1、一、高考要求一、高考要求 1.能利用三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象能利用三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象等等,求三角函数的最大值和最小值求三角函数的最大值和最小值.2.能利用换元法求某些三角函数在给定区间上的最大值和能利用换元法求某些三角函数在给定区间上的最大值和最小值最小值.3.会把实际问题化归成三角函数的最大值和最小值问题来会把实际问题化归成三角函数的最大值和最小值问题来解决解决.最值问题是三角中考试频率最高的重点内容之一最值问题是三角中考试频率最高的重点内容之一,需要综需要综合运用三角函数概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角合运用三角函数概念、图象、性质以及诱导公
2、式、同角三角函数基本关系式、三角变换等函数基本关系式、三角变换等,也是函数内容的交汇点也是函数内容的交汇点,常常见方法有见方法有:1.涉及正、余弦函数以及涉及正、余弦函数以及 asin+bcos,可考虑利用三角函可考虑利用三角函数数的有界性的有界性.二、重点解析二、重点解析三、知识要点三、知识要点 2.形如形如 y=asin2x+bsinx+c 或或 y=acos2x+bsinx+c 的函数可通的函数可通过适当变换、配方求解过适当变换、配方求解.3.形如形如 sinx+cosx,sinxcosx 在关系式中时在关系式中时,可考虑换元法可考虑换元法处理处理.常见的三角换元常见的三角换元 1.若若
3、 x2+y2=1,可设可设 x=cos,y=sin;2.若若 ax2+y2b,可设可设 x=rcos,y=rsin,ar2b;3.对于对于 1-x2,由于由于|x|1,可设可设 x=cos(0 )或或 x=sin (-);2 2 4.对于对于 1+x2,可设可设 x=tan(-)或或 x=cot(0 );2 2 5.对于对于 x2-1,可设可设 x=sec(0 或或 )或或 x=csc (-0 或或 00,只需考察只需考察 y2 的最值的最值.=.2716y2=4cos2 cos2 sin2 2x 2x 2x 2()3 2sin2 +cos2 +cos2 32x 2x 2x 仅当仅当 2sin
4、2 =cos2 ,即即 tan =(0 x)时取等号时取等号.2x 2x 2x 22y 无最小值无最小值.当当 x=2arctan 时时,y2 取最大值取最大值 .2227164 39当当 x=2arctan 时时,y 取最大值取最大值 ;222x 2.求函数求函数 y=(1+cosx)sin (0 x0,-2a(-)+2a+b=1,12-2a1+2a+b=-5,a0,-2a(-)+2a+b=-5,12-2a1+2a+b=1.或或解得解得:a=2,b=-5 或或 a=-2,b=1.6.求求 y=的最值及对应的的最值及对应的 x 的集合的集合.(1+sinx)(3+sinx)2+sinx 解解:
5、y=2+sinx sin2x+4sinx+3 2+sinx(2+sinx)2-1=2+sinx-.2+sinx 1令令 2+sinx=t,则则 y=f(t)=t-(1t3).t 1对于任意的对于任意的 t1,t2 1,3,且且 t1t2 有有 f(t1)-f(t2)=(t1-)-(t2-)t11t21t1t2 1+t1t2 =(t1-t2)()0.即即 f(t1)-f(t2)0 f(t1)f(t2).f(t)在在 1,3 上是增函数上是增函数.当当 t=1 时时,ymin=f(t)min=0,此时此时,sinx=-1,x 的集合为的集合为:x|x=2k-,k Z;2 x|x=2k+,k Z.2
6、 当当 t=3 时时,ymax=f(t)max=,此时此时,sinx=1,x 的集合为的集合为:83 7.函数函数 y=sin2x+acosx+a-(0 x )的最大值为的最大值为 1,求求 a的值的值.2 5832解解:由已知由已知 y=-cos2x+acosx+a-5812=-(cosx-)2+a-.4a2 a25812 令令 t=cosx,则则 y=-(t-)2+a-(0t1).4a2 a25812讨论如下讨论如下:若若 0 1,则则 t=时时,由题设由题设 ymax=+a-=1.a2a24a2 5812解得解得 a=-4(舍去舍去)或或 a=.32解得解得 a=(舍去舍去).512若若
7、 1,则则 t=1 时时,由题设由题设 ymax=a-=1.32a2813解得解得 a=(舍去舍去).1320综上所述综上所述 a=.328.若方程若方程 4sin2x-cos4x-a=0 恒有实数解恒有实数解,求求 a 的取值范围的取值范围.解法解法 1 从方程有解的角度考虑从方程有解的角度考虑.原方程即为原方程即为:2cos22x+2cos2x-3+a=0.令令 t=cos2x,则则|t|1,且且 2t2+2t-3+a=0 恒有解恒有解.解得解得:-1a .72解法解法 2 从二次函数图象及性质考虑从二次函数图象及性质考虑.问题转化为问题转化为:“a 为何值时为何值时,f(t)=2t2+2
