1、一、特征值与特征向量的概念 Axx 0EA x 0EA 0EA 1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa ()fEA求矩阵特征值与特征向量的步骤：detEA 0iEA x,i,i det0EA 12,n 解例1.3113的特征值和特征向量的特征值和特征向量求求 A的特征多项式为的特征多项式为A3113 2(3)1(4)(2).4,221 的特征值为的特征值为所以所以A122310,1230 xx 00 2121xxxx即即.111 p所得所对应的特征向量为:12 20EA x,0034113421 xx.11 2 p取为取为所以对应的特征向量可所以对应的特征向量可,21xx 解
2、得解得,00111121 xx即即14 40EA x例.201034011的特征值和特征向量的特征值和特征向量求矩阵求矩阵 A解2110430(2)(1),102EA .1,2321 的特征值为的特征值为所以所以A12 1232110423001022xxx 20EA x10 0,1p .2)0(11的全部特征值的全部特征值是对应于是对应于所以所以 kpk210101420012,101000EA 231 0EA x212,1p .1)0(322的全部特征值的全部特征值是对应于是对应于所以所以 kpk例 证明：若 是矩阵A的特征值，是A的属于 的特征向量，则 x .)1(是任意常数是任意常数的
3、特征值的特征值是是mAmm.,)2(11的特征值的特征值是是可逆时可逆时当当 AA 证明 xAx 1 xAxxAAxA xxA22 再继续施行上述步骤 次，就得2 mxxAmm .,征向量征向量的特的特对应于对应于是是且且的特征值的特征值是矩阵是矩阵故故mmmmAxA 可得可得由由xAx xAxAAxA111 xxA11 .,1111的的特特征征向向量量对对应应于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩阵阵故故 AxA0 ;)1(221121nnnaaa .)2(21An 12,n 1 1A 101()mmmg xa xa xa A 证明使使设有常数设有常数mxxx,21.02211 mmpxpxp
4、x ,02211 mmpxpxpxA,0222111 mmmpxpxpx .0222111 mmkmkkpxpxpx 1,2,1 mk12,m 12,mppp12,m 12,mppp 11221112211111,mmmmmmmpxpxpx 0,0,0 于于是是有有可可逆逆从从而而该该矩矩阵阵该该行行列列式式不不等等于于不不相相等等时时当当各各式式列列阵阵的的行行列列式式为为范范德德蒙蒙行行上上式式等等号号左左端端第第二二个个矩矩.,0,i ,0,0,0,2211 mmpxpxpx .,2,10mjpxjj 即即,0 jp但但 .,2,10mjxj 故故.,21线性无关线性无关所以向量组所以向
5、量组mppp12111212122212,;,;,srrsssr12,s 12,iiiiri 12,r 0iiA 1111,jjrjrjn r jn rAccbb12,n r 11()rn rP 0011()00rn rECECAPPBB 010ECPAPB 00ECAB 0()rEAEB注意 即即有有的的特特征征向向量量的的的的属属于于特特征征值值同同时时是是如如果果设设因因为为,2121 Ax xAxxAx21,xx21 ,021 x ,021 由于由于,0 x则则.与定义矛盾与定义矛盾 .,0det,2,0A3Edet:4 的一个特征值的一个特征值求求满足条件满足条件阶方阵阶方阵设设 A
6、AEAAAT思考题思考题解答知知由由可逆可逆故故因为因为0)3det(.,0det EAAA解解,3的一个特征值的一个特征值是是A.31 1的一个特征值的一个特征值是是从而从而A 即即得得又由又由,16)2det()det(2 EAAEAATT,4det,0det,4det,16)(det2 AAAA因此因此但但于是于是.34有一个特征值为有一个特征值为故故A 相似矩阵的定义 .22111211PAPPAPPAAP .本身相似本身相似与与AA.,相似相似与与则则相似相似与与若若ABBA.,相相似似与与则则相相似似与与相相似似与与若若CACBBA反身性反身性)1()2(对称性对称性传递性传递性)
7、3(EAEB1APAPB 11221122nnnnaaabbb4.若n阶方阵A与对角阵 n 2112,n 利用对角矩阵计算矩阵多项式,1PPBA 若若PPEaPPBaPBPaPBPannnn11111110 Ak的多项式的多项式AEaAaAaAaAnnnn 1110)(.)(1PBP .1PBPk 则则PEaBaBaBaPnnnn11110)(PPB1 PPB1 PPB1 PPB1 k个,1为对角矩阵为对角矩阵使使若可逆矩阵若可逆矩阵特别地特别地 APPP,1PPAkk 则则.)()(1PPA 有有对于对角矩阵对于对角矩阵,21 knkkk,)()()()(111 .)(A 定理证明：,1为对
8、角阵为对角阵使使假设存在可逆阵假设存在可逆阵 APPP .,21npppPP 用其列向量表示为用其列向量表示为把把二、矩阵相似于对角阵的条件1p Ap nnnppppppA 212121,即即 .,2211nnppp nnApApAppppA,2121 .,2,1nipApiii 于是有于是有 1122,nnppp,1 PAPAPP得得由由.,的的特特征征向向量量的的对对应应于于特特征征值值就就是是的的列列向向量量而而的的特特征征值值是是可可见见iiiApPA 12,nppp11212(,)(,)00nnnA pppppp 1p AP AAnnA 242422221)1(A 201335212
9、)2(A解(1)EA 由由 227 0 122224242 .7,2321 得得 04420442022321321321xxxxxxxxx.110,10221 20EA X122 2,2,13T 70EA X37 123,212533102EA 31 201335212)2(A.1321 的特征值为的特征值为所以所以A,)1,1,1(T A 0EA X解460350361EA 212 .2,1321 的全部特征值为的全部特征值为所以所以A460350361A 1PAP 063063063212121xxxxxx解之得基础解系,0121 .1002 0EA x 12132 .1,1,13 T.
