1、2.3抛物线抛物线进入抛物线的内部世界进入抛物线的内部世界yxo探究？探究？画图观察画图观察再次观察再次观察C问题探究：问题探究：可以发现可以发现,点点M随着随着H H运动的过程中运动的过程中,始终有始终有|MF|=|=|MH|,|,即点即点M与点与点F和定直线和定直线l的距离相等的距离相等.点点M生成的轨迹是曲线生成的轨迹是曲线C的形状的形状.(如图如图)我们把这样的一条曲线叫做我们把这样的一条曲线叫做抛物线抛物线.MFlH观察发现观察发现CMFlH 在平面内在平面内,与一个定点与一个定点F和一条定直线和一条定直线l(l不经过点不经过点F)的的距离相等距离相等的点的轨迹叫的点的轨迹叫抛抛物线
2、物线.点点F叫抛物线的叫抛物线的焦点焦点,直线直线l 叫抛物线的叫抛物线的准线准线d 为为 M 到到 l 的距离的距离准线准线焦焦点点d一、抛物线的定义一、抛物线的定义:知识点一：抛物线的定义及其标准方程知识点一：抛物线的定义及其标准方程CMFlH如何建立坐标系呢如何建立坐标系呢？思考思考：抛物线是抛物线是轴对称图形吗轴对称图形吗？怎怎样建立坐标系样建立坐标系,才能才能使焦点坐标和准线使焦点坐标和准线方程更简捷方程更简捷?xy0 xy0 xy01.1.建立坐标系建立坐标系2.2.设动点坐标设动点坐标,相关点的坐标相关点的坐标.3.3.列方程列方程4.4.化简化简,整理整理l 解：以过解：以过F
3、且垂直于且垂直于 l 的直的直线为线为x轴轴,垂足为垂足为K.以以F,K的中点的中点O O为坐标原点建立直角坐标系为坐标原点建立直角坐标系xoy.22()|22ppxyx 两边平方两边平方,整理得整理得xKyoM(x,y)F依题意得依题意得22(0)ypx p 这就是所求的轨迹方程这就是所求的轨迹方程.把方程把方程 y2=2 2px(p0)叫做抛物线的叫做抛物线的标准方标准方程程.其中其中 p 为正常数为正常数,表示焦点在表示焦点在 x 轴正半轴上轴正半轴上.且且 p的几何意义是的几何意义是:焦焦 点点 到到 准准 线线 的的 距距 离离焦点坐标是焦点坐标是(,0)2p2px 准线方程为准线方
4、程为:一条抛物线，由于它在坐标平面内一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程有四种形式的标准方程有四种形式.pxy220ppxy220ppyx220ppyx220p0,2p2px0,2p2px 2,0p2py2,0p2py 第一第一:一次项的变量如为一次项的变量如为x(或或y),),则则x轴轴(或或y轴轴)为抛物线的对称轴为抛物线的对称轴,焦点就在对称轴上焦点就在对称轴上.第二第二:一次项的系数的正负决定了开口方向一次项的系数的正负决定了开口方向.例例1(1)1(1)已知抛物线的标准方程是已知抛物线的标准方程是y2 2=6=6
5、x，求它的，求它的焦点坐标和准线方程焦点坐标和准线方程;(2)(2)已知抛物线的焦点坐标是已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),(0,-2),求它的标准求它的标准方程方程.根据标准方程的知识根据标准方程的知识,我们可以确定抛物我们可以确定抛物线的焦点位置及准线方程线的焦点位置及准线方程.解解:(1)因为因为p=3，所以焦点坐标是所以焦点坐标是 ,准线方程是准线方程是3(,0)232x ,所以所求抛物线的标准方程是所以所求抛物线的标准方程是2,2p 28xy (2)因为焦点在因为焦点在y轴的负半轴上，且轴的负半轴上，且4p 例例2.求过点求过点A(-3,2)的抛物线的标准方程的抛物线的标准方程.