8、t+a-3 的图象与横轴至少有一个交的图象与横轴至少有一个交点的横坐标在点的横坐标在-1,1 内内.”f(t)图象的对称轴为直线图象的对称轴为直线 t=-,12=4(7-2a)0,-2+4(7-2a)4|1,=4(7-2a)0,-2-4(7-2a)4|1,或或解得解得:-1a .720,f(-1)0,f(-1)0.f(1)0,或或 8.若方程若方程 4sin2x-cos4x-a=0 恒有实数解恒有实数解,求求 a 的取值范围的取值范围.解法解法 3 正难则反正难则反,从反面考虑从反面考虑.f(t)图象的对称轴为直线图象的对称轴为直线 t=-,12若方程若方程 f(t)=2t2+2t+a-3=0
9、 的两根均在的两根均在-1,1 之外之外,则则72当当=4(7-2a)0,即即 a 时时,f(1)0.解得解得:a0 时时,bsinx+acosx=-3sinx+4cosx=5sin(x+)2.函数函数 y=acosx+b(a,b为常数为常数),若若-7y1,求求 bsinx+acosx 的最大值的最大值.解得解得 a=4,b=-3,此时此时,a+b=1,-a+b=-7,(tan=-).43当当 a0 时时,bsinx+acosx=-3sinx-4cosx=5sin(x+)解得解得 a=-4,b=-3,此时此时,a+b=-7,-a+b=1,(tan=).43当当 a=0 时时,不合题意不合题意
10、.综上所述综上所述,bsinx+acosx 的最大值为的最大值为 5.解解:y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2-a+1.令令 sinx=t,则则 y=-(t+a)2+a2-a+1(-1t1).若若-a1,则当则当 t=-1 时时,y 有最大值有最大值 3.求函数求函数 y=cos2x-2asinx-a(a 为定值为定值)的最大值的最大值 M.M=-(-1+a)2+a2-a+1=a;若若-1-a1,即即-1a1,则当则当 t=-a 时时,y 有最大值有最大值 M=-(-a+a)2+a2-a+1=a2-a+1;若若-a1,即即 a-1,则当则当 t=1 时时,y 有最
11、大值有最大值 M=-(1+a)2+a2-a+1=-3a.综上所述综上所述,M=a2-a+1,-1a1,-3a,a1.4.当当 a0 时时,求函数求函数 f(x)=(sinx+a)(cosx+a)的最大值、最小值的最大值、最小值以及相应的以及相应的 x 的取值的取值.解解:f(x)=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2 f(x)=g(t)=(t2-1)+at+a2 12=(t+a)2+a2-1.12a 为常数为常数,只需求只需求 y=(t+a)2 的最值的最值.t-2,2,且且 a0,当当 t=2,即即 x=2k+(k Z)时时,f(x)取最大值取最大值 a2+2 a+.4 12若若
12、 0a 2,则则-2-a0,当当 t=-a 即即 x=2k arccos(-a)+(k Z)时时,f(x)取最小值取最小值 (a2-1);224 12若若 a 2,则当则当 t=-2,即即 x=2k+(k Z)时时,45 12 f(x)取最小值取最小值 a2-2 a+.令令 t=sinx+cosx,则则 t=2 cos(x-)且且 t-2,2,4 5.设设 0,且且 cos2+2msin-2m-20 恒成立恒成立,求求 m 的取的取值范围值范围.2 解法解法 1 由已知由已知 0sin 1 且且 1-sin2+2msin-2m-20 恒成立恒成立.令令 t=sin,则则 0t1 且且 1-t2
13、+2mt-2m-20 对对 t 0,1 恒成立恒成立.故可讨论如下故可讨论如下:(1)若若 m0.即即 2m+10.解得解得 m-,12(2)若若 0m1,则则 f(m)0.即即-m2+2m+10.亦即亦即 m2-2m-10.解得解得:1-2m1+2,0m1;-m1,则则 f(1)0.即即 0 m+20.m R,m1.综上所述综上所述 m-.12 即即 m 的取值范围是的取值范围是(-,+).12解法解法 2 题中不等式即为题中不等式即为 2(1-sin)m-1-sin2.0,2 0sin 1.当当 sin=1 时时,不等式显然恒成立不等式显然恒成立,此时此时 m R;当当 0sin-恒成立恒
