1、12机械工业出版社第第2章章 信号与信号与LTI连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析2.1 引言引言2.2 LTI连续时间系统的数学模型连续时间系统的数学模型2.3 系统的单位冲激响应系统的单位冲激响应2.4 卷积卷积*2.5 零输入响应零输入响应3机械工业出版社1、什么是时域分析？、什么是时域分析？系统的数学模型、系统激励与响应都表系统的数学模型、系统激励与响应都表示为时间的函数，求解系统响应或者分析系示为时间的函数，求解系统响应或者分析系统特性完全在时间域里进行。统特性完全在时间域里进行。2、时域分析方法、时域分析方法 常见两种时域分析方法：微分分析法与卷常见两种时域分析方法：微分
2、分析法与卷积法。积法。2.1 引言引言4机械工业出版社分析步骤：分析步骤：（1）微分分析法）微分分析法 经典时域分析法经典时域分析法已知已知系统系统激励激励列输出列输出/输入微输入微分方程分方程求微分求微分方程的方程的齐次解齐次解确定全确定全响应的响应的系数系数+全响应全响应确定边确定边界条件界条件求微分求微分方程的方程的特解特解优点：直观、物理概念清楚。优点：直观、物理概念清楚。不足：能够分析的实际问题有限。不足：能够分析的实际问题有限。5机械工业出版社 卷积法建立在卷积法建立在LTI系统全响应能够分解为系统全响应能够分解为零输入响应和零状态响应之和的认识之上，零输入响应和零状态响应之和的认
3、识之上，以及把冲激函数引入线性系统的理论研究之以及把冲激函数引入线性系统的理论研究之中。中。分析零状态响应的步骤：分析零状态响应的步骤：（2）卷积法卷积法 现代时域分析法现代时域分析法已知已知系统系统激励激励列写列写系统系统微分微分方程方程解微分解微分方程求方程求单位冲单位冲激响应激响应激励与激励与冲激响冲激响应卷积应卷积运算运算零状态零状态响应响应6机械工业出版社3、本章学习内容的编排、本章学习内容的编排 学习怎样用时域卷积法求零状态响应。内容包学习怎样用时域卷积法求零状态响应。内容包括：括：（1）利用算子符号建立单输入）利用算子符号建立单输入/单输出系统微分方单输出系统微分方 程。程。（2
4、）什么是单位冲激响应？如何解系统微分方程，）什么是单位冲激响应？如何解系统微分方程，求单位冲激响应？求单位冲激响应？（3）卷积的定义、计算、性质及应用。）卷积的定义、计算、性质及应用。7机械工业出版社2.2.1 算子符号与传输算子算子符号与传输算子一、算子符号一、算子符号 为了在建立系统数学模型的过程中书写和整为了在建立系统数学模型的过程中书写和整理方程便捷，引入算子符号替代微分和积分运算理方程便捷，引入算子符号替代微分和积分运算符号。符号。1、微分算子符号、微分算子符号2.2 LTI连续时间系统的数学模型连续时间系统的数学模型 dtdp p 与变量结合与变量结合()()dx tpx tdt(
5、)()nnnd x tp x tdt 8机械工业出版社1()tdp 1()()tx txdp 2、积分算子符号、积分算子符号 1/p 与变量结合与变量结合例例 在关联参考方向下，电感元件的端口伏安在关联参考方向下，电感元件的端口伏安 关系为关系为 LLdd()()i tv tLtLLd1()()ti tvL 以及以及 用算子符号表示为用算子符号表示为 LL()()vtLpit LL1()()itvtLp 以及以及 9机械工业出版社例例 微分方程微分方程 可表示为可表示为p2r(t)+5pr(t)+6 r(t)=pe(t)或者或者 (p 2+5p+6)r(t)=pe(t)(p2+5p+6)和和