6、AOyx解解:(1)当抛物线的焦点在当抛物线的焦点在 y 轴轴的正半轴上时，把的正半轴上时，把A(-3,2)代入代入x2=2py，得，得p=94(2)当焦点在当焦点在 x 轴的负半轴上时，轴的负半轴上时，把把A(-3,2)代入代入y2=-2px，得得p=23抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为x2=y 或或y2=x 。9243 思考思考:M是抛物线是抛物线y2=2px（p0）上一点，若点）上一点，若点 M 的横坐标为的横坐标为x0，则点，则点M到焦点的距离是到焦点的距离是 x0+2pOyxFM这就是抛这就是抛物线的焦物线的焦半径公式半径公式!1.1.抛物线的定义抛物线的定义:抛物线的定义反映了
7、抛物线的本抛物线的定义反映了抛物线的本质，灵活应用定义往往可以化繁为简、化难为易，质，灵活应用定义往往可以化繁为简、化难为易，且思路清晰，解法简捷，巧妙解法常常来源于对定且思路清晰，解法简捷，巧妙解法常常来源于对定义的恰当运用义的恰当运用.2.2.抛物线的标准方程有四种不同的形式抛物线的标准方程有四种不同的形式:每一对每一对焦点和准线对应一种形式焦点和准线对应一种形式.抓住标准方程的特点抓住标准方程的特点,注意与焦点位置注意与焦点位置,开口方向的对应关系开口方向的对应关系;3、注重数形结合和分类讨论的思想。注重数形结合和分类讨论的思想。准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标标准方程标准方程焦点位置焦
8、点位置 图图 形形 不同位置的抛物线不同位置的抛物线 x轴的轴的正方向正方向 x轴的轴的负方向负方向 y轴的轴的正方向正方向 y轴的轴的负方向负方向y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py)0,2(pF)0,2pF(-)2,0(pF)2,0(pF-2=px-2=px2=py2=py-xyOFlxyOFlxyOFlxyOFl结合抛物线结合抛物线y2=2px(p0)的标准方程和图形的标准方程和图形,探索探索其的几何性质其的几何性质:(1)范围范围(2)对称性对称性(3)顶点顶点x0,yR关于关于x轴对称轴对称,对称轴对称轴又叫抛物线的轴又叫抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点抛物线和它的轴
9、的交点.yxoF知识点二：抛物线的简单几何性质知识点二：抛物线的简单几何性质(4)离心率离心率(5)焦半径焦半径(6)通径通径e=1通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度通径的长度：2P特点：特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无虽然它可以无限延伸限延伸,但它没有渐近线但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一
10、条准线抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的抛物线的离心率是确定的e=1;5.抛物线标准方程中的抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响对抛物线开口的影响.P越大越大,开口越开阔开口越开阔-本质是成比例地放大！本质是成比例地放大！方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度 y2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0 yRx0 yRxR y0y0 xRlFyxO12pxx12()pxx12pyy12()pyy02px02px02py02py关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称关于y轴对称（0,
11、0）（0,0）（0,0）（0,0）例例1.顶点在坐标原点顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴对称轴是坐标轴,并且过点并且过点M(2,)的抛物线有几条的抛物线有几条,求它的标准方程求它的标准方程.2 2 当焦点在当焦点在x或或y轴上轴上,开口方向不定时开口方向不定时,设为设为y2=mx(m 0)或或x2=my(m0),可可避免讨论！避免讨论！(2)过抛物线的焦点做倾斜角为过抛物线的焦点做倾斜角为 的直线的直线L,设设L交抛物线于交抛物线于A,B两点两点,(1)求求|AB|;(2)求求|AB|的最小值的最小值.例例2、(1)过抛物线过抛物线 的焦点的焦点,作倾斜角为作倾斜角为的直线的直线,则被抛物线截得
