1、第二十七章相似27.2.1相似三角形的判定相似三角形的判定 第一课时第一课时平行线分线段成比例平行线分线段成比例一、情景导入1相似多边形的对应角相似多边形的对应角_，对应边，对应边_，对，对应边的比叫做应边的比叫做_2如图如图，ABC 和和ABC 相似需要满足什么条件相似需要满足什么条件？相似用符号相似用符号“”表示，读作表示，读作“相似于相似于”ABC与与ABC 相似记作相似记作“ABCA B C”ABCABC相等相等成比例成比例相似比相似比二、探究新知1平行线分线段成比例平行线分线段成比例(基本事实基本事实)如图如图，小方格的边长都是，小方格的边长都是 1，直线，直线 abc，分别交，分别
2、交直线直线 m，n 于于 A1，A2，A3，B1，B2，B3A1A2A3B1B2B3mnabc图图 二、探究新知(1)计算计算 你有什么发现？你有什么发现？A1A2A3B1B2B3mnabc图图 12122323，A AB BA AB B有一个锐角相等的两个直角三角形相似 AB BCBD ABAD AC，2证明三角形全等有哪些方法？(2)当 RtACB RtCDA 时，有 AC:CDAB AC，即 AB ，解得 AB4如图，ABC 的高 AD，BE 交于点 F同理C _，EDA904如图，已知ABC 中，D 为边 AC 上一点，P 为边 AB 上一点，AB12，AC8，AD6，当 AP 的长度
3、为 _ 时，ADP 和ABC 相似CAE20想一想：1如何理解“对应线段”？ACBACDBCDBBCD90 解得 x 菱形的边长为 cm问题 3你认为ADE 与ABC 之间有什么关系？平行移动 DE 的位置，你的结论还成立吗？想一想：我们通过度量三角形的边长，知道ADEABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？即BADCAE改变 k 和A 的值的大小，是否有同样的结论？同理C _，5如图，ABC 中，DEBC，EFAB，求证：ADEEFCAB4 cm，BC6 cm，AC8 cm，AB12 cm，BC18 cm，AC21 cmAB CDBC DEAC AE，例 3如图，在 ABC 和
4、ADE 中，ABC ABC二、探究新知(2)将将 b 向下平移到如图向下平移到如图 的位置，直线的位置，直线 m，n 与直线与直线 b 的交点分别为的交点分别为 A2，B2你在问题你在问题(1)中发现的结论还成立吗？中发现的结论还成立吗？如果将如果将 b 平移到其他位置呢？平移到其他位置呢？A1A2A3B1B2B3mnabc图图 二、探究新知(3)根据前两问，你认为在平面上任意作三条平行线，根据前两问，你认为在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的对应线段成比例吗？用它们截两条直线，截得的对应线段成比例吗？A1A2A3B1B2B3mnabc图图 二、探究新知归纳归纳：一般地，我们有平
5、行线分线段成比例的基本事实一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例所得的对应线段成比例符号语言：符号语言：若若abc，则则2323121223231212，A AB BA AB BA AB BA AB B2323121213131313，A AB BA AB BA AB BA AB BA1A2A3B1B2B3bc二、探究新知想一想想一想：1如何理解如何理解“对应线段对应线段”？2“对应线段对应线段”成比例都有哪些表达形式成比例都有哪些表达形式？二、探究新知2平行线分线段成比例定理的推论平行线分线段成比例定理的推论如图如图
6、，直线直线abc，由由平行线分线段成比例的基本事实平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段我们可以得出图中对应成比例的线段，把直线把直线 n 向左或向右向左或向右任意平移任意平移，这些线段依然成比例这些线段依然成比例A1A2A3B1B2B3bcmna二、探究新知直线直线 n 向左平移到向左平移到 B1 与与A1 重合的位置，说说图中有哪重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？些成比例线段？把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？是否仍然成比例？A1A2A3bcmB1B2B3naA1(B1)A2A3B2B