6、p 被称为算子多项式。算子多项式被称为算子多项式。算子多项式在形式上与代数式相同，但本质上不是代数式，仅在形式上与代数式相同，但本质上不是代数式，仅仅是一种运算符号。仅是一种运算符号。dddddd22()()()56()r tr te tr tttt 10机械工业出版社二、算子符号的运算规则二、算子符号的运算规则1、算子多项式可进行乘、除运算、算子多项式可进行乘、除运算 比如比如两边同除两边同除(p2+7p+12)，得，得2(712)()(27)()ppr tpe t 227()()712pr te tpp 227()712pH ppp 令令 为系统传输算子。为系统传输算子。()()()r t
7、H p e t 描述单输入描述单输入/输出的系统微分方程简洁地表示为输出的系统微分方程简洁地表示为H(p)r(t)e(t)11机械工业出版社2、算子多项式可因式分解、算子多项式可因式分解 对二阶微分方程对二阶微分方程(p2+7p+12)r(t)=(2p+7)e(t)进行因式分解、除运算，并展开为进行因式分解、除运算，并展开为122711()()()()(3)(4)3411()()()()34pr te te tppppe te tr tr tpp 其中其中121()()31()()4r te tpr te tp 12机械工业出版社说明一个高阶系统可以由若干低阶系统并联构成。说明一个高阶系统可以
8、由若干低阶系统并联构成。r(t)e(t)227()712pH ppp+r(t)=r1(t)+r2(t)e(t)r1(t)r2(t)11()3H pp21()4H pp把二阶微分方程拆分为把二阶微分方程拆分为两个一阶微分方程，分别是两个一阶微分方程，分别是 11()3()()rtr te t 22()4()()rtr te t 13机械工业出版社2.2.2 用算子符号建立系统微分方程用算子符号建立系统微分方程 1、建立系统微分方程的步骤、建立系统微分方程的步骤 第一步，由已知时域电路模型找出算子电路模型。第一步，由已知时域电路模型找出算子电路模型。遵循的原则：遵循的原则：电感元件用算子符号电感元
9、件用算子符号Lp或或1/Lp表示，表示，电容元件则电容元件则用算子符号用算子符号1/1/Cp或或Cp表示；表示；Lp及及1/1/Cp相当于阻抗，相当于阻抗，1/Lp与与Cp相当于导纳。其他元件、电路结构、电量相当于导纳。其他元件、电路结构、电量的参考方向都保持不变。的参考方向都保持不变。第二步，根据算子电路模型，运用电路定律、定第二步，根据算子电路模型，运用电路定律、定理和各种分析方法，建立用算子符号表示的微积分理和各种分析方法，建立用算子符号表示的微积分方程或方程组。方程或方程组。14机械工业出版社 第三步，运用算子多项式的运算规则，化简和整第三步，运用算子多项式的运算规则，化简和整理方程，
10、得到输入理方程，得到输入/输出微分方程，或系统传输算子。输出微分方程，或系统传输算子。2、举例、举例例 时域电路模型如图所示。输入为电压源时域电路模型如图所示。输入为电压源vS(t)，输，输出为电流出为电流i(t)。请写出：。请写出：（1）系统传输算子）系统传输算子H(p)。（2）系统微分方程。）系统微分方程。1H111F1i(t)+vs(t)15机械工业出版社p1/pv1v2111i(t)+vs(t)12(2)sp vvv 21(2 1/)/sp vvvp 2121spivpp 把把v2(t)=i(t)代入以上两式，代入以上两式，解得：解得：（1）系统传输算子为系统传输算子为21()21pH