10、,321线性无关线性无关由于由于 所以 可对角化.A 1232 01,101011P 1100 0 10.0 02P AP 1nnApp 注意 ,213 P若令若令111 012 100.1 APP则有则有00 00002 11P1000100220232aAbc 0000000210231aEAbc 10001002200230aEAbc 100001000000000c()20R EAa(2)20REAc1122A 2320AAE实对称矩阵的对角化.,正交矩阵正交矩阵为为则称则称满足满足阶方阵阶方阵若若AEAAAnT 正交矩阵定义：11;TAA 1A 1 ETnTTn ,2121ETnnT
11、nTnTnTTTnTT 212221212111 njijijiijTji,2,1,0;,1 当当当当 EAAT E nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa212221212111212222111211 ,1213121121312111 .9794949491989498912 解,02131121211 979494949198949891 979494949198949891T所以它是正交矩阵 100010001由于 979494949198949891例.2121000021212121212121212121是正交矩阵是正交矩阵验证矩阵验证矩阵 P解.,是正交
12、矩阵是正交矩阵所以所以且两两正交且两两正交向量向量的每个列向量都是单位的每个列向量都是单位PP定理1实对称矩阵的特征值为实数.证明,对应的特征向量对应的特征向量为为复向量复向量的特征值的特征值为对称矩阵为对称矩阵设复数设复数xA.0,xxAx 即即,的的表示表示用用 共轭复数共轭复数xAxA 则则 .xxAx 说明：,的的表示表示xx共轭复向量共轭复向量于是有AxxTAxxT 及及 AxxT xxT ,xxT xAxTT xxAT xxT .xxT 两式相减，得 .0 xxT ,0 x但因为但因为 ,0 ,即即.是实数是实数由此可得由此可得,0 121 niiniiiTxxxxx所以所以定理1
13、的意义.,0,0)(,以取实向量以取实向量从而对应的特征向量可从而对应的特征向量可系系知必有实的基础解知必有实的基础解由由是实系数方程组是实系数方程组线性方程组线性方程组所以齐次所以齐次为实数为实数的特征值的特征值由于对称矩阵由于对称矩阵 EAxEAAiii .,221212121正交正交与与则则若若是对应的特征向量是对应的特征向量的两个特征值的两个特征值是对称矩阵是对称矩阵设设定理定理ppppA 证明,21222111 AppApp,AAAT 对称对称 TTTAppp11111 ,11ApApTTT 于是 22121211ppAppppTTT ,212ppT .0 2121 ppT ,21
14、.21正交正交与与即即pp.021 ppT1TQ AQQ AQ 1,00n 12,n 1111 1A 即即23,k123,k 使使1123(,)kQ 令令112111112TTTkTkQAQQ AQA 1112112122211200TTTkTTTkTTTkkkkAAAAAABAAA 22122TTkkTkTkABAAA 211100TkP B PP B P 2100P 令令Q Q1112222110000TQQQQBB 11110010100000TTBP B PPP12k 12Q 令令Q QQ QTQ AQ ()REAnr 0EA X 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具
15、体步骤为：将特征向量正交化;3.将特征向量单位化.4.2.;,0的特征向量的特征向量求出求出由由AxEAi 1.;的特征值的特征值求求A解22021202EA 412 0.2,1,4321 得得,020212022)1(A611(2)161116A 例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，使 为对角阵.APP1 P(1)第一步 求 的特征值A 40,EA x 由由 得得 04202320223232121xxxxxxx解之得基础解系.1221 0202202323121xxxxxx解之得基础解系.2122 14 0,EA x 由由 得得11 02202320243232121xxxxxxx
16、解之得基础解系.2213 第三步 将特征向量正交化.,3,321321故它们必两两正交故它们必两两正交的特征向量的特征向量个不同特征值个不同特征值的的是属于是属于由于由于 A第四步 将特征向量单位化.3,2,1,iiii 令令 20,EA x 由由 得得12 ,3132321 得得,3231322 .3232313 ,22121212231,321 P作作.200010004 1 APP则则611888161161116116EA 285 0 1238,5.得得211121112 211121000 121011000 1111 1131313 111111111000111000EA 231
17、11,001211,0 233322212(,)12(,)1 2121,20 3161626 11123611123612036Q 1855Q AQ ,111111111 A.00100100 nB思考题.,是否相似是否相似判断下列两矩阵判断下列两矩阵BA思考题解答.0,)()()det(211 nnnAnEA的特征值为的特征值为因因解解使得使得矩阵矩阵存在可逆存在可逆是实对称矩阵是实对称矩阵又又,1PA),0,0,(111ndiagPAP ,)()()det(1 nnEB还可求得还可求得.有相同的特征值有相同的特征值与与即即AB,1,02特征向量特征向量个线性无关的个线性无关的有有对应特征值对应特征值 nn 使得使得故存在可逆矩阵故存在可逆矩阵,2P,212 PBP,212111PBPPAP 从而从而,121112BPPAPP 即即.相似相似与与故故BA2AA det 2EA 思考题解答使得使得故存在可逆阵故存在可逆阵且秩为且秩为阵阵是实对称是实对称又又或或的特征值为的特征值为可得可得由由,01 2PrAAAA 解解.,000 1阶单位阵阶单位阵是是其中其中rEEAPPrr )2det()2det(11PPPPAE 从而从而)2det(E EErnr200det.2rn
