1、3.5 刚体的角动量定理与角动量守恒定刚体的角动量定理与角动量守恒定律律主要内容：主要内容：1.刚体绕定轴转动的角动量定理刚体绕定轴转动的角动量定理2.角动量守恒定律角动量守恒定律3.角动量守恒定律在工程技术上的应用角动量守恒定律在工程技术上的应用u 质点系的角动量定理和角动量守恒定律质点系的角动量定理和角动量守恒定律质点系对参考点质点系对参考点O O 的的角动量角动量iiiiiOOmrLLiv 1.质点系的角动量质点系的角动量1m1v2m2v3m3v4m4vO2.质点系的角动量定理质点系的角动量定理iiLtMdd iiiiLtMddLtMdd 外微分形式微分形式zzLtMdd LLLLtML
2、Ltt122121dd外积分形式积分形式质点系所受质点系所受合外力矩的冲量矩合外力矩的冲量矩等于质点系等于质点系角动量的增量角动量的增量说明说明 质点系的内力矩不能改变质点系的质点系的内力矩不能改变质点系的角动量角动量(所有质点的所有质点的角动量角动量之和之和)3.质点系动量矩守恒定律质点系动量矩守恒定律对质点对质点系系0外M0dL常矢量L 4.质点系角动量在质点系角动量在 z 轴的投影（轴的投影（关于关于 z 轴角动量轴角动量）投影形式投影形式,以以 z 轴为例轴为例,如如0zM常量ZL/v4.质点系角动量在质点系角动量在 z 轴的投影（关于轴的投影（关于 z 轴角动量）轴角动量）rvv A
3、zvmrLO?zOLOrO)()(vv/mrOOkLOkmrOO)()(vv/kmrv若质点作平面运动，若质点作平面运动，z 轴垂直运动平面，则轴垂直运动平面，则vmrkLzOrv AzOrO显然，结论与显然，结论与O在在 轴上的位置无关轴上的位置无关.质点系：质点系：iiiizmrkL)(viiiizmrkL)(v（指出各部分的含义）（指出各部分的含义）miiiiizmrLsinvzzLtMdd（针对刚体进行讨论）（针对刚体进行讨论）OLu刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律1.刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量rv AzOrOiiiiizm
4、rLsinviiiimrviiimr2JLz(所有质元对所有质元对Z轴的轴的角动量角动量之和之和)2.刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理JLtMzdddz122121ddJJJtMttz（角动量角动量定理定理积分形式）积分形式）定轴转动刚体所受合外力矩的定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其冲量矩等于其角动量角动量的增量的增量角动量角动量定理定理微分形式微分形式0zM0dzL常量J 3.刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律zzLtMdd u 讨论：质点系讨论：质点系角动量守恒角动量守恒irPimvOzJM 变形体绕某轴转动时，则变形体对该轴的动量矩变形体绕某轴
5、转动时，则变形体对该轴的动量矩CJmrmrLiiiiiiiiiiiz2v2r1rm0zM动量矩守恒举例动量矩守恒举例花样滑冰花样滑冰 跳水跳水 芭蕾舞等芭蕾舞等猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度的增加而减少，据报导有只猫从的增加而减少，据报导有只猫从3232层楼掉下来也仅仅只有胸腔和一颗牙齿层楼掉下来也仅仅只有胸腔和一颗牙齿有轻微的损伤。为什么会这样呢？有轻微的损伤。为什么会
