1、工 程 数 学 第第2 2章章 矩阵矩阵2.1矩阵的概念及运算2.2矩阵的初等变换2.3逆矩阵2.4矩阵的秩2.5MATLAB软件在矩阵运算中的应用 2.1 2.1 矩阵的概念及运算矩阵的概念及运算矩阵的概念2.1.1 为了弄清什么是矩阵，先看一个实际例子。引例 在物资调运中经常要考虑如何决定销地，使物资的总运费最低。如果某地区的水泥有三个产地x1，x2，x3，三个销地y1，y2，y3，可用一个数表来表示水泥的调运方案，如表2.1.1所示。2.1 2.1 矩阵的概念及运算矩阵的概念及运算此外，由m个方程n个未知数组成的线性方程组 2.1 2.1 矩阵的概念及运算矩阵的概念及运算为方便起见，将系
2、数aij和常数项bi按它们在方程组中出现的次序排成一个数表则表中的每一行代表方程组中的一个方程。于是，研究线性方程组的求解问题就可以转化为对此数表的研究。一般地，对于不同的实际问题有不同的矩形数表，数学上把这种具有一定排列规则的矩形数表称为矩阵。2.1 2.1 矩阵的概念及运算矩阵的概念及运算定义1 一般地，由mn个数aij(i=1,2,m;j=1,2,n)有序排成的矩形数表 2.1 2.1 矩阵的概念及运算矩阵的概念及运算称为一个m行n列的矩阵，简称为mn矩阵，这mn个数称为矩阵的元素，aij称为该矩阵的第i行第j列的元素。mn矩阵可记作Amn或（aij）mn，有时简记作A或（aij）（矩阵
3、常用大写黑体字母A，B，C，来表示）。当m=n时，矩阵A称为n阶方阵，只有一行的矩阵 A=(a11a12a1n)2.1 2.1 矩阵的概念及运算矩阵的概念及运算称为行矩阵（也称为行向量），即1n矩阵。只有一列的矩阵 称为列矩阵（也称为列向量），即m1矩阵。2.1 2.1 矩阵的概念及运算矩阵的概念及运算若矩阵A与B的行数相同，列数也相同，则称A与B为同型矩阵。元素全为零的矩阵，称为零矩阵，记为0.如有必要指明是m行n列的零矩阵，则写成0mn。若矩阵A的行数和列数相等且都为n，则称矩阵A为n阶方阵。若A为n阶方阵，则从左上角到右下角的对角线，称为主对角线。位于主对角线上的元素，称为主对角线元素。
4、2.1 2.1 矩阵的概念及运算矩阵的概念及运算主对角线下方的元素全为0的方阵称为上三角矩阵，即 2.1 2.1 矩阵的概念及运算矩阵的概念及运算定义2 方阵A中的元素按其原次序所构成的行列式称为方阵A的行列式，记为|A|。若|A|=0，则称A为奇异阵；若|A|0，则称A为非奇异阵。2.1 2.1 矩阵的概念及运算矩阵的概念及运算矩阵的运算2.1.2 无论在数学理论还是实际应用中，矩阵都是一个重要的概念，如果仅把矩阵作为一个数表，就不能充分发挥其作用，因此对矩阵定义运算是十分有必要的。定义3 如果矩阵A、B为同型矩阵，且对应元素均相等，则称矩阵A与矩阵B相等，记为A=B。2.1 2.1 矩阵的
5、概念及运算矩阵的概念及运算 2.1 2.1 矩阵的概念及运算矩阵的概念及运算1.1.矩阵的加减运算矩阵的加减运算 引例 某公司有甲、乙两车间生产A、B、C三种产品，四、五月份的产量分别如表2.1.2和表2.1.3所示。2.1 2.1 矩阵的概念及运算矩阵的概念及运算若将四、五月份的产量合起来进行分析，则有 甲车间：A产品的产量为20+32=52；B产品的产量为70+84=154；C产品的产量为45+42=87。乙车间：A产品的产量为30+24=54；B产品的产量为64+75=139；C产品的产量为32+35=67。2.1 2.1 矩阵的概念及运算矩阵的概念及运算所列表格如表2.1.4所示。2.