7、3(B1)二、探究新知归纳：归纳：平行于三角形一边的直线截其他两边平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线或两边的延长线)，所得的对应线段成比例所得的对应线段成比例A1(B1)A2A3B2B3A2(B2)A1A3B1B3二、探究新知例例 1如图，在如图，在ABC 中，中，EFBC(1)如果如果 E、F 分别是分别是 AB 和和 AC 上的点，上的点，AEBE7，FC4，那么，那么 AF 的长是多少？的长是多少？(2)如果如果 AB10，AE6，AF5，那么，那么 FC 的长是多的长是多 少？少？ABCEF二、探究新知解：解：(1)解得解得 AF4，AEAFBEFC774，AF二、探究新
8、知(2)解得解得 ACFCACAF，AEAFABAC6510，ACNoImage2510533 二、探究新知3相似三角形的引理相似三角形的引理 如图，在如图，在ABC 中，中，D 为为 AB 上任意一点上任意一点，过点过点 D 作作BC 的平行线的平行线 DE，交交 AC 于点于点 E问题问题 1ADE 与与ABC 的三个角分别相等吗的三个角分别相等吗？问题问题 2分别度量分别度量ADE 与与ABC 的边长的边长，它们的边它们的边长是否对应成比例长是否对应成比例？BCADE二、探究新知问题问题 3你认为你认为ADE 与与ABC 之间有什么关系？平之间有什么关系？平行移动行移动 DE 的位置，你
9、的结论还成立吗？的位置，你的结论还成立吗？通过度量，我们发现通过度量，我们发现ADEABC，且只要，且只要 DEBC，这个结论恒成立这个结论恒成立BCADE二、探究新知想 一 想：想 一 想：我 们 通 过 度 量 三 角 形 的 边 长，知 道我 们 通 过 度 量 三 角 形 的 边 长，知 道ADEABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？明什么？由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？BCADE二、探究新知由前面的结论可得由前面的结论可得 需要证明的是需要证明的是 而除而除 DE 外，其
10、他的线段都在外，其他的线段都在ABC 的边上，要想利用前面学到的结论来证明三角形相似，需要的边上，要想利用前面学到的结论来证明三角形相似，需要怎样做呢？怎样做呢？可以将可以将 DE 平移到平移到 BC 边上去边上去，ADAEABAC，ADAEDEABACBCBCADE二、探究新知用相似的定义证明用相似的定义证明ADEABC 证明：证明：在在 ADE 与与 ABC 中中AADEBC，ADEB，AEDC如图，过点如图，过点 D 作作 DFAC，交，交 BC 于点于点 FDEBC，DFAC，CABDEF二、探究新知四边形四边形 DFCE 为平行四边形，为平行四边形，DE=FC，ADEABC.，ADA
11、EADCFABACABCB，ADAEDEABACBC二、探究新知由此我们得到判定三角形相似的定理：由此我们得到判定三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似角形与原三角形相似二、探究新知三角形相似的两种常见类型：三角形相似的两种常见类型：“A”型型“X”型型 DEABCABCDE三、课堂小结推论：推论：平行于三角形一边的直线截其他两边平行于三角形一边的直线截其他两边(或或两边延长线两边延长线)，所得的对应线段成比例，所得的对应线段成比例相似三角形判定的引理：平行于三角形一边的相似三角形判定的引理：平行于三