14、成立.1+sin2 2(1-sin)令令 t=1-sin,则则 t(0,1,且且 2t 1+(1-t)2 1t 2t m-=1-(+)恒成立恒成立.易证易证 g(t)=1-(+)在在(0,1 上单调递增上单调递增,有最大值有最大值-,1t 2t 12m-.12即即 m 的取值范围是的取值范围是(-,+).12 5.设设 0,且且 cos2+2msin-2m-20 恒成立恒成立,求求 m 的取的取值范围值范围.2 6.设设 0 ,P=sin2+sin-cos.(1)若若 t=sin-cos,用含用含 t 的式子表示的式子表示 P;(2)确定确定 P 的取值范围的取值范围,并求出并求出 P 的最大
15、值和最的最大值和最小值小值.解解:(1)t=sin-cos,t2=1-2sin cos=1-sin2.sin2=1-t2.P=1-t2+t.(2)t=sin-cos=2 sin(-).4 0 ,-,4 4 43 即即 P=-t2+t+1.-sin(-)1.224 -1t 2.P=-t2+t+1 的图象是开口向下的抛物线的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为其对称轴为 12直线直线 t=,12当当 t=时时,P 取最大值取最大值 ;54当当 t=-1 时时,P 取最小值取最小值-1.54从而从而 P 的取值范围是的取值范围是-1,.7.已知已知 f(x)=2cos2x+3 sin2x+a(a R)
16、,(1)若若 x R,求求 f(x)的的单调增区间单调增区间;(2)若若 x 0,时时,f(x)的最大值为的最大值为 4,求求 a 的值的值;(3)在在(2)的条件下的条件下,求满足求满足 f(x)=1 且且 x-,的的 x 的集合的集合.2 解解:(1)f(x)=1+cos2x+3 sin2x+a=2sin(2x+)+a+1.6 由由 2k-2x+2k+得得:6 2 2 k-xk+.3 6 f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为 k-,k+(k Z);6 3 6 (2)由由 2x+=得得 x=2 6 0,2 故当故当 x=时时,f(x)取最大值取最大值 3+a.6 由题设由题设 3+a=4
17、,a=1.(3)在在(2)的条件下的条件下,f(x)=2sin(2x+)+2.6 2 1f(x)=1,sin(2x+)=-.6 又由题设又由题设 2x+-,6 6116132x+=-或或-或或 或或 .6 6 65 67 611x=-,-,.2 6 2 65 6 2 65 故所求集合为故所求集合为 -,-,.2 8.设设 f(x)=cos2x+asinx-(0 x ).(1)用用 a 表示表示 f(x)的最的最大值大值 M(a);(2)当当 M(a)=2时时,求求 a 的值的值.4a122 解解:(1)f(x)=-sin2x+asinx-+.4a12令令 t=sinx,则则 0t1,故有故有:
18、f(x)=g(t)=-t2+at-+=-(t-)2+-+(0t1).4a122a4a2 4a12要求要求 f(x)的最大值的最大值 M(a),可分情况讨论如下可分情况讨论如下:g(t)在在 0,1 上先增后减上先增后减.g(t)在在 0,1 上为减函数上为减函数.当当 0,即即 a1,即即 a2 时时,2aM(a)=g()=-+;2a4a2 4a12g(t)在在 0,1 上为增函数上为增函数.M(a)=g(1)=a-.1234-,a2.1234若若 -+=2,即即 a2-a-6=0,4a2 4a12(2)由由(1)知知,若若 -=2,则则 a=-6;4a12解得解得 a=3 或或-2.均不合题
19、意均不合题意,舍去舍去;1234若若 a-=2,则则 a=.310综上所述综上所述,a 的值为的值为-6 或或 .310 85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是
20、一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工
21、作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。
22、马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界
23、上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解
24、决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精
25、神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素
26、乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金