6、这样呢？合力矩功的效果合力矩功的效果ddMA 221dJ21dMA21222121JJCpmghE 恒量pkEEECmghJE221l质点系的角动量定理质点系的角动量定理LtMdd 外(微分形式微分形式)1221dLLtMtt外(积分形式积分形式)l质点系动量矩守恒定律质点系动量矩守恒定律0外M常矢量L 投影形式投影形式:0zM常量ZLzzLtMdd rv AzOrOl质点系角动量在质点系角动量在 z 轴的投影（关于轴的投影（关于 z 轴角动量）轴角动量）iiiizmrkL)(viiiizmrkL)(viiiiizmrLsinvl刚体定轴转动的角动量（关于刚体定轴转动的角动量（关于 z 轴角动
7、量）轴角动量）iiiiizmrLsinviiiimrviiimr2JLz(所有质元对所有质元对Z轴的轴的角动量角动量之和之和)l刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理JLtMzdddz角动量角动量定理定理微分形式微分形式irPimvOzJM 122121ddJJJtMttz（角动量角动量定理定理积分形式）积分形式）l刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律0zM不变zLiiiiizmrLsinviiiimrviiiimr2iiiJJZAO例例?守恒L关于关于 O 点？点？关于关于 A 点？点？关于关于 Z 轴轴？22201210)2()2(mrJmrJ12202102
8、)2()2(mrJmrJ2121022220)2(21)2(21mrJmrJEk)122()2(2122021021210mrJmrJmrJ2r1rml陀螺仪：陀螺仪：能够绕其对称轴高速能够绕其对称轴高速 旋转的厚重的对称刚体。旋转的厚重的对称刚体。l陀螺仪的特点：陀螺仪的特点：具有具有轴对称性轴对称性和和绕对称轴绕对称轴有较大的转动惯量有较大的转动惯量。l陀螺仪的定向特性：陀螺仪的定向特性：由于由于不受外力矩不受外力矩作用，陀螺作用，陀螺角动量的角动量的大小和方向大小和方向都保持不变；无论怎样改变框架的方向，都不都保持不变；无论怎样改变框架的方向，都不能使陀螺仪转能使陀螺仪转轴在空间的取向轴
9、在空间的取向发生变化。发生变化。l尾桨的设置：尾桨的设置：直升机发动后机身要在旋翼旋转相反方向旋直升机发动后机身要在旋翼旋转相反方向旋转，产生一个向下的角动量。为了不让机身作这样的反向转，产生一个向下的角动量。为了不让机身作这样的反向旋转，在机身尾部安装一个尾桨，尾桨的旋转在水平面内旋转，在机身尾部安装一个尾桨，尾桨的旋转在水平面内产生了一个推力，以平衡单旋翼所产生的机身扭转作用。产生了一个推力，以平衡单旋翼所产生的机身扭转作用。l对转螺旋桨的设置：对转螺旋桨的设置：双旋翼直升机则无需尾桨，它在直立双旋翼直升机则无需尾桨，它在直立轴上安装了一对对转螺旋桨，即在同轴心的内外两轴上安轴上安装了一对
10、对转螺旋桨，即在同轴心的内外两轴上安装了一对转向相反的螺旋桨。工作时它们转向相反，保持装了一对转向相反的螺旋桨。工作时它们转向相反，保持系统的总角动量仍然为零。系统的总角动量仍然为零。合力矩功的效果合力矩功的效果ddMA 221dJ21dMA21222121JJCpmghE 恒量pkEEECmghJE221l质点系的角动量定理质点系的角动量定理LtMdd 外(微分形式微分形式)1221dLLtMtt外(积分形式积分形式)l质点系动量矩守恒定律质点系动量矩守恒定律0外M常矢量L 投影形式投影形式:0zM常量ZLzzLtMdd iiiiZmrLviiiimr2iiiJJZZttZLLtM1221d
