1、5.1.2 弧度制弧度制教学目标了解弧度制,明确1弧度的含义（重点、难点）01 能进行弧度与角度的互化（重点）02 掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式（重点、难点）03 04弧 度 制弧 度 制学科素养 弧度制的概念 数学抽象 区域角的表示直观想象 用弧度制表示角的集合逻辑推理 角度制和弧度制的换算、运用已知条件处理扇形有关问题数学运算 数据分析 数学建模弧 度 制弧 度 制01Retrospective Knowledge任 意 角任 意 角角的扩充：角的扩充：一条射线绕其端点按方向旋转形成的角叫做；一条射线绕其端点按方向旋转形成的角叫做；如果一条射线做任何旋转，就称它形成了一个所有与
2、角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合,360|ZkkSo象限角与象限角与轴线角轴线角：把角的顶点固定在原点，角的终边始终与x x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角第几象限的角.如果角的终边落在坐标轴上,这个角称轴线角轴线角.02New Knowledge explore弧 度 制弧 度 制 度量长度可以用米、英尺、码等单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制 不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的 这种用度作单位来度
3、量角的单位制叫做3601弧 度 制弧 度 制 如图，射线OA绕着端点O旋转到OB形成角在旋转过程中，射线OA上的一点P(不同于点O)的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角 设=n,OP=，点P形成的圆弧PP1的长为l，由初中所学知识可知：(1802360rnrnl180nrl于是弧 度 制弧 度 制 如图，在射线OA上任取一点Q(不同于点O)，OQ=r，在旋转过程中，点Q所形成的圆弧QQ1的长为l，l与r的比值是多少?我们能得出什么结论？探究探究【结论】可以发现，圆心角所对的弧长与半径的比值，只与的大小有关也就是说，这个比值随的确定而唯一确定这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量度量圆
4、心角角180180nrlrnl即同上弧 度 制弧 度 制 我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 1弧度弧度，记作1rad，读作1弧度 我们把半径为1的圆叫做单位圆，如图，在单位圆O中，AB的长度等于1，AOB就是1弧度的角(B AO1rad弧 度 制弧 度 制 根据上述规定：在半径为r的圆中，弧长为l的的弧所对的圆心角为 rad，那么有：rl 其中，的正负由角的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于2或者小于2的角这样就可以得到弧度为任意大小的角 一般地，的弧度数是，的弧度数是，的弧度数是 弧 度 制弧 度 制一般地，
5、只需根据两边同除以180两边同除以就可以进行角度和弧度的换算了弧 度 制弧 度 制【例【例1】把6730化成弧度)2135(5.670367【解析】因为radrad8318021350367所以 今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数，例如角=2，就表示是2 rad 的角；.2360sin3sin33sin的角的正弦，即就表示rad弧 度 制弧 度 制60902701800632436524 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集实数集R R之间建立了一一对应的关系：每个角都之间建立了一一对应的关系：每个
6、角都有唯一的实数有唯一的实数(等于这个叫的弧度等于这个叫的弧度)；同样地，每；同样地，每个实数也都有唯一一个对应的角个实数也都有唯一一个对应的角(弧度数等于这弧度数等于这个实数个实数).).弧 度 制弧 度 制【练习】【练习】把下列角度化成弧度03221）（2102）（12003）（8180245671802103201801200弧 度 制弧 度 制【练习】【练习】把下列弧度化成角度34)2(103)3(12)1(240180345418010315180121弧 度 制弧 度 制(1)关键:抓住互化公式 rad=180是关键;(2)角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度;(3)角度化
7、为弧度时,其结果写成的形式,没特殊要求,切不可进行近 似计算,也不必将化为小数;(4)注意角度制和弧度制不能混用.弧 度 制弧 度 制其中R是圆的半径，(0)为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积（1）；（2）；（3）【例【例2 2】利用弧度制证明下列关于扇形的公式：lR212SR12SlRRlRl，可得）由（1222122RRS）（，）因为（2213RS，又Rl.21212lRRRlS所以弧 度 制弧 度 制【练习】【练习】圆的一段弧长等于该圆内接正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数是 .，边长为【解析】设正三角形的a，则其外接圆的半径ar33al 边长，即又弧长等于正三角形的.33
8、3aarl角为所以这段弧所对的圆心03Expansion And Promotion弧 度 制弧 度 制【练习【练习】如图，一扇形所在的圆的半径为1，且该扇形的周长为4，则这个扇形所含弓形（图中的阴影部分）的面积为 .，所以弧长为，周长为【解析】因为半径22441r，所以圆心角212rlAOB，所以1AOC，所以1coscos1sinsinAOCOAOCAOCOAAC，所以1cos1sin21OCABSBOA，又扇形的面积为11221.1cos1sin1所以弓形的面积为：1ABOC04Sum Up弧 度 制弧 度 制 我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做，记作1rad，读作1弧度.两边同除以180两边同除以lr21122Srlrlr05Homework After Class弧 度 制弧 度 制2.若一扇形的圆心角为72，半径为20，则扇形的面积为 .3.如果圆心角为120的扇形所对的弦长为2，则扇形的面积为 .1.已知15，0.4，则，的大小关系为 .10