11、 ppp 2(21)()(1)()sppi tpv t （2）系统微分方程为系统微分方程为解：第一步，画算子电路。第一步，画算子电路。第二步，第二步，列写微分方程。列写微分方程。选择节点法。选择节点法。设参考节点和设参考节点和节点电压，如图所示。节点电压，如图所示。16机械工业出版社v0(t)a)iS(t)1H2H+-i0(t)2 2 v0(t)b)iS(t)p2p+-i0(t)222+pc)2iS(t)+-+-v0(t)21pp 例 电路如图电路如图a所示，激励为电流源所示，激励为电流源iS(t)。（1）若响应为电压）若响应为电压vo(t)，求输入，求输入/输出微分方程。输出微分方程。（2）
12、若响应为电流）若响应为电流io(t)，求输入，求输入/输出微分方程。输出微分方程。解：选择等效变换法。简选择等效变换法。简化算子电路。化算子电路。17机械工业出版社2+pc)2iS(t)+-+-v0(t)21pp（1）运用分压公式，图）运用分压公式，图c中输出电压为中输出电压为oSSS221()2()221242()()(1)(2)252ppv ti tpppppi ti tppppp 描述描述vo(t)与与iS(t)关系的微分方程为关系的微分方程为 (p2+5p+2)vo(t)=4p iS(t)（2）根据图）根据图b，把，把vo(t)=2pio(t)代入上式，得代入上式，得io(t)与与iS
13、(t)关系的微分方程关系的微分方程(p2+5p+2)io(t)=2 iS(t)18机械工业出版社3、微分方程的一般规律、微分方程的一般规律（1）系统微分方程的阶数等于系统中独立储能元件）系统微分方程的阶数等于系统中独立储能元件 的个数。的个数。（2）当元件参数都是常数时，构成的系统是）当元件参数都是常数时，构成的系统是LTI连续连续时间系统。描述时间系统。描述n阶阶LTI连续时间系统输出连续时间系统输出r(t)与输与输入入e(t)的微分方程为的微分方程为令：令：D(p)=p n+an-1 pn 1+a0 N(p)=bm p m+bm-1 pm 1+b0上式又可表示为上式又可表示为 1100()
14、()()()nnmnmpapa r tb pb e t ()()()()D p r tN p e t 19机械工业出版社n阶阶LTI连续时间系统的传输算子为连续时间系统的传输算子为110110()()()mmmmnnnb pbpbN pH pD ppapa （3）在同一个系统中，选取不同的输入与输出，）在同一个系统中，选取不同的输入与输出，会得到不同的系统微分方程（或传输算子）；会得到不同的系统微分方程（或传输算子）；但微分方程等式左边的算子多项式都相同。但微分方程等式左边的算子多项式都相同。20机械工业出版社 设信号在设信号在t=0接入系统，信号接入前最后时刻接入系统，信号接入前最后时刻用用
15、t=0 表示，称为起始时刻；信号接入后最初时表示，称为起始时刻；信号接入后最初时刻用刻用t=0+表示，称为初始时刻。分析系统的起点表示，称为初始时刻。分析系统的起点有选在有选在0时刻时刻与与0+时刻时刻两种系统模式。两种系统模式。10起始条件起始条件 把系统在把系统在t=0 时刻的一组相互独立的数据称时刻的一组相互独立的数据称为起始条件，或起始值。为起始条件，或起始值。起始条件有两种常见选取方法：起始条件有两种常见选取方法：2.2.3 边界条件边界条件 21机械工业出版社（1）选择系统中独立电感的电流）选择系统中独立电感的电流iL(0)和独立电容和独立电容的电压的电压vC(0)。（2）选择）选
16、择r(0)，r(0)，r(k)(0)，r(n-1)(0)。其中，其中，20+初始条件 系统在系统在t=0+时刻的一组相互独立的数据被称时刻的一组相互独立的数据被称为初始条件。为初始条件。常见的选取方法与起始条件相似。常见的选取方法与起始条件相似。dd()0()(0)0,1,2,1kkktr trknt 22机械工业出版社（1）选择系统中独立电感电流）选择系统中独立电感电流iL(0+)和独立电容电和独立电容电压压vC(0+)为初始值。为初始值。如果在如果在t=0时刻，没有冲激电流（或者阶跃电压）时刻，没有冲激电流（或者阶跃电压）作用于电容，作用于电容，vC(t)不会发生跳变；若无冲激电压不会发生