11、现象现象:陀螺仪在外力矩的作用下，在绕其对称轴高速转动的同时，陀螺仪在外力矩的作用下，在绕其对称轴高速转动的同时，横杆也会在水平面内绕竖直轴缓慢地转动。横杆也会在水平面内绕竖直轴缓慢地转动。进动进动:高速转动物体的自转轴高速转动物体的自转轴绕绕另一轴线的旋转另一轴线的旋转运动形式。运动形式。3.6 进进 动动OLgmMLd陀螺的角动量近似为陀螺的角动量近似为JL 角动量定理角动量定理tMLddM/LdLM只改变方向，只改变方向，不改变大小不改变大小(进动进动)L进动的方向：进动的方向：.OLsinLd 进动角速度进动角速度dsindLLLtLtLMsinddsindd所以所以1sinsinJM
12、LM 以上只是近似讨论，以上只是近似讨论，只适用高速自转，即只适用高速自转，即角动量定理角动量定理LdOLgmtMLdd l炮弹飞行姿态的控制：炮弹飞行姿态的控制：炮筒内壁上刻出了螺旋线（称之为来复线）炮筒内壁上刻出了螺旋线（称之为来复线）CC翻转翻转外力外力外力外力进动进动 0泥J)(泥杆JJ例例解解求求lml430m0v20)43(lmJ 泥231mlJ 杆mllmm3116943000v0043lv2)(21泥杆JJ)cos2121()cos4343(000llmgllgmglmmmmmglmmmm)31169)(23(169)31169)(23(cos002020000v lml430
13、m0v lm0021v)121(2mlJC例例解解求求ml0v0mC20021vm00033vvmmmmlmmm)(312000vlmJCv0212202121CJmv 设子弹与细棒以初速设子弹与细棒以初速v0 0接触相碰时为接触相碰时为起始状态，子弹以速度起始状态，子弹以速度v0 0/4穿出棒时穿出棒时为末状态为末状态（用两种不同的解法）（用两种不同的解法）。如图，一质量为如图，一质量为m1，长度为，长度为l的均质细棒，可绕过其顶端的的均质细棒，可绕过其顶端的光滑水平轴自由转动。质量为光滑水平轴自由转动。质量为m2的子弹以水平速度的子弹以水平速度v0 0射入射入静止的细棒下端，穿出后子弹的速
14、度减小为静止的细棒下端，穿出后子弹的速度减小为v0 0/4。子弹穿出后棒所获得的角速度子弹穿出后棒所获得的角速度。解解求求例例lO1m2m0vv(1)应用动量定理和角动量定理求解应用动量定理和角动量定理求解设棒对子弹的阻力为设棒对子弹的阻力为F，对子弹应用动量定理，对子弹应用动量定理02022043dvvvmmmtFt(1)子弹对细棒的冲击力为子弹对细棒的冲击力为F,对细棒应用角动量定理对细棒应用角动量定理tJtlF0d(2)ZZttZLLtM1221dFF2131lmJ lmtFt1031d(2)02022043dvvvmmmtFt(1)tJtlF0d比较式比较式(1)(1)和式和式(3)(
15、3)得得0214331vmlmlmm10249v式式(2)(2)变为变为 (3)(2)应用系统角动量守恒定律求解应用系统角动量守恒定律求解 Jlmlmvv202由此解得由此解得 Jlm)(02vv 所以所以 lmm10249v2131lmJ 且且 21023143lmlm v lO1m2m0vv讨论讨论 水平方向动量守恒水平方向动量守恒xNxN0v0 0/4。一长为一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心的固定水平轴在铅垂的匀质细杆，可绕通过中心的固定水平轴在铅垂面内自由转动，开始时杆静止于水平位置。一质量与杆相面内自由转动，开始时杆静止于水平位置。一质量与杆相同的昆虫以速度同的昆虫以速度 v0