12、角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似角形相似基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例的对应线段成比例平行线分线段成比例平行线分线段成比例四、课堂训练1如图，已知如图，已知 l1l2l3，下列比例式中错误的是，下列比例式中错误的是()A BC.D.ACEBDFl2l1l3ACBDCEDFCEDFAEBFACBDAEBFAEBDBFACD四、课堂训练2如图，如图，DEBC，则则 _；FGBC，则则 _ 25，AEACADAB252，AGCGAFAB23ABCEDFG四、课堂训练3已
13、知：如图，已知：如图，ABEFCD，图中共有，图中共有_ 对相对相似三角形似三角形CDABEFO3四、课堂训练4若若ABC 与与ABC 相似，一组对应边的长为相似，一组对应边的长为 AB3 cm，AB4 cm，那么那么ABC 与与ABC 的相似比是的相似比是_43四、课堂训练5如图如图，在在ABC 中中，DEBC，则则 _ _，对应边的比例式为对应边的比例式为 _ _ BCADEADABAEACDEBCADEABC四、课堂训练6已知已知ABCA1B1C1，相似比是，相似比是 1 4，A1B1C1A2B2C2，相似比是，相似比是 1 5，则，则ABC 与与A2B2C2 的相似比为的相似比为_1
14、20四、课堂训练7如图，在如图，在ABCD 中，中，EFAB，DE EA2 3，EF4，求求 CD 的长的长解：解：EFAB，DE EA2 3，DEF DAB 即即解得解得 AB10又又 四边形四边形 ABCD 为为，CDAB10DACBEF，DEEFADAB245，AB四、课堂训练8如图，已知菱形如图，已知菱形 ABCD 内接于内接于AEF，AE5 cm，AF4 cm，求菱形的边长，求菱形的边长解：解：四边形四边形 ABCD 为菱形，为菱形，CDAB，设菱形的边长为设菱形的边长为 x cm，则，则 CDADx cm，DF(4x)cm，解得解得 x 菱形的边长为菱形的边长为 cm.CDDFAE
15、AF454，xxNoImage209五、作业教科书第教科书第 42 页习题页习题 27.2 第第 4，5 题题 第二十七章相似相似三角形的判定相似三角形的判定 第二课时三边成比例的两个三角形相似第二课时三边成比例的两个三角形相似一、情景导入1什么是相似三角形什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪在前面的课程中，我们学过哪些判定三角形相似的方法些判定三角形相似的方法？2证明三角形全等有哪些方法证明三角形全等有哪些方法？3类似于判定三角形全等的类似于判定三角形全等的 SSS 方法方法，我们能不能通我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢过三边来判定两个三角形相似呢？ABCDE一、情景导入 画
16、画 ABC 和和 ABC，使，使 动手动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形是否相似？是否相似？，A BB CA CABBCAC ABCCBA二、探究新知通过测量不难发现通过测量不难发现AA，BB，CC，又 因 为 两 个 三 角 形 的 边 对 应 成 比 例，又 因 为 两 个 三 角 形 的 边 对 应 成 比 例，所 以 所 以 A B C ABC下面我们用前下面我们用前面所学得定理面所学得定理证明该结论证明该结论ABCCBA二、探究新知证明：证明：在线段在线段 AB(或延长线或延长线)上截取上截取 ADAB，过点过
17、点 D 作作 DEBC 交交 AC 于点于点 EDEBC，ADEABC 又又 ADAB，CBABCADEADDEAEABBCAC，A BB CA CABBCAC ，DEB CAEA CBCBCACAC 二、探究新知DEBC，EACAADE ABC，ABC ABC二、探究新知归纳归纳：由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：三边成由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似比例的两个三角形相似符号语言：符号语言：ABC ABC，A BBCCAABB CC A 二、探究新知例例 1判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由ABC33.