12、的弦长为则被抛物线截得的弦长为 .04528yx思考思考：通径是抛物线的通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗焦点弦中最短的弦吗？FAxyB220.ypx p例3、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线（）上，求这个正三角形的边长yOxBA方程性质图形范围Ryx,0对称性轴对称关于x顶点坐标)0,0(坐标原点离心率1e)0(,22ppxy设抛物线方程为：lFMdxOyK焦半径000|,(,)2pMFxM xypAB2|通径一、抛物线的几何性质：一、抛物线的几何性质：lFAxyBB1pp1211222(0)(,)(,)ypx pFA x yB xy00如图所示，弦AB过抛物线的焦点，设、
13、，弦AB的中点为P(x,y).11BP11111111111从点A、B、P分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为A、，依据抛物线的定义，|AF|=|AA|,|BF|=|BB|所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA|+|BB|,又PP是梯形AA BB的中位线，所以|AA|+|BB|=2|PP|.因此，我们容易得到A1二、抛物线的焦点弦：二、抛物线的焦点弦：120(1)|2(2)ABxxpxpAB以为直径的圆必与准线相切另外，将直线方程与抛物线方程联立方程组，我们还可以推得以下结论：22(1)|.sinPAB若直线的倾斜角为，则2212(2),.4ABpy yp 12、两点间的横坐标之积，纵坐标之
14、积均为定值，即x x(4)所有的焦点弦中，通径是最短的.12(3)|,|,.AFm BFnmnp1设则lFAxyBB1pp1A1通径就是过焦点且垂直于x轴的线段长为2p即为 的最小值22|sinPAB抛物线的焦点弦的如下性质:(2,3)5Fy1、求焦点为，准线方程为的抛物线方程.FxOyP是抛物线上任意一点解：设),(yxP则由抛物线的定义知：的距离的距离等于到直线到5yFP|5|)3()2(22yyx即)4(4)2(2yx化简得：24(1)(0,1)PyxPPy2、设 是曲线上一动点，则点 到点的距离与点 到 轴的距离之和的最小值是？.FxOyP的抛物线焦点到准线的距离为表示顶点在解：曲线2
15、)0,1()1(42xy0,(2,0)xF所以抛物线的准线:焦点:|PFd Ad|AFPFPA又|)|(|,minAFPFPAFPA共线时，当5|)|(|minAFdPA2(0)11,?yaxaFPQPF QFp qpq3、过抛物线的焦点 作一直线交抛物线于、两点，若线段的长度分别是，则.FxOyPQ21xya抛物线:1(0,)4Fa焦点:14ya 准线：222(3)1yxxy4、抛物线和圆上最近两点间的距离为？.FxOyPCQAQP与圆上任意一点抛物线上任意一点分析：如图，|PAPQ 圆心最小值时，连线必经过|PQ)0,3(),(CyxP设22)3(|yxPC)0(952xxx211|25m
16、inPCx时，当1211|min PQ22,(1)(2)yxOA OBABABx5、过抛物线的顶点作互相垂直的二弦求中点的轨迹方程；证明与 轴的交点为定值.FxOyBAM:,OAlykx解：(1)设xkylOB1:则xykxy22联立22,2kxkyAAxyxky212联立22,2kxkyBB22ABABxxxyyykkkk11222)1(2kk22xy轨迹方程：22,(1)(2)yxOA OBABABx5、过抛物线的顶点作互相垂直的二弦求中点的轨迹方程；证明与 轴的交点为定值.bkxylyxByxAAB:).,(),.(22211）设（xybkxy22联立0)22(222bxkbxk2221
17、kbxxkbyy221同理02121yyxxOBOA由kbkbkb20222即kkxylAB2:)0,2(轴交点与x.FxOyBAM6 6、已知直线、已知直线l l：x=2px=2p与抛物线与抛物线 =2px(p0)=2px(p0)交于交于A A、B B两点，两点，求证：求证：OAOB.OAOB.2y证明：由题意得，证明：由题意得，A(2p,2p),B(2p,-2p)A(2p,2p),B(2p,-2p)所以所以 =1=1，=-1=-1因此因此OAOBOAOBOAKOBKxyOy y2 2=2px=2pxA AB BL:x=2pC(2p,0)C(2p,0)变式变式1:1:若直线若直线l l过定点
18、过定点(2p,0)(2p,0)且与抛物线且与抛物线 =2px(p0)=2px(p0)交于交于A A、B B两点，求证：两点，求证：OAOB.OAOB.2yxyOy2=2pxABlP(2p,0)2:22l xmypypx设代如得22240ypmyp.1122,A x yB xy设、变式变式2 2：若直线若直线l l与抛物线与抛物线 =2px(p0)=2px(p0)交于交于A A、B B两点，两点，且且OAOB OAOB，则，则_ _ _.2y直线直线l l过定点过定点(2p,0)(2p,0)xyOy2=2pxABlP2:2l xmyaypx设代如得2220ypmypa1122,A x yB xy