16、垂直落到距点垂直落到距点 O l/4 处的杆上，昆虫落处的杆上，昆虫落下后立即向杆的端点爬行，如图所示。若要使杆以下后立即向杆的端点爬行，如图所示。若要使杆以匀角速匀角速度转动度转动)4(121(4220lmmllmvl0712vO4lr 昆虫落到杆上的过程为完全非弹性昆虫落到杆上的过程为完全非弹性碰撞碰撞,对于昆虫和杆构成的系统，合对于昆虫和杆构成的系统，合外力矩为零（外力矩为零（忽略重力力矩忽略重力力矩），），角动角动量量守恒守恒例例解解求求 昆虫沿杆爬行的昆虫沿杆爬行的速度速度。tmglmlmml4)4(121(022vtJMzzdd)121(22mrmlJztrrmmgrdd2cost
17、ggtr cos22cosddv使杆以匀角速度转动使杆以匀角速度转动cosmgrMZ代入得代入得角动量定理角动量定理tJMzzd)(d其中其中O4lr l0712v)712cos(24700tlg lvv如图，一个质量为如图，一个质量为m1 1，半径为，半径为R 的圆形水平转台可绕通过其的圆形水平转台可绕通过其中心的光滑竖直轴转动。质量为中心的光滑竖直轴转动。质量为m2 2的人站在转台的边缘，开的人站在转台的边缘，开始时，人和转台都相对于地面静止。始时，人和转台都相对于地面静止。解解求求例例当人沿转台边缘走完一周时，转台对地面转过的角度。当人沿转台边缘走完一周时，转台对地面转过的角度。1mOR
18、2mx取人和转台作为系统。系统所受合外力矩为零，角动量守恒。取人和转台作为系统。系统所受合外力矩为零，角动量守恒。22RmJ人2121RmJ台设人和转台对地角速度分别为设人和转台对地角速度分别为 和和，则，则 0台人JJtJtJdd台人tttJtJ00dd台人台人JJ当人在转台上走动一周时，人对转台走过当人在转台上走动一周时，人对转台走过2 2，对地走过，对地走过 2台人JJ)2(人台人JJJ221224mmm分三个物理过程计算分三个物理过程计算 如图，一根长为如图，一根长为l,质量为质量为m1的均质细杆的均质细杆,可绕其一端的水平轴可绕其一端的水平轴O作无摩擦转动。现将另一端悬挂于一劲度系数
19、为作无摩擦转动。现将另一端悬挂于一劲度系数为k的轻弹簧的轻弹簧下端，开始时细杆静止并处于水平状态。有一质量为下端，开始时细杆静止并处于水平状态。有一质量为m2的小的小球（球（m2 m1）从距杆）从距杆h高处落到杆的中点，并粘于杆上和它高处落到杆的中点，并粘于杆上和它一起运动。设杆旋转微小角度一起运动。设杆旋转微小角度 后，角速度就减小到零。后，角速度就减小到零。此时弹簧的伸长量。此时弹簧的伸长量。解解求求例例k2m1mOlhO小球未落下时，细杆处于平衡小球未落下时，细杆处于平衡状态，设此时弹簧的伸长量为状态，设此时弹簧的伸长量为x0，则有，则有lkxlgm012kgmx210(1)21222g
20、hmmvgh2v(2)(1)小球与杆接触前的一瞬间，有小球与杆接触前的一瞬间，有(2)小球和细杆发生完全非弹性碰撞过程，忽略小球重力的小球和细杆发生完全非弹性碰撞过程，忽略小球重力的力矩，则系统角动量守恒。设系统绕轴转动的角速度为力矩，则系统角动量守恒。设系统绕轴转动的角速度为 ，则有，则有JJlm)(22杆球v2131lmJ杆222lmJ球(3)杆与球碰撞后系统的下降过程机械能守恒，有杆与球碰撞后系统的下降过程机械能守恒，有lgmmxxkkxJJ22121)(211220202杆球lx)(22杆球JJlmvgh2vkgmx210kgmmkhgmx2342411212总伸长量为总伸长量为gmm
21、khmmmkgxx212210342412k2m1mOlh质点的运动质点的运动刚体的定轴转动刚体的定轴转动速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度质量质量转动惯量转动惯量力力力矩力矩运动规律运动规律转动定律转动定律动量动量动量动量角动量角动量角动量角动量动量定理动量定理角动量定理角动量定理trddvt dd22ddddtrtav22ddddttmmrJd2FMamFJM vmp JL prLivimptmFd)d(vtJMd)d(质点的运动质点的运动刚体的定轴转动刚体的定轴转动动量守恒动量守恒角动量守恒角动量守恒力的功力的功力矩的功力矩的功动能动能转动动能转动动能动能定理动能定理动能定