18、54DFE1.82.12.4二、探究新知解：解：在在ABC 中中，ABBCCA，在，在DEF 中，中，DE EFFDABC DEF2.40.6,4DEAB2.10.6,3.5EFBC1.80.6,3FDCADEEFFDABBCCA二、探究新知方法总结方法总结：判定三角形相似的方法之一判定三角形相似的方法之一：如果题中给出如果题中给出了两个三角形的三边的长了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值分别算出三条对应边的比值，看看是否相等是否相等注意注意：计算时最长边与最长边对应计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对最短边与最短边对应应二、探究新知例例 2如图，在如图，在 RtABC 与与
19、 RtABC 中，中，CC 90，且，且 求证：求证：ABCABC12 A BA CABAC 二、探究新知证明：证明：由已知条件得由已知条件得 AB2AB，AC2AC，BC2AB2AC2(2AB)2(2AC)24AB24AC24(AB2AC2)4BC2(2BC)2BC2BC，ABCABC(三边对应成比例的两个三角形三边对应成比例的两个三角形相似相似)1.2 B CA BA CABABAC 二、探究新知例例 3如图，在如图，在 ABC 和和 ADE 中，中，BAD20，求，求CAE 的度数的度数ABCDEABBCACADDEAE二、探究新知解：解：ABC ADEBACDAE，BACDACDAED
20、AC，即即BADCAEBAD20，CAE20，ABBCACADDEAE两角分别相等的两个三角形相似(1)计算 你有什么发现？同理C _，由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？两边成比例且夹角相等的两个三角形相似2 第 4，5 题BACDAE，BD，CE(1)AB3，BC4，AC6，又 ADAB，解：四边形 ABCD 为菱形，1 回忆我们学习过的判定三角形相似的方法 ABCADE AB BCBD ABAD AC，1什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪些判定三角形相似的方法？推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的对应线段成比例A1对 B2对A120，AB7
21、cm，AC14 cm，ABCADEAFEBFD(对顶角相等)DEBC，EACA证明：ABC 的高 AD，BE 交于点 F，6如图，DABCAE，且 ABADAEAC，求证 ABC AED二、探究新知例例 4如图，已知如图，已知 AB ADBC DEAC AE，找出，找出图中相等的角图中相等的角(对顶角除外对顶角除外)，并说明你的理由，并说明你的理由ABCDE二、探究新知解：解：在在 ABC 和和 ADE 中，中，AB CDBC DEAC AE，ABCADEBACDAE，BD，CEBACCAD DAECAD BADCAE故图中相等的角有故图中相等的角有BACDAE，BD，CE，BADCAE三、课
22、堂小结三边成比例的三边成比例的两个三角形相两个三角形相似似 利用三边判定两个三角形相似利用三边判定两个三角形相似相似三角形的判定定理的运用相似三角形的判定定理的运用 四、课堂训练1已知已知 ABC 和和 DEF，根据下列条件判断它们是否，根据下列条件判断它们是否相似相似(1)AB3，BC4，AC6，DE6，EF8，DF9；(2)AB4，BC8，AC10，DE20，EF16，DF8；(3)AB12，BC15，AC24，DE16，EF20，DF30 是是否否否否四、课堂训练2如图，在大小为如图，在大小为 44 的正方形网格中，是相似三角的正方形网格中，是相似三角形的是形的是()A 和和 B 和和
23、C 和和 D 和和 C四、课堂训练3如图如图，APD90，APPBBCCD，下列结下列结论正确的是论正确的是()APABPCA BPABPDA CABCDBA DABCDCA ACBPDC四、课堂训练解析解析：设：设APPBBCCD1，APD90，AB AC AD AB BCBD ABAD AC，ABCDBA，故选故选 C，2NoImage10.4如图，已知ABC 中，D 为边 AC 上一点，P 为边 AB 上一点，AB12，AC8，AD6，当 AP 的长度为 _ 时，ADP 和ABC 相似由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：教科书第 57 页复习题 27 第 1，2，3题又DABCA