19、设、22121212222yyy ypaxxpp 又、212x xa.二讲授新课二讲授新课1 直线和抛物线的位置关系有哪几种直线和抛物线的位置关系有哪几种?(1)有一个公共点(2)两个公共交点(3)没有公共点例1：判断直线 y=6与抛 物线 y2=4x的位置关系及求交点坐标？xyO相交相交(9,6)问题:直线与抛物线的对称轴直线与抛物线的对称轴平行时都有一个交点吗？平行时都有一个交点吗？注意注意,当直线与抛物线的对当直线与抛物线的对称轴平行时有一个交点称轴平行时有一个交点 Fx知识点三：直线与抛物线的位置关知识点三：直线与抛物线的位置关系系 例例1 当当k为何值时为何值时,直线直线y=kx+2
20、与抛物线与抛物线2xy2(1)两个交点两个交点(2)一个交点一个交点,(3)没有交点没有交点解：由方程组解：由方程组 ）（1 04)24k(xk22x4164k42)(4k22k2kxy2xy2消去消去 y，并整理得，并整理得此时直线与抛物线有一个交点此时直线与抛物线有一个交点 当当k=0时时，（，（1）是关于）是关于x的一元一次方程。的一元一次方程。2y2,x时当0k。个交点时，直线与抛物线有两41k即0当)1(个交点。时，直线与抛物线有一即当410)2(k时，没有交点。即当410)3(k交点。时，直线和抛物线没有当个交点；时，直线和抛物线有一或当个交点；时，直线和抛物线有两综上所述：当41
21、k 41k0k 41k判断直线与抛物线位置关系的操作程序：判断直线与抛物线位置关系的操作程序：把直线方程代入抛物线方程把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与抛物线的直线与抛物线的对称轴平行对称轴平行相交（一个交点）相交（一个交点）计计 算算 判判 别别 式式0=00相交相交相切相切相离相离总结：总结：例例2 求过定点求过定点P（0，1）且与抛物线）且与抛物线 只有一个公共点只有一个公共点的直线的方程的直线的方程.2xy2），求得交点（由002xy0 x2故直线故直线 x=0与抛物线只有一个交点与抛物线只有一个交点.解解:(1)若直线斜率不
22、存在若直线斜率不存在,则过点则过点P的直线方程是的直线方程是011)x-2(kxky2xy1kxy222得消(2)若直线斜率存在若直线斜率存在,设为设为k,则过则过P点的点的直线方程是直线方程是y=kx+1x=0.故直线故直线 y=1 与抛物线只有一个交点与抛物线只有一个交点.当当k0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则时，若直线与抛物线只有一个公共点，则.21k0,4k1)4(k221,21x0ky时，当1.x21y此时直线方程为121y1y0 xx或或程为综上所述：所求直线方y2=2xOyxP(0,1)例3 倾斜角为1350 的直线，经过抛物线y2=8x的焦点，则截得的弦长是多少？OxyA
23、BF解（法1）由y2=8x的焦点F（2，0）K=-1直线方程为y=-x+216)244,246()244,246(ABBA所以得由282xyxyPxxpxBFpxAF2121AB2 2X2-12x+4=0法法2 焦半径焦半径法法3，弦长公式，弦长公式2122124xx)1(xxkAB）（例例4、已知抛物线、已知抛物线C：y24x，设直线与抛物线两交点为，设直线与抛物线两交点为A、B，且线段，且线段AB中点为中点为M（2，1），求直线），求直线l的方程的方程.2yy4,xx),y,B(x),y,A(x ,0k2)-k(x1-yll21212211则坐标设直线与抛物线的交点）（的方程为斜率一定存在
24、，故可设解：由题意可知，直线）（得消而由1 08k-44y-kyx)2(14xy22xky22k4yy 21k由韦达定理可得01128k)-k(44161）的判别式此时，方程（03-y-x22),-2(x1-y即的方程为所以直线l例例4、已知抛物线、已知抛物线C：y24x，设直线与抛物线两交点为，设直线与抛物线两交点为A、B，且线段，且线段AB中点为中点为M（2，1），求直线），求直线l的方程的方程.2yy4,xx ,xx)y,B(x),y,A(xl2121212211则）（斜率一定存在，故可设直线解法二：由题意可知，2444y212121222121yyxxyyxyx由2kAB即03-y-x
25、22),-2(x1-y即的方程为此时直线l0 06-2y-yx 03-y-x24xy22得消由03-y-x22),-2(x1-y即的方程为所以直线l说明：说明：中点弦问题中点弦问题的解决方法：的解决方法：联立直线方程与曲线方程，用韦达定理联立直线方程与曲线方程，用韦达定理点差法点差法),0,8(322得焦点坐标为由解：xy，、设),(),(2211yxCyxB),0,8(),8,2(三角形重心是A.822.038,83221212121yyxxyyxx，即).4,11(中点为故BC.4BCk.0404 yxBC方程为故得又由.32,04042xyyx.084,0100222xx.0404 yx
