1、空间向量应用空间向量应用4 4在立体几何证明中的应用在立体几何证明中的应用 前段时间我们研究了用空间向量求前段时间我们研究了用空间向量求角角(包括线线角、线面角和面面角包括线线角、线面角和面面角)、求距离求距离(包括线线距离、点面距离、线包括线线距离、点面距离、线面距离和面面距离面距离和面面距离)今天我来研究如何利用空间向量来今天我来研究如何利用空间向量来解决立体几何中的有关证明问题。解决立体几何中的有关证明问题。立体几何中的有关证明问题，大致可分为立体几何中的有关证明问题，大致可分为“平行平行”“”“垂直垂直”两大类：两大类：平行：平行：线面平行、面面平行线面平行、面面平行垂直：垂直：线线垂
2、直、线面垂直和面面垂直线线垂直、线面垂直和面面垂直平行与垂直的问题的证明，除了要熟悉相平行与垂直的问题的证明，除了要熟悉相关的定理之外，下面几个性质必须掌握。关的定理之外，下面几个性质必须掌握。1、已知、已知b，a不在不在内，如果内，如果ab，则，则a。2、如果、如果a，a，则，则。3、如果、如果ab，a，则，则b。（课本。（课本P22.6）4、如果、如果a，b，ab，则，则。一、一、用空间向量处理用空间向量处理“平行平行”问问题题 一、一、用空间向量处理用空间向量处理“平行平行”问问题题 nm0mnmnmnGAEDCBFHMN例例1.如图：如图：ABCD与与ABEF是正方形，是正方形，CB平
3、面平面ABEF，H、G分别是分别是AC、BF上上的点，且的点，且AH=GF.求证：求证：HG平面平面CBE.MHAB,NG AB MHNGAH=FG CH=BG CH:CA=BG:BF MH=NGGAEDCBFHPPHCB,PGBE 平面平面HPG平面平面CBE HG平面平面CBE GAEDCBFHozy证明：由已知得：证明：由已知得：AB、BC、BE两两垂直，故可两两垂直，故可建立如图所示的空间直建立如图所示的空间直角坐标系角坐标系o-xyz.x设正方形边长为设正方形边长为1,AH=FG=a,则则H(0,1-a,a)、G(1-a,1-a,0),22222222故故 ,而平面而平面CBE的法向
4、的法向量为量为 (0,1,0),故故 ,而而 平面平面CBE 故故 HG平面平面CBE)22,0,221(aaHGnHGnHRDBCAA1QPNMD1C1B1例例2.在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，P、Q分别是分别是A1B1和和BC上的动点，且上的动点，且A1P=BQ，M是是AB1的中点，的中点，N是是PQ的的中点中点.求证：求证：MN平面平面AC.M是中点，是中点，N是中点是中点 MNRQ MN平面平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1作作PP1AB于于P1，作作MM1 AB于于M1，连结连结QP1，作作NN1 QP1于于N1，连结连结M1N1N1M1P1NN1PP1 M
5、M1AA1又又NN1、MM1均等于边长的一半均等于边长的一半故故MM1N1N是平行四边形，故是平行四边形，故MNM1N1MN平面平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1zyxo证明：建立如图证明：建立如图所示的空间直角所示的空间直角坐标系坐标系o-xyz设正方形边长为设正方形边长为2，又又A1P=BQ=2x则则P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0)故故N(2-x,1+x,1),而而M(2,1,1)MN所以向量所以向量 (-x,x,0)，又平面，又平面AC的法的法向量为向量为 (0,0,1)，n0nMN又又M不在平面不在平面AC 内，所以内，所以MN平面平面ACnMNDCBAD1C1B1A1
6、例例3.在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：中，求证：平面平面A1BD平面平面CB1D1平行四边形平行四边形A1BCD1 A1BD1C平行四边形平行四边形DBB1D1 B1D1BD于是平面于是平面A1BD平面平面CB1D1DCBAD1C1B1A1ozyx证明：建立如图所示的证明：建立如图所示的空间直角坐标系空间直角坐标系o-xyz设正方形边长为设正方形边长为1，则向量则向量)1,0,1(1DA)0,1,1(DB设平面设平面BDA1的法向量的法向量为为),(zyxn 则有则有x+z=0 x+y=0令令x=1,则得方程组的解为则得方程组的解为x=1 y=-1 z=-1故平面故平面B
7、DA1的法向量为的法向量为)1,1,1(n同理可得平面同理可得平面CB1D1的法向量为的法向量为)1,1,1(m则显然有则显然有mn即得两平面即得两平面BDA1和和CB1D1的法向量平行的法向量平行所以所以 平面平面BDA1CB1D1 通过本例的练习，同学们要进一步通过本例的练习，同学们要进一步掌握平面法向量的求法：即用平面内掌握平面法向量的求法：即用平面内的两个相交向量与假设的法向量求数的两个相交向量与假设的法向量求数量积等于量积等于0，利用解方程组的方法求出，利用解方程组的方法求出平面法向量平面法向量(在解的过程中可令其中一在解的过程中可令其中一个未知数为某个数个未知数为某个数)。例例1
8、1、2 2与例与例3 3在利用法向量时有何不同？在利用法向量时有何不同？DCBAD1C1B1A1FGHE例例4.在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E、F、G、H分别是分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的的中点中点.求证：求证：平面平面AEH平面平面BDGFADGF，AD=GF又又EHB1D1，GFB1D1 EHGF平行四边形平行四边形ADGE AEDG 故得平面故得平面AEH平面平面BDGFDCBAD1C1B1A1HGFEozyx略证：建立如图所示的略证：建立如图所示的空间直角坐标系空间直角坐标系o-xyz则求得平面则求得平面AEF的法向的法向量为量为)1,2,2(n