24、E，第二十七章相似27.6如图，DABCAE，且 ABADAEAC，求证 ABC AEDPAC PDB AB BCBD ABAD AC，AED ABC思考：对于 ABC 和 ABC，如果 AB ABAC ACBB，这两个三角形一定会相似吗？ABDBDC，5如图，ABC 中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，求证：ABCEFD问题 3你认为ADE 与ABC 之间有什么关系？平行移动 DE 的位置，你的结论还成立吗？两角分别相等的两个三角形相似例 3如图，在 ABC 和 ADE 中，用刻度尺和量角器画 ABC 和 ABC，使AA，量出 BC 及 BC 的长，它们的比值等于 k 吗？
25、再量一量两个三角形另外的两个角，你有什么发现？ABC 与 ABC 有何关系？相似三角形的判定定理的运用AA，想一想：我们通过度量三角形的边长，知道ADEABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？AB4 cm，BC6 cm，AC8 cm，AB12 cm，BC18 cm，AC21 cm四、课堂训练4根据下列条件根据下列条件，判断判断ABC 与与ABC 是否相似是否相似：AB4 cm，BC6 cm，AC8 cm，AB12 cm，BC18 cm，AC21 cm答案答案：不相似不相似四、课堂训练5如图如图，ABC 中中，点点 D，E，F 分别是分别是 AB，BC，CA 的中点的中点，求证求证：
26、ABCEFD四、课堂训练证明：证明：ABC 中，点中，点 D，E，F 分别是分别是 AB，BC，CA的中点，的中点，ABCEFD12，DEAC12，DFBC12，EFAB12，DEDFEFACBCAB四、课堂训练6如图，某地四个乡镇如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路，之间建有公路，已知已知 AB14 千米，千米，AD28 千米，千米，BD21 千米，千米，DC31.5 千米，公路千米，公路 AB 与与 CD 平行吗？说出你的理由平行吗？说出你的理由ACBD2814214231.5四、课堂训练解：解：公路公路 AB 与与 CD 平行平行ABDBDC，ABDBDC，ABDC23，AB
27、ADBDBDBCDC五、作业教科书第教科书第 34 页练习第页练习第 2，3 题题教科书第教科书第 42 页习题页习题 27.2 第第 1，2 题题第二十七章相似27.2.1相似三角形的判定相似三角形的判定 第三课时两边成比例且夹角相等的第三课时两边成比例且夹角相等的两个三角形相似两个三角形相似一、情景导入1回忆我们学习过的判定三角形相似的方法回忆我们学习过的判定三角形相似的方法类比证类比证明三角形全等的方法明三角形全等的方法，猜想证明三角形相似还有哪些方法猜想证明三角形相似还有哪些方法？2类似于判定三角形全等的类似于判定三角形全等的 SAS 方法方法，能不能通过两能不能通过两边和夹角来判定两
28、个三角形相似呢？边和夹角来判定两个三角形相似呢？二、探究新知用刻度尺和量角器画用刻度尺和量角器画 ABC 和和 ABC，使使AA，量出量出 BC 及及 BC 的长的长，它们的比值等于它们的比值等于 k 吗吗？再量一量两个再量一量两个三角形另外的两个角三角形另外的两个角，你有什么发现你有什么发现？ABC 与与 ABC 有何关系有何关系？改变改变 k 和和A 的值的大小，是否有同样的结论的值的大小，是否有同样的结论？二、探究新知如图如图，在在 ABC 与与 ABC 中中，已知已知 AA，求求证证：ABCABC证明：证明：在在 ABC 的边的边 AB 上上截取点截取点 D，使，使 ADAB过点过点
29、D 作作 DEBC，交，交 AC 于点于点 EDEBC，ADEABCBACDEBAC.A DA EA BA C 二、探究新知ADAB，AEAC 又又AAADE ABC，ABC ABC，ABACA BA C ，A DA EACA BA CA C 二、探究新知归纳归纳：由此得到利用由此得到利用两边和夹角来判定两边和夹角来判定三角形相似的定理三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似两边成比例且夹角相等的两个三角形相似符号语言符号语言：AA，ABC ABC，ABACA BA C BACBAC二、探究新知思考思考：对于对于 ABC 和和 ABC，如果如果 AB ABAC ACBB，这两个三