26、BC所在直线的方程为故.),8,2(3252所在直线方程物线的焦点，求三角形的重心恰好是抛上，顶点的三个顶点都在抛物线、已知例BCAxyABC.)8,2(ABCFyxo43232y32212121222121yyxxyyxxy又由1、抛物线 y2=2x中，一条过焦点的弦长为16，求此焦点弦所在的直线方程？2、过、过Q（4，1）点作抛物线点作抛物线y2=8x的弦的弦AB恰恰被被Q点所平分，求点所平分，求AB所在直线方程所在直线方程?课堂练习课堂练习)21(71yx015-y-x4.)1,4(,6.32为分，则这条直线的方程被平引一条弦，使它恰在点过点已知抛物线PPxy 113 xy.)2(2|4
27、.42最短的距离为轴的距离为到的中点则弦上的过焦点的弦，且为抛物线xMABmmAByxAB1m1.;,4|42轴的最短距离离中点求弦来表示试用两点，且、相交于与抛物线若直线xMABbkABBAyxbkxy),(),(,:2211yxByxAbkxyAB、设直线解：.044,422bkxxyyxbkxy得消去由44)(1.4,42122122121xxxxkbxxkxx.1122kkb化简得.|,0yyyxM故的绝对值，由轴的距离为该点纵坐标到显然点221yyy.0,11122”号成立时“即当且仅当kkk例例6.6.ByoxAbk 2282)(8212212221xxxxxx1111121111
28、2222kkkk2211kk解法二：),(),(),(002211yxMAByxByxA中点设xoyFABMCNDBFBCADMNAF2,1200yypMN)1(20yBFAF4,ABBFAFABF中而在4|)|(|minBFAF1min0y即练习练习:已知抛物线已知抛物线x x2 2=4y,=4y,动弦动弦ABAB的长为的长为4 4，求，求ABAB中点纵坐标的最小值中点纵坐标的最小值.)2,0(,22中点的轨迹方程求弦两点，试、作一直线交抛物线于过点已知抛物线ABBAQyx 例例7.7.解法1：),(),(),(2211yxyxyxMBAMAB、点的坐标为、，并设的中点为设弦根据题意，有22
29、222211xyxy)()(2212121xxxxyy得,2,2121xxxxx且又.2,22xyxyxk即有联立得2222xyyx0,042则x.22xyAB的中点的轨迹方程为弦yxoQ.解法2：2)2,0(kxyABQ的方程为的任意一条弦设过0422222kxxyxkxy，得联立可得的横坐标，由韦达定理、两个端点分别是弦、根此一元二次方程的两个BAABxx11kxx221.,),(xkkxyxMAB即则有的中点设.22 xy代入直线方程整理得01642k故式有两个不同的实根，又因为.22xyAB的中点的轨迹方程为弦.,RxRk则有即变式变式1 1：解：2)2,0(kxyABQ的方程为的任意
30、一条弦设过0422222kxxyxkxy，得联立可得的纵坐标，由韦达定理、两个端点分别是弦、根此一元二次方程的两个BAABxx11kxx221.,),(xkkxyxMAB即则有的中点设.22 xy代入直线方程整理得4 016422kk得故式有两个不同的实根，又因为).2x2(22或的中点的轨迹方程为弦xxyAByxoQ.Q2 x-2x4x2或即.)2,0(,2 2中点的轨迹方程试求弦两点，、作一直线交抛物线于过点已知抛物线ABBAQyx2)1()2,1(xkyABQ的方程为的任意一条弦解：设过.)2,1(,2 2中点的轨迹方程试求弦两点，、作一直线交抛物线于过点已知抛物线练习：ABBAQyx.
31、,),(xkkxyxMAB即则有的中点设kkxxyxxky042222)1(22，得联立kxxBAABxx22111可得的横坐标，由韦达定理、两个端点分别是弦、根此一元二次方程的两个.22xxy代入直线方程整理得Rk03)1(4222恒成立，故故式有两个不同的实根，又因为kkk）（的中点的轨迹方程为弦Rx22xxyAB小结小结 直线和抛物线方程联立的方程组解的个数与位置关系直线和抛物线方程联立的方程组解的个数与位置关系方程组两组解方程组两组解0两个交点两个交点方程组没有解方程组没有解0没有交点没有交点方程组一组解方程组一组解0一个交点一个交点 (2)若消元得到若消元得到一次方程一次方程，则方程组只有一组解，直线和，则方程组只有一组解，直线和抛物线的对称轴平行或重合抛物线的对称轴平行或重合,为相交关系为相交关系.(1)若消元得到若消元得到二次方程二次方程,则则课堂练习课堂练习 2.抛物线的一条弦所在直线是 ,且弦的中点的横坐标为 -3,则此抛物线的方程为 .3.过抛物线 的焦点 ,作互相垂直的两条焦点弦 和 则 的最小值为 .52 xyxy42FCDAB|CDAB kABkxyxy则所得的弦长截直线设抛物线,53|24.124xy4216