9、求得平面求得平面BDGH的法向的法向量为量为)1,2,2(m显然有显然有nm故故 平面平面AEH平面平面BDGF 二、二、用空间向量处理用空间向量处理“垂直垂直”问问题题 二、二、用空间向量处理用空间向量处理“垂直垂直”问问题题 0mnnmnmnm:,.ABCD A B C DCC BDA FBDE例5 在正方体中.E,F分别是的中点.求证：平面DACBBCDAFEXYZ,DA DC DDxyzA 证明:如图取分别为 轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2.A(2,0,0),B(2,2,0),(2,0,2)E(0,2,1),F(1,1,0)(1,1,2),(2,2,0),(0,2,1
10、)(1,1,2)(2,2,0)0(1,1,2)(0,2,1)0,.A FDBDEA F DBA F DEA FDB A FDEDBDEDA FBDE 又平面ADBPCMNADBPCMN证明证明:分别以分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系为坐标向量建立空间直角坐标系 ,i j k Axyzxyz,1PAADABPAAC ADABDAi ABj APk PA 且且平平面面可可设设(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),ABCD(0,0,1)P11 1 1(0,0),(,)22 2 2MN 11(,0,)22MN (1,0,1)PD (0,1,0)DC 11(,0,)(1,0
11、,1)022MNPDMNPD 11(,0,)(0,1,0)022MNDCMNDC PDDCDMNPDC 又又平平面面例例6 6：如图，在正三棱柱：如图，在正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中，AB=AAAB=AA1 1/3=a/3=a，E E、F F分别是分别是BBBB1 1、CCCC1 1上的点，上的点，且且BE=aBE=a，CF=2a CF=2a。求证。求证:面面AEFAEF 面面ACFACF。AFEC1B1A1CBxzyAFEC1B1A1CBzy 不防设不防设 a=2a=2，则则A A（0 0，0 0，0 0），），B B（3 3，1 1，0 0），），C C
12、（0 0，2 2，0 0），），E E（3 3，1 1，2 2），F F（0 0，2 2，4 4），），AE=AE=（3 3，1 1，2 2）AF=AF=（0 0，2 2，4 4），因为，），因为，x x轴轴 面面ACFACF，所以可取面，所以可取面ACFACF的法向量为的法向量为m=m=（1 1，0 0，0 0），），设设n=n=（x,y,z)x,y,z)是面是面AEFAEF的法的法向量，则向量，则xnAE=nAE=3x+y+2z=03x+y+2z=0nAF=2y+4z=0nAF=2y+4z=0 x=0 x=0y=-2zy=-2z令令z=1z=1得得,n=n=（0 0，-2-2，1 1）显然
13、有显然有m n=0m n=0，即，即，m m n n面面AEFAEF 面面ACFACF证明：如图，建立空间直角证明：如图，建立空间直角坐标系坐标系A-xyz A-xyz，ADCB求证：平面求证：平面MNC平面平面PBC；求点求点A到平面到平面MNC的距离。的距离。已知已知ABCD是矩形，是矩形，PD平面平面ABCD，PDDCa，AD ，M、N分别是分别是AD、PB的中点。的中点。a2PMN练习练习1小结：小结：利用向量的有关知识解决一些立体几何的问题，是利用向量的有关知识解决一些立体几何的问题，是近年来很近年来很“热热”的话题，其原因是它把有关的的话题，其原因是它把有关的“证明证明”转化为转化
14、为“程序化的计算程序化的计算”。本课时讲的内容是立体几。本课时讲的内容是立体几何中的证明何中的证明“线面平行、垂直线面平行、垂直”的一些例子，结合我们的一些例子，结合我们以前讲述立体几何的其他问题以前讲述立体几何的其他问题(如：求角、求距离等如：求角、求距离等)，大家从中可以进一步看出基中一些解题的大家从中可以进一步看出基中一些解题的“套路套路”。利用向量解题利用向量解题 的关键是建立适当的空间直角坐标系的关键是建立适当的空间直角坐标系及写出有关点的坐标。及写出有关点的坐标。用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的发展用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的发展趋势，而向量是用代数的方法解决立
15、体几何问题的主趋势，而向量是用代数的方法解决立体几何问题的主要工具，故学会用向量法解立体几何问题是学好立体要工具，故学会用向量法解立体几何问题是学好立体几何的基础。几何的基础。85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击
16、，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你
17、的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发
18、现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而
19、我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不
20、清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的
21、人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量
22、之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金