30、角形一定会相似吗？这两个三角形一定会相似吗？不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等全等 A B C A B B C二、探究新知结论结论：如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角角一定要是两条对应边的夹角二、探究新知例例 1根据下列条件根据下列条件，判断判断ABC 和和ABC 是否相似是否相似，并说明理由：并说明理由：A120，AB7 cm，AC14 cm，A12
31、0，AB3 cm，AC6 cm解：解：又又AA，ABC ABC73，ABA B 14763，ACA C .ABACA BA C 二、探究新知例例 2如图，如图，ABC 与与ADE 都是等腰三角形，都是等腰三角形，ADAE，ABAC，DABCAE求证：求证：ABC ADE证明证明：ABC 与与 ADE 是等腰三角形，是等腰三角形，ADAE，ABAC，又又DABCAE，DAB+BAECAE+BAE，即即DAEBAC，ABC ADE.ADAEABACABCDE二、探究新知例例 3如图，如图，D，E 分别是分别是ABC 的边的边 AC，AB 上的点，上的点，AE，AC2，BC3，且，且 求求 DE 的
32、长的长ACBED3,4ADAB二、探究新知解：解：AE，AC2，又又EADCAB，ADE ABC，34 AEADACAB3944 DEBC34，DEADBCAB二、探究新知例例 4如图，如图，在在ABC 中中，CD 是边是边 AB 上的高，且上的高，且 求证求证 ACB90ABCD，ADCDCDBD二、探究新知证明：证明：CD 是边是边 AB 上的高，上的高，ADCCDB90ADC CDBACDB，ACBACDBCDBBCD90方法总结：方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等形的高等,ADCDCDBD三、课堂小结两边成比例且夹两边成比例且
33、夹角相等的两个三角相等的两个三角形相似角形相似利用两边及夹角判定三角形相似利用两边及夹角判定三角形相似相似三角形的判定定理的运用相似三角形的判定定理的运用 四、课堂训练1判断判断(1)两个等边三角形相似两个等边三角形相似 ()(2)两个直角三角形相似两个直角三角形相似 ()(3)两个等腰直角三角形相似两个等腰直角三角形相似 ()(4)有一个角是有一个角是 50的两个等腰三角形相似的两个等腰三角形相似 ()四、课堂训练2如图，如图，D 是是ABC 一边一边 BC 上一点上一点，连接连接 AD，使使 ABC DBA 的条件是的条件是()AAC BCAD BD BAC BCAB ADCAB2CD B
34、CDAB2BD BCABCDD四、课堂训练3如图如图AEB 和和FEC_(填填“相似相似”或或“不相不相似似”)54303645EAFCB相似相似四、课堂训练4如图，已知如图，已知ABC 中，中，D 为边为边 AC 上一点，上一点，P 为边为边 AB 上一点，上一点，AB12，AC8，AD6，当，当 AP 的长度为的长度为 _ 时，时，ADP 和和ABC 相似相似ABCD4 或或 9 四、课堂训练解：解：当当ADP ACB 时，时，AP ABAD AC，AP 126 8.解得解得 AP9；当当ADP ABC 时，时，AD ABAP AC，6 12AP 8，解得解得 AP4当当 AP 的长度为的
35、长度为 4 或或 9 时，时，ADP 和和ABC 相似相似ABCDPP四、课堂训练5如图，在四边形如图，在四边形 ABCD 中，中，已知已知 BACD，AB6，BC4，AC5，CD ，求，求 AD 的长的长ABCD172四、课堂训练解：解：AB6，BC4，AC5，CD ，又又BACD，ABC DCA，1724.5ABBCCDAC45 ACBCADAC25.4AD四、课堂训练6如图如图，DABCAE，且且 ABADAEAC，求证求证 ABC AED 证明证明：AB ADAE AC，又又DABCAE，DABBAECAEBAE，即即DAEBAC，ABC AED ABCDE.ABACAEAD五、作业教
