1、第三章 3.1条件概率与独立性一 条件概率二 随机事件的独立性三 独立性在可靠性问题中的应用四 贝努利概型与二项概率一 条件概率 问题的提法：（1）给定一个随机试验，是它的样本空间，问“事件A发生的概率”？（2）在上述前提下，问“已知某事件B已经发生了，那么事件A发生的概率是多少”？例1，盒中装有16个球，6个玻璃球，其中2个红色4个兰色；10个木质球，其中3个红色7个兰色。现从中任取一球，记 A=取到玻璃球，B=取到兰色球 则 P（A）=6/16，P（B）=11/16。AB=取到兰色玻璃球，P（AB）=4/16 问“如果已知取到的是兰色球，那么它是玻璃球的概率”是多少？上述概率可以记为P（A
2、B）P（AB）=4/11 事实上这时的样本空间已经发生变化，变 成为11个兰色球，n=11 进一步我们发现，P（AB）=P（AB）/P（B）定义：给定一个随机试验，是它的样本空间，对于任意两个事件A、B，其中 P（B）0，称 P（AB）=P（AB）/P（B）为在已知事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。1.P ABCP AB CP C2.P A BCP A BCP BCo 条件概率也是概率，满足概率的公理化定义中的三条公理，即o公理1.P（AB）0；o公理2.P（B）=1；o公理3.P（AiB）=P（AiB）且有同样的性质。注意在同一个条件下使用。o比如：1.1P A BP A B 2.P
3、AB CP A CP AB C 例25个乒乓球，3个新的，2个旧的。每次取一个，无放回地取两次。记 A=第一次取到新球，B=第二次取到新球 求：P（A），P（AB），P（BA）.解：p(A)=3/5,p(AB)=(32)/(54)=3/10,p(B|A)=p(AB)/p(A)=1/2.例3(课本第18页例1.14)某建筑物按设计要求使用寿命超过50年 的概率为0.8，超过60年的概率为0.6，该建 筑物经历了50年之后，它将在10年内 倒塌 的概率有多大？解：B：该建筑物的寿命在年以上，A：该建筑物的寿命在年以上 所求概率为p(|B)=1-p(A|B)=1-p(AB)/p(B)=1-p(A)/
4、p(B)=1-0.6/0.8=1/4注意此处p(AB)=p(A)由条件概率的定义立即得到概率的乘法公式：当P（A）0或P（B）0时，P（AB）=P（A）P（BA）或 P（AB）=P（B）P（AB）乘法公式可推广到多个随机事件上去，P(ABC)=p(A)p(B|A)p(C|AB)例5，10个考题中，4难6易。三人参加抽题（不放回），甲先、乙次、丙最后。记事件A、B、C分别表示三人各抽到难题。试求：P（A），P（AB），P（ABC）.解:P(A)=4/10=2/5,P(AB)=p(A)p(B|A)=4/10 3/9=2/15,P(ABC)=p(A)p(B|A)p(C|AB)=2/152/8=1/3
5、0.思考：相互独立与互不相容有何区别？o 一副扑克牌共52张，现从中随机地抽取一张，A=抽到K，B=抽到红桃，可以验证事件A,B是相互独立的.o抛一枚均匀硬币2次，A=第一次正面向上，B=第二次正面向上,可以验证事件A,B是相互独立的.o样本空间为正正，正反，反正，反反o例1中我们也可以这样来求：1111 0.4 0.50.8P ABP ABP ABP A P B 定义可以推广到n个事件上去上述定理也可以推广。由题意 1-(0.4)n 0.99解出n 5.027,即至少需要6门炮才能以99%的把握命中敌机。三 独立性在可靠性问题中的应用1234o系统可靠度为 四.贝努利概型与二项概率 5000
6、5000500021010.9596PkPP 3.2 全概公式与逆概公式一 全概公式 定义设，n满足下面的条件：（），n两两互不相容；（）n=，n构成样本空间构成一个完备事件组）o在例中又问：若取到的是正品，那么它是由甲厂生产的概率是多少？o在例3中又问：若这个人迟到了，那么他是坐轮船来的概率有多大？o例一项血液化验以概率0.95将带菌病人检出阳性，但也有1%的概率误将健康人检出阳性假设已知该种疾病的发病率为0.5%，求已知一个个体在检出是阳性的条件下，该个体确实患有此病的概率（0.324）o设B=被检出阳性，A1=带菌者,A2=不带菌者,且已知p(A1)=0.005,p(B|A1)=0.95,p(B|A2)=0.01 1110.005 0.950.3240.0147P A P B AP A BP B31245o设桥式系统正常工作，元件正常工作o 当发生时桥式系统如左图：o当不发生时桥式系统如右图11