22、理动能定理重力势能重力势能重力势能重力势能机械能守恒机械能守恒机械能守恒机械能守恒 时0iFbaabrFAd221vmEkmghEp时非保内外0 AA 恒量iimv时0M 恒量J21dMAab221JEk21212221vvmmA21212221JJACpmghE 恒量pkEE时非保内外0 AA恒量pkEE)(tt dd22ddddtt rsrvra t2nra t020021tt)(20202iiirmJ2mrJd22mdJJCJM 2k21JE 21dMA2122212121JJMdCpmghE 0非保内外AApkEEEJL)(ddJtMz0zMJLM3rmmrO解解2)3(121rmJc
23、棒，2)23(rrmJJCO棒，棒，C求对过圆环中心且垂直于圆环平面的转轴求对过圆环中心且垂直于圆环平面的转轴O 的转动惯量的转动惯量例例27mr2,mrJo环28mrJJJOOO棒，环，求均匀的薄球壳绕直径的转动惯量求均匀的薄球壳绕直径的转动惯量 例例解解R切为许多垂直于轴的切为许多垂直于轴的圆环圆环zmmrJdd2r24 Rm d2dRrm232mR dsin2dmm sinRr dsin2)sin(dd22mRmrJ dsin2)sin(20mRJRzmr求均匀球体绕直径的转动惯量求均匀球体绕直径的转动惯量 例例解解232mRJ mrJd32d2rrmd4d2)d4(32d22rrrJr
24、r d384RrrJ04d385158R252mR从半径为从半径为R 的均质圆盘上挖掉一块半径为的均质圆盘上挖掉一块半径为r 的小圆盘，该的小圆盘，该系系统的质量为统的质量为m,两圆盘中心两圆盘中心O 和和O相距为相距为d，且，且（d+r）R d O ORr挖掉小圆盘后，该系统对垂直于盘面挖掉小圆盘后，该系统对垂直于盘面,且过中心轴的且过中心轴的转动惯量转动惯量 例例解解求求使用补偿法使用补偿法则填满后的总质量为则填满后的总质量为m+m 设小圆盘的质量为设小圆盘的质量为m2222/)(rrRmrm)(222rRmr2/21RmmJ）（满2/22/21dmrmJo）（小oJJJ小满md 一一半半
25、圆形均质细杆，其半径为圆形均质细杆，其半径为R ，质量为，质量为 m ，AA/为过半为过半圆形圆心和端点的轴。圆形圆心和端点的轴。细杆对轴细杆对轴AA/的转动惯量的转动惯量例例解解求求RAA/r dlmmrJd2Rm sinRr ddRmd)sin(02AA/RRmRJ221mR另另解解：m2212mRJ 22mRJ 221mRJAA求均匀立方体求均匀立方体(边长边长l、质量质量m)绕通过面心的中心轴的转动惯量绕通过面心的中心轴的转动惯量 例例xdx解解mxlmJd12dd22xlmdd22222)d121(llmxlJ20222d)121(2lxlxl232)2(3212lllm221212lmlm26lm求均匀立方体求均匀立方体(边长边长l、质量质量m)绕通过面心的中心轴的转动惯量绕通过面心的中心轴的转动惯量 例例解解二二设设2mlkJCk是一个无量纲的量是一个无量纲的量Cz立方体绕棱边的转动惯量为立方体绕棱边的转动惯量为 22)21()2(mlklmJJCz分成八个相同的小立方体分成八个相同的小立方体他们绕各自棱边的转动惯量为他们绕各自棱边的转动惯量为228)21(）（）（小lmkJ八个相同的小立方体绕棱边的转动惯量八个相同的小立方体绕棱边的转动惯量=JC 即即)21(328kk61k261mlJC小JJC8