36、科书第教科书第 42 页习题页习题 27.2 第第 3 题题第二十七章相似27.2.1相似三角形的判定相似三角形的判定 第四课时第四课时两角分别相等的两个三角形相似两角分别相等的两个三角形相似 一、情景导入学校举办活动学校举办活动，需要三个内角分别为需要三个内角分别为 90，60，30的形状相同，大小不同的三角纸板若干的形状相同，大小不同的三角纸板若干小明手上的测量工小明手上的测量工具只有一个量角器具只有一个量角器，他该怎么做呢他该怎么做呢？二、探究新知与同伴合作，一人画与同伴合作，一人画ABC，另一人画，另一人画ABC，使，使AA，BB，探究下列问题：，探究下列问题：问题一问题一度量度量 A
37、B，BC，AC，AB，BC，AC 的长的长，并计算出它们的比值并计算出它们的比值你有什么发现你有什么发现？CABABC二、探究新知问题二问题二试证明试证明ABCABC证明：证明：在在ABC 的边的边 AB(或或 AB 的延长线的延长线)上，截取上，截取 ADAB，过点，过点 D 作作 DEBC，交，交 AC 于点于点 E，则有，则有ADE ABC，ADEBBB，ADEB又又 ADAB，AA，ADE ABCABC ABCCAABBCDE二、探究新知归纳归纳：由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似两角分别相等的两个三角形
38、相似符号语言：符号语言：AA，BB，ABCABCCABABC二、探究新知例例 1如图，如图，ABC 和和DEF 中，中，A40，B80，E80，F60求证：求证：ABC DEF证明：证明：在在 ABC 中，中，A40，B80，C180AB60在在 DEF 中，中，E80，F60BE，CFABC DEFACBFED二、探究新知例例 2如图，弦如图，弦 AB 和和 CD 相交于相交于 O 内一点内一点 P，求证：，求证：PAPBPCPD证明：证明：连接连接 AC，DBA 和和 D 都是弧都是弧 CB 所对的圆周角，所对的圆周角，A _同理同理C _，PAC PDB_ 即即 PAPBPCPDDBPA
39、PCPDPBODCBAP三、课堂小结 两角分别相等的两两角分别相等的两个三角形相似个三角形相似利用两角判定三角形相似利用两角判定三角形相似相似三角形的判定定理的运用相似三角形的判定定理的运用 四、课堂训练1如图如图，在在ABC 和和ABC中中，若若A60，B40，A60，当当C_时时，ABC ABC80CABBCA四、课堂训练2如图，如图，ABC 中，中，AE 交交 BC 于点于点 D，CE，AD DE3 5，AE8，BD4，则，则 DC 的长等于的长等于()A BC D154125203174ACABDE四、课堂训练3如图，点如图，点 D 在在 AB 上，当上，当_ _(或或_ _)时，时，
40、ACDABCACD B ACBADBABDC四、课堂训练4如图，如图，O 的弦的弦 AB，CD 相交于点相交于点 P，若，若 PA3，PB8，PC4，则，则 PD_ 6ODCBAP四、课堂训练5如图如图，ABC 中中，DEBC，EFAB，求证求证：ADEEFC证明：证明：DEBC，EFAB，AEDC，AFECADEEFCAEFBCD五、作业教科书第教科书第 36 页练习第页练习第 1 题题教科书第教科书第 57 页复习题页复习题 27 第第 1，2，3题题第二十七章形似27.2.1相似三角形的判定相似三角形的判定 第五课时第五课时直角三角形相似的判定直角三角形相似的判定一、情景导入1 回忆我们
41、学习过的判定三角形相似的方法回忆我们学习过的判定三角形相似的方法2类似于判定三角形全等的方法类似于判定三角形全等的方法，能不能通过直角边能不能通过直角边与斜边来判定两个三角形相似呢与斜边来判定两个三角形相似呢？1如图，已知 l1l2l3，下列比例式中错误的是()(3)AB10，AC8，AB25，BC15：_ BACDAE ABCADE又 ADAB，ABC DCA，想一想：我们通过度量三角形的边长，知道ADEABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？A 和 D 都是弧 CB 所对的圆周角，B要使这两个直角三角形相似，有两种情况：CAE20如图，在 ABC 与 ABC 中，已知 AA，求
42、证：ABCABCABDBDC，证明：ABC 与 ADE 是等腰三角形，APD90，直线 n 向左平移到 B1 与A1 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？6如图，DABCAE，且 ABADAEAC，求证 ABC AED2 第 4，5 题2如图，在大小为 44 的正方形网格中，是相似三角形的是()ABCADE解：四边形 ABCD 为菱形，A B二、探究新知利用两组角判定两个三角形相似的定理：利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似两角分别相等的两个三角形相似符号语言：符号语言：AA，BB，ABC ABCCABABC二、探究新知归纳归纳：由此得到一个判定直角三角形相似的方
