后：(1)(1)恰有恰有 8 8 粒发芽的概率；粒发芽的概率；(2)(2)不少于不少于 8 8 粒发芽粒发芽的概率的概率.88210(8)(0.9)(10.9)0.1937P XC(1)例例13(2)1010108(8)(0.9)(10.9)kkkkP XC解：解：0.19370.38740.34870.9298 453 3.会求离散型随机变量的概率分布（确定常数）会求离散型随机变量的概率分布（确定常数）.本节要求：本节要求：1 1.掌握离散型随机变量的概率函数的定义及性质掌握离散型随机变量的概率函数的定义及性质2 2.掌握常见分布，重点掌握是掌握常见分布，重点掌握是0-10-1分布、二项分布、分布、二项分布、poisson分布分布.