6、1 2.1 矩阵的概念及运算矩阵的概念及运算定义4 两个mn矩阵A=(aij)mn,B=(bij)mn，对应元素相加（或相减）所得到的mn矩阵C,称为矩阵A与矩阵B的和（或差），记作AB,即只有当两个矩阵为同型矩阵时，才能进行加减运算。2.1 2.1 矩阵的概念及运算矩阵的概念及运算2.数与矩阵的乘法（数乘矩阵）定义5 设k为常数，A=(aij)mn为一个矩阵，则 2.1 2.1 矩阵的概念及运算矩阵的概念及运算 2.1 2.1 矩阵的概念及运算矩阵的概念及运算 2.1 2.1 矩阵的概念及运算矩阵的概念及运算3.矩阵的乘法 引例 某工厂生产甲、乙、丙三种产品，四月份和五月份的产量用矩阵A表示
7、，其成本单价和销售单价用矩阵B表示，试求四月份和五月份期间的成本总额和销售总额。2.1 2.1 矩阵的概念及运算矩阵的概念及运算用矩阵C来表示两个时间段的成本总额和销售总额，得 c11=a11b11+a12b21+a13b31 c12=a11b12+a12b22+a13b32 c21=a21b11+a22b21+a23b31 c22=a21b12+a22b22+a23b32 2.1 2.1 矩阵的概念及运算矩阵的概念及运算定义6 一般地，设矩阵A=(aij)mr,B=(bij)rn，则矩阵C=(cij)mn称为矩阵A与B的乘积，其中并记作C=AB。2.1 2.1 矩阵的概念及运算矩阵的概念及运
8、算由此可知，矩阵C的元素cij（i=1,2,m;j=1,2,n）是用矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列对应元素的乘积之和求得的。只有当第一个矩阵A的列数等于第二个矩阵B的行数时，两个矩阵才能相乘。乘积矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。2.1 2.1 矩阵的概念及运算矩阵的概念及运算 2.1 2.1 矩阵的概念及运算矩阵的概念及运算设A,B,C为矩阵，k为常数,且假定涉及的运算都是可行的，则矩阵的乘法具有下列性质：（1）(AB)C=A(BC)；（2）A(B+C)=AB+AC；（3）(A+B)C=AC+BC；（4）k(AB)=(kA)B=A(kB)。2.1 2.1 矩阵的概
9、念及运算矩阵的概念及运算4.转置矩阵定义7 将矩阵A的行与同序数的列互换所得到的矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记作AT 2.1 2.1 矩阵的概念及运算矩阵的概念及运算 2.1 2.1 矩阵的概念及运算矩阵的概念及运算线性方程组的矩阵表示2.1.3 2.1 2.1 矩阵的概念及运算矩阵的概念及运算 2.2 2.2 矩阵的初等变换矩阵的初等变换矩阵的初等变换是矩阵十分重要的运算，它在线性方程组求解、求逆矩阵及矩阵的秩等问题中都起着非常重要的作用。为了引进矩阵的初等变换，首先回忆高斯消元法求线性方程组的步骤。2.2 2.2 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 2.2 2.2 矩阵的初等变换矩阵的初等变换观
10、察可以发现，在上述消元过程中，共用到三种变换：（1）方程组中某一个方程的若干倍加到另一个方程上；（2）方程组中某一个方程的两边同乘以某个非零常数；（3）互换方程组中某两个方程的位置。对方程组反复施行这三种变换可得方程组的解，这里将这三种变换统称为方程组的同解变换。前面曾经指出，线性方程组与一个矩阵等价，并且把由方程组中未知数系数及常数按其次序不变所构成的矩阵称为方程组的增广矩阵，记为A。于是对方程组的变换可转换为对矩阵的变换，即矩阵的初等变换。2.2 2.2 矩阵的初等变换矩阵的初等变换矩阵的初等变换2.2.1定义8 对矩阵施行下列三类变换称为矩阵的初等变换：（1）用一个不为零的常数k乘矩阵的