43、法由此得到一个判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似有一个锐角相等的两个直角三角形相似二、探究新知思考：思考：对于两个直角三角形，我们还可以用对于两个直角三角形，我们还可以用“HL”判定判定它们全等它们全等那么，满足那么，满足斜边和一直角边成比例的斜边和一直角边成比例的两个直角三两个直角三角形相似吗？角形相似吗？二、探究新知证明：证明：设设_k，则，则 ABkAB，ACkAB由由_，得，得 Rt ABC Rt ABC2222,.BCABACB CA BA C 222222BCABACk A Bk A CB CB CB C .kB CkB C .BCABACB CA BA
44、C CAABBCABACA BA C 勾股定理勾股定理二、探究新知归纳归纳：由此得到另一个由此得到另一个判定直角判定直角三角形三角形相似相似的方法的方法：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似二、探究新知例例 1如图如图，在在 RtABC 中中，C90，AB10，AC8E 是是 AC 上一点上一点，AE5，EDAB，垂足为垂足为 D.求求AD 的长的长解：解：EDAB，EDA90又又C90，AA，DABCE二、探究新知AED ABC.ADAEACAB8 54.10AC AEADAB 二、探究新知例例 2如图如图，已知已知：ACBADC90，AD2，CD
45、，当当 AB 的长为的长为_时时，ACB 与与 ADC相似相似2CABD或或33 2二、探究新知解析：解析：ADC90，AD2，CD ，要使这两个直角三角形相似，有两种情况：要使这两个直角三角形相似，有两种情况：(1)当当 RtABC RtACD 时，有时，有 AC:ADAB AC，即即 2AB ，解得，解得 AB3；(2)当当 RtACB RtCDA 时，有时，有 AC:CDAB AC，即即 AB ，解得，解得 AB 当当 AB 的长为的长为 3 或或 时，这两个直角三角形相时，这两个直角三角形相似似266()2222226.ACADCD6263 2.3 2三、课堂小结 两角分别相等的两两角
46、分别相等的两个三角形相似个三角形相似相似三角形的判定定理的运用相似三角形的判定定理的运用 直角三角形相似的判定直角三角形相似的判定四、课堂训练 1在在 RtABC 和和 RtABC 中，中，CC90，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似(1)A35，B55：_；(2)AC3，BC4，AC6，BC8：_；(3)AB10，AC8，AB25，BC15：_ 相似相似相似相似相似相似四、课堂训练2如图，已知如图，已知 ABDE，AFCE，则图中相似三，则图中相似三角形共有角形共有()A1对对 B2对对C3对对 D4对对C四、课堂训练3如图如图，在在 RtABC
47、 中，中，ABC90，BDAC于于D若若 AB6，AD2，则，则 AC_，BD_，BC_ DBCA184 212 2四、课堂训练4如图，如图，ABC 的高的高 AD，BE 交于点交于点 F求证：求证：DCABEF.AFEFBFFD四、课堂训练证明：证明：ABC 的高的高 AD，BE 交于点交于点 F，FEAFDB90，AFEBFD(对顶角相等对顶角相等)FEA FDB，.AFEFBFFD四、课堂训练5如图，如图，123，求证：，求证：ABC ADE证明：证明：BAC1DAC，DAE3DAC，13，BACDAE C1802DOC，E1803AOE，DOC AOE(对顶角相等对顶角相等)，CE ABCADEABCDE132O四、课堂训练6如图，如图，BE 是是 ABC 的外接圆的外接圆 O 的直径，的直径，CD 是是ABC 的高，的高，求证：求证：ACBCBECD证明：证明：连接连接 CE，则，则AE又又BE 是是 ABC 的外接圆的外接圆 O 的直径，的直径，BCE90ADCAE，BCEADC，ACDEBC ACBCBECDODCBAE，ACCDBEBC五、作业教科书第教科书第 36 页练习第页练习第 2，3 题题
