1、121三角函数的定义（一）三角函数的定义（一）1.初中学过的初中学过的锐角三角函数的定义锐角三角函数的定义:在直角三角形在直角三角形ABC中，角中，角C是直角，角是直角，角A为锐角，则用角为锐角，则用角A的的对边对边BC，邻边邻边AC和和斜斜边边AB之间的比值来定义角之间的比值来定义角A的三角函数的三角函数.sinBCAABcosACAABtanBCAACCBA2.用坐标的形式表示出初中所学的锐角三角函数用坐标的形式表示出初中所学的锐角三角函数：以坐标原点为角以坐标原点为角的顶点，以的顶点，以OX轴的非负半轴轴的非负半轴为角为角的始边，则角的始边，则角的终边落在直角坐标系的的终边落在直角坐标系
2、的第一象限内，若点第一象限内，若点P(x,y)是角是角终边上的任意一终边上的任意一点，点点，点P到原点到原点O的距离是的距离是r,试将试将角角的三角函数用的三角函数用x、y、r的式子表示出来。的式子表示出来。220rxysin=，cos=，tan=。ryrxxy(x,y)OMPMOPOMOPMPsin=，cos=，tan=。220rxy(2).如果把如果把P点在点在角终边上移动，那角终边上移动，那么，么，x、y、r是否随之改变是否随之改变?这三个比这三个比值是否也随之改变值是否也随之改变?为什么为什么?3.任意角的三角函数任意角的三角函数:（1）确立任意角）确立任意角在直角坐标系中的位置；在直
3、角坐标系中的位置；以坐标原点为角以坐标原点为角的顶点，以的顶点，以OX轴的非轴的非负半轴为角负半轴为角的始边；的始边；（2）在其终边上取点）在其终边上取点A，使，使OA=1，点，点A的坐的坐标为标为(l,m)，再任取一点，再任取一点P(x,y)，设点，设点P到原点到原点的距离为的距离为r，OP=r（r0），根据三角形的相），根据三角形的相似知识得：似知识得：lrxmry 因为因为A、P在同一象限内，所以它们的坐标在同一象限内，所以它们的坐标符号相同，因此得符号相同，因此得lrxmrylmxylmxy 不论点不论点P在终边上的位置如何，它们都是在终边上的位置如何，它们都是定值，它们只依赖于定值，
4、它们只依赖于的大小，与点的大小，与点P在在终终边上的位置无关。即当点边上的位置无关。即当点P在在的终边上的位的终边上的位置变化时，这三个比值始终等于定值。置变化时，这三个比值始终等于定值。叫做角叫做角的正弦，记作的正弦，记作sin，即即sin=；ryry 叫做角叫做角的正切，记作的正切，记作tan，即即 tan=xyxy 叫做角叫做角的余弦，记作的余弦，记作cos,即即cos=；rxrx(1)对于正弦函数对于正弦函数sin=,因为因为r0，所以恒，所以恒有意义，即有意义，即取任意实数，取任意实数，恒有意义，也恒有意义，也就是说就是说sin恒有意义，所以正弦函数的定义恒有意义，所以正弦函数的定义
5、域是域是R；ryry(2)类似地可写出余弦函数的定义域是类似地可写出余弦函数的定义域是R；对于正切函数对于正切函数tan=,因为因为x=0时，时，无意义，又当且仅当无意义，又当且仅当的终边落在的终边落在y轴上时，才有轴上时，才有x=0，所以当，所以当的终边落不在的终边落不在y轴上时，轴上时，恒有意义，即恒有意义，即tan=恒有意义，恒有意义，yxxyxyxy2所以正切函数的定义域是所以正切函数的定义域是|k+（kZ）从而三角函数的定义域是从而三角函数的定义域是 y=sin,R y=cos,R2y=tan,k+（kZ）从而三角函数的定义域是从而三角函数的定义域是 y=sin,R y=cos,R2
6、y=tan,k+（kZ）yryx比值 叫做的余切记作：比值 叫做的正割记作：比值 叫做的余割记作：yxcotxrxrsecyrcsc例例1如图所示，已知角终边上一点P的坐标为（4，3），求角的三角函数值。0yxP(4,-3)解解：4，32222)3(4yxr55353sinrya54cosrxa4343tanxya的终边变式变式练习练习 1.已知角已知角 的终边上一个点的终边上一个点 P 的坐标为的坐标为(4t,-3t)(t 0),求求 的的正弦、余弦和正切值正弦、余弦和正切值.解解:由已知有由已知有 x=4t,y=-3t,|OP|=r=5|t|.当当 t0 时时,sin=-,yr-3t 5|
7、t|-3t 5t 35cos=,xr4t 5|t|4t 5t 45tan=-;yx-3t 4t 34当当 t0,x0,且且r=xr=x2 2+5+5则则coscosxxx4252解得解得x=3x=3r=8r=8故故sin=sin=410tan=tan=315rysinrxcosxytanyxcotxrsecyrcsc（四）总结提炼总结提炼n任意角三角函数的定义及其定义域任意角三角函数实质上是锐角三角函数的扩展，是将锐角三角函任意角三角函数实质上是锐角三角函数的扩展，是将锐角三角函数中边长的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比。数中边长的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比。k+/2,k z作业作业:习
8、题习题1.2 A组第组第1,2题题 85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都
9、不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间
10、更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上
11、是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线
12、那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉
13、它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨
14、天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量
15、。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金