11、第i行(列),记作kri(kci);（2）交换矩阵的第i行(列)和第j行（列）,记作rirj(cicj)；（3）将矩阵的第i行(列)的各个元素的k倍加到第j行(列)的对应元素上去，记作rj+krI(cj+kcI)。仅对矩阵的行(列)施行的初等变换称为矩阵的初等行(列)变换。2.2 2.2 矩阵的初等变换矩阵的初等变换定义9 矩阵A经初等变换后变为矩阵B,则称A与B是等价的，常记作AB。2.2 2.2 矩阵的初等变换矩阵的初等变换定理2 任意非奇异阵经有限次初等行（列）变换必可转化为单位阵。2.2 2.2 矩阵的初等变换矩阵的初等变换初等矩阵2.2.2定义10 由单位矩阵E经一次初等变换得到的矩
12、阵称为初等矩阵。显然，初等矩阵都是方阵，对单位阵E的每一类初等变换都有一个与之对应的初等矩阵，通常有以下表示方式：(1)E(i)(j)表示对调单位阵E中的第i行(或列)与第j行(或列)；(2)Ek(i)表示用非零常数k乘单位阵E中的第i行(或列)；(3)E(j)+k(i)表示单位阵E的第i行（或列）乘以非零常数k后加到第j行（或列）上去。2.2 2.2 矩阵的初等变换矩阵的初等变换定理3 对A施行一次初等行(列)变换，相当于在A的左(右)边乘上一个相应的初等矩阵，即若 2.3 2.3 逆逆 矩矩 阵阵 上节定义了矩阵的加法、减法和乘法三种基本运算，那么是否也能定义除法呢？回答是否定的。但是这个
13、问题可以换个角度去考虑。在代数运算中，如果a0，其倒数a-1可由等式aa-1=a-1a=1来描述。在矩阵的乘法运算中，对于任意n阶方阵A，都有EA=AE=A。那么，对于n阶方阵A0，是否存在n阶方阵B，使得AB=BA=E呢？如果存在这样的方阵B，那么A要满足什么条件呢？如何利用A将B求出来呢？为此引入逆矩阵的概念。2.3 2.3 逆逆 矩矩 阵阵 逆矩阵的概念与性质2.3.11.1.逆矩阵的概念定义11 对于n阶方阵A,如果存在n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称n阶方阵A是可逆的，方阵B称为方阵A的逆矩阵，记为B=A-1注意 （1）定义中，A,B的地位是对等的，所以，如果B是A的逆矩阵，则A
14、也是B的逆矩阵,即A=B-1。（2）若A可逆，根据逆矩阵的定义，存在B，使得AB=BA=E。两边同时取行列式得AB=AB=E=1，故A0，B0且A-1=B=A-1。（3）由于EE=E，故单位阵E可逆，且E-1=E。2.3 2.3 逆逆 矩矩 阵阵 定理4 若方阵A是可逆的，则其逆矩阵唯一。证 设B1,B2都是A的任意两个逆矩阵，则 B1=EB1=(B2A)B1=B2(AB1)=B2E=B2.2.3 2.3 逆逆 矩矩 阵阵 2逆矩阵的性质设A,B为n阶可逆方阵，k为非零常数，可逆矩阵具有下列性质：(1)(A-1)-1=A；(2)(AB)-1=B-1A-1；(3)(AT)-1=(A-1)T；(4
15、)|A-1|=|A|-1；(5)(kA)-1=1kA-1 。2.3 2.3 逆逆 矩矩 阵阵 逆矩阵的求法2.3.21伴随矩阵法 2.3 2.3 逆逆 矩矩 阵阵 2.3 2.3 逆逆 矩矩 阵阵 定理6 方阵A可逆的充要条件是A0。证 （充分性）由定理5可知，若A0，则A可逆。（必要性）若A可逆，由定义知，存在n阶方阵B，使得AB=BA=E，所以，AB=AB=E=1，故AB=1，从而A0。推论 若A是n阶方阵且存在n阶方阵B，使AB=E(或BA=E)，则B=A-1 。2.3 2.3 逆逆 矩矩 阵阵 2初等行变换法 定理7 非奇异阵A的逆矩阵A-1等于有限个初等矩阵的乘积。证 由于非奇异阵A
16、可经过有限次初等行变换转化为单位阵E,而对方阵A施行一次初等行变换，相当于在方阵A的左边乘上一个相应的初等矩阵，即存在初等矩阵P1，P2，,Pm，使得 2.3 2.3 逆逆 矩矩 阵阵 2.3 2.3 逆逆 矩矩 阵阵 由式(2-1)及式(2-2)可以看出，如果用一系列初等行变换将可逆矩阵A转化为单位阵E，那么用同样的初等行变换按同样的次序作用于单位阵E，就可得到可逆矩阵A的逆矩阵A-1，从而可得到用初等变换求逆矩阵的方法：作矩阵(AE)，对该矩阵施行初等行变换，将左半部的矩阵A化为单位阵E，那么右半部的单位阵E就随之转化成了矩阵A的逆矩阵A-1，即 2.4 2.4 矩矩 阵阵 的的 秩秩 矩
