1、第四章 微分中值定理与导数的应用第一节第一节 微分中值定理微分中值定理第二节第二节 洛必达法则洛必达法则第三节第三节 函数单调性函数单调性第四节第四节 函数的极值与最值函数的极值与最值第五节第五节 曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点第六节第六节 函数图形的描绘函数图形的描绘第一节 微分中值定理一、罗尔中值定理一、罗尔中值定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理三、柯西中值定理罗尔定理 设函数 f(x)满足(1)在闭区间a,b上连续,.0)(),(fba，使则至少存在一点(2)在开区间(a,b)内可导,(3)f(a)=f(b),注意：罗尔定理的条件有三个，如果缺少其中任何一
2、个条件，定理将不成立.一、罗尔中值定理罗尔定理几何意义：定理 设函数f(x)满足(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；则至少存在一点 .)()()(),(abafbffba，使 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 使 在a,b上满足罗尔定理条件，且由 能导出 则问题可解决.)(x),(x0)(，)()()(abafbff二、拉格朗日中值定理几何意义：几何意义：如果在a,b上的连续曲线，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，那么在曲线弧上至少有一点 使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线.),(,(f.)
3、()()()(axabafbfafy弦线的方程为作辅助函数)()()()()()(axabafbfafxfx即可.的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线弧两端点连线对应的纵坐标之差.)(x定理 设函数f(x)与g(x)满足：(1)在闭区间a,b上都连续，(2)在开区间(a,b)内都可导，(3)在开区间(a,b)内，()0,g x则至少存在一点()()()(,).()()()f bf afa bg bg ag，使在柯西中值定理中，若取g(x)=x，则得到拉格朗日中值定理.因此柯西中值定理可以看成是拉格朗日中值定理的推广.三、柯西中值定理第二节 洛必达法则一、一、型未定式型未定式二、二、型未定式型未定式
4、三、其他类型未定式三、其他类型未定式)00()(一、型未定式定理定理100二、型未定式定理定理2三、其他类型未定式型型00,1,0,0 例例1 1解解.lnlim0 xxx 求求)0(xxx10lnlim 原式原式2011limxxx 解法：解法：将其它类型未定式化为洛必达法则可解将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型决的类型),00()(1 0）型0)(lim0 xx例例2 2解解)(2）型)tan(seclim2xxx xxxcossin1lim2 xxxsincoslim2 0cotlim2 xx)tan(seclim2xxx 求求),00(0030,1,）型例例3 3解解.lim0
5、 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e.1 xxxe1lnlim0 洛必达法则洛必达法则型型00,1,0 型型 型型 0型型00型型 第三节 函数的单调性一、函数单调性的判定方法一、函数单调性的判定方法二、函数单调性的应用二、函数单调性的应用一、函数单调性的判定方法 问题的提出问题的提出xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)(xf0)(xfabBA若若 在区间（在区间（a,b)上单调增加上单调增加)(xfy 若若 在区间（在区间（a,b)上单调减少上单调减少)(xfy 0)(xf定理定理1（函数单调性判定方法）（函数单
6、调性判定方法）.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上上单单调调减减少少在在，那那末末函函数数内内如如果果在在上上单单调调增增加加；在在，那那末末函函数数内内如如果果在在）（内内可可导导上上连连续续，在在在在设设函函数数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy 二、函数单调性的应用第四节 函数的极值与最值一、函数的极值一、函数的极值二、函数极值的判定及求法二、函数极值的判定及求法三、函数的最值三、函数的最值一、函数的极值二、函数极值的判定及求法求极值的步骤求极值的步骤:);()1(xf 求求出出导导数数;0)()()2(的根的根的全部驻点，即方程的全部驻点，即方
7、程求出求出 xfxf;,)()3(判判断断极极值值点点在在驻驻点点左左右右的的正正负负号号考考察察xf .)4(值值求求出出各各极极值值点点处处的的函函数数三、函数的最值oxyoxybaoxyabab.,)(,)(在在上上的的最最大大值值与与最最小小值值存存在在为为零零的的点点，则则并并且且至至多多有有有有限限个个导导数数处处可可导导，上上连连续续，除除个个别别点点外外处处在在若若函函数数baxfbaxf 闭区间上连续函数的最值闭区间上连续函数的最值步骤步骤:1.求驻点：求驻点：3.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值注意注意:如果区间内只有一个极值如果区间内只
8、有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)2.求不可导点求不可导点：mxxxbaxf,),()(21内内的的驻驻点点在在求求出出nxxxbaxf ,),()(21内内的的不不可可导导点点在在求求出出4.比较（比较（3）中函数值大小）中函数值大小,最大的便是最大最大的便是最大值值,最小的便是最小值最小的便是最小值;第五节 曲线的凹凸点与拐点一、曲线凹凸性定义及其判定法一、曲线凹凸性定义及其判定法二、曲线的拐点及求法二、曲线的拐点及求法一、曲线凹凸性定义及其判定法二、曲线的拐点及求法拐点的求法拐点的求法:第六节 函数图形的描绘一、曲线的渐近线一、曲线的渐近线
9、二、函数图形的描绘二、函数图形的描绘一、曲线的渐近线如果动点沿某一曲线无限远离原点时，动点与某条直线的距离趋近于零，则称此直线为该曲线的一条渐近线1）渐近线）渐近线（1 1）水平渐近线）水平渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线平平行行于于 xlim()lim()()().xxf xCf xCCyCyf x如果或为常数那么就是的一条水平渐近线例如例如,arctan xy 有水平渐近线两条有水平渐近线两条:.2,2 yy（2 2）垂直渐近线）垂直渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线垂垂直直于于 x000lim()lim()().xxxxf xf xxxyf x 如果或那么就是的一条垂直渐近线例如例如,)3)(2(1 xxy有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条:.3,2 xx二、函数图形的描绘一般步骤：一般步骤：(1)确定函数的定义域，并讨论函数周期性、确定函数的定义域，并讨论函数周期性、奇偶性；奇偶性；（2）讨论函数的单调性，极值点和极值；）讨论函数的单调性，极值点和极值；（3）讨论函数图形的凹凸区间和拐点；）讨论函数图形的凹凸区间和拐点；（4）讨论函数图形的水平和垂直渐近线；）讨论函数图形的水平和垂直渐近线；（5）根据需要补充函数图形上的若干点（如）根据需要补充函数图形上的若干点（如与坐标轴的交点等）；与坐标轴的交点等）；（6）描点绘图）描点绘图