17、阵的秩是反映矩阵内在特征的一个重要概念，它在线性方程组的求解问题中有着重要的应用。定义12 在一个mn矩阵A中任取k行k列，位于这些行与列相交位置上的元素按它们在A中出现的次序所构成的k阶行列式，称为A的一个k阶子式。2.4 2.4 矩矩 阵阵 的的 秩秩 定义13 若矩阵A至少有一个k阶子式不为零，而所有高于k阶的子式都为零，则称A的秩为k，记为r(A)=k。可见，矩阵的秩就是矩阵的非零子式的最高阶数。规定零矩阵的秩为零。显然，非奇异阵的秩等于它的阶数，故非奇异阵也称为满秩方阵，奇异阵称为降秩方阵。2.4 2.4 矩矩 阵阵 的的 秩秩 2.4 2.4 矩矩 阵阵 的的 秩秩 定义14 满足
18、下列四个条件的矩阵称为行最简形矩阵：(1)每一行的第一个非零元素是1；(2)各行首非零元素前的零元素的个数逐行递增；(3)各首非零元素所在列的其余元素均为零；(4)第一行至少有一个非零元素。其中，满足条件（2），（4）的矩阵为行阶梯形矩阵。2.4 2.4 矩矩 阵阵 的的 秩秩 定理8 对矩阵施行初等变换，其秩不变。可见，在求矩阵的秩时，应先对其施行初等变换使之转化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵的秩很容易得出，然后就得出所求矩阵的秩了。2.4 2.4 矩矩 阵阵 的的 秩秩 定理9 矩阵A与它的转置矩阵AT的秩相等，即r(A)=r(AT)。定理10 任一满秩方阵经有限次初等行(列)变换必可转化为
19、单位阵E。2.5 MATLAB2.5 MATLAB软件在矩阵运算中的应用软件在矩阵运算中的应用矩阵输入有多种方法，最常见的是直接输入每个元素。具体方法为：将矩阵的元素用方括号括起来，按矩阵行的顺序输入各元素。同一行的各元素之间用空格或逗号分隔，不同行的元素之间用分号分隔。矩阵的直接输入2.5.1 2.5 MATLAB2.5 MATLAB软件在矩阵运算中的应用软件在矩阵运算中的应用此外，MATLAB还提供了一些特殊矩阵的建立方法，如表2.5.1所示,这些矩阵可作为基本矩阵用于辅助编程或运算。2.5 MATLAB2.5 MATLAB软件在矩阵运算中的应用软件在矩阵运算中的应用注意 魔术方阵是指元素
20、均为自然数且每个元素值都不相等，每行、每列以及主、副对角线上各个元素之和都相等的方阵。Pascal矩阵是指第一行、第一列元素均为1，其他元素等于前一行的元素与前一列的元素之和的方阵,即满足aIj=a(i-1)j+aI(j-1)。2.5 MATLAB2.5 MATLAB软件在矩阵运算中的应用软件在矩阵运算中的应用矩阵的函数生成 2.5.21.1.加、减运算加、减运算矩阵的加、减运算在MATLAB中用“+”和“-”运算符实现。但要注意，两个相加（减）的矩阵必须是同型矩阵，否则系统会提示参与运算的两个矩阵尺寸不匹配。2.5 MATLAB2.5 MATLAB软件在矩阵运算中的应用软件在矩阵运算中的应用
21、2.乘法运算数与矩阵的乘法由运算符“*”实现，矩阵的乘法也由运算符“*”实现。在用MATLAB计算AB时，需注意A的列数必须与B的行数相等，否则系统将提示出错。此外矩阵乘方也可用“”符号实现。例如，A是一个方阵,p是一个大于1的整数,则A的p次幂可用Ap来实现计算。2.5 MATLAB2.5 MATLAB软件在矩阵运算中的应用软件在矩阵运算中的应用 2.5 MATLAB2.5 MATLAB软件在矩阵运算中的应用软件在矩阵运算中的应用3.矩阵的转置与矩阵的秩矩阵的转置由符号“”表示和实现，矩阵的秩由命令rank实现。2.5 MATLAB2.5 MATLAB软件在矩阵运算中的应用软件在矩阵运算中的应用4.方阵的行列式与矩阵的逆方阵的行列式由命令det实现，矩阵的逆由命令inv实现。2.5 MATLAB2.5 MATLAB软件在矩阵运算中的应用软件在矩阵运算中的应用5.除法运算在MATLAB中有两种矩阵除法符号“”和“”，它们分别表示左除和右除，即ab=inv(a)*b,b/a=b*inv(a)。Thank You!