17、跳变；若无冲激电压（或阶跃电流）作用于电感，（或阶跃电流）作用于电感，iL(t)不会发生跳变。不会发生跳变。则则vC(t)和和iL(t)在在t=0满足换路定律，有满足换路定律，有CCLL(0)(0)(0)(0)vvii （2）选择选择r(0+)，r(0+)，r(k)(0+)，r(n-1)(0)。23机械工业出版社3、说明、说明（1）独立边界条件的个数等于系统中独立储能元件独立边界条件的个数等于系统中独立储能元件的个数，也等于系统微分方程的阶数。的个数，也等于系统微分方程的阶数。（2）在）在iL(0)和和vC(0)这组边界条件中只要有一个不这组边界条件中只要有一个不为零，系统就存在零输入响应。为
18、零，系统就存在零输入响应。iL(0)和和vC(0)，或，或iL(0+)和和vC(0)这两组数据不能直接用作解微分方程的这两组数据不能直接用作解微分方程的边界条件，但其物理概念清楚。边界条件，但其物理概念清楚。（3）r(k)(0)与与r(k)(0+)这两组数据通常用作解这两组数据通常用作解n 阶微阶微分方程的边界条件。分方程的边界条件。24机械工业出版社2.3 系统单位冲激响应系统单位冲激响应1、单位冲激响应（简称冲激响应）的定义、单位冲激响应（简称冲激响应）的定义 在单位冲激信号在单位冲激信号d d(t)作用下，系统的零状作用下，系统的零状态响应，记为态响应，记为h(t)。n阶阶LTI因果系统
19、的因果系统的h(t)满足以下微分方程满足以下微分方程:111010()(1)()()()()0(0)(0)(0)(0)0nnmmnmmknpapa htb pbpbtthhhh d d25机械工业出版社2、求解思路、求解思路 根据根据d d(t)的特点，把微分方程分解为的特点，把微分方程分解为t=0和和t 0两两个时间区域，有个时间区域，有 (pn+an1 pn1+a0)h(t)=0 t 0(pn+a0)h(t)=(bm pm+bm1pm1+b0)d(d(t)t=0 若若n m，先根据齐次微分方程求出，先根据齐次微分方程求出h(t)的通解，的通解，再求出再求出h(t)的各阶导函数的各阶导函数p
20、h(t)，p2h(t)，pnh(t)，然后代入然后代入t=0的非齐次微分方程，通过比较等式两的非齐次微分方程，通过比较等式两边边pkd d(t)（k=0，1，2，n）的系数，确定通解的）的系数，确定通解的系数，进而得到唯一解系数，进而得到唯一解h(t)。26机械工业出版社3、求解求解n m微分方程举例微分方程举例 例 已知描述某因果系统的微分方程为已知描述某因果系统的微分方程为 r(t)+7r(t)+10r(t)=21e(t)求该系统的单位冲激响应。求该系统的单位冲激响应。解：当激励当激励e(t)=d d(t)时，响应时，响应 r(t)=h(t)，有，有 h(t)+7h(t)+10h(t)=2
21、1d d(t)t 0第一步，根据齐次微分方程求第一步，根据齐次微分方程求h(t)的通解。的通解。当当t 0时，时，d d(t)=0，齐次微分方程为，齐次微分方程为 h(t)+7h(t)+10h(t)=0特征方程为特征方程为 27100 27机械工业出版社特征根为特征根为:1=2，2=5系统单位冲激响应的通解系统单位冲激响应的通解 h(t)=(k1e2t+k2e5t)u(t)第二步，根据第二步，根据t=0的非齐次微分方程确定通解的系数。的非齐次微分方程确定通解的系数。h(t)=(2k1e2t+5k2e5t)u(t)+(k1e2t+k2e5t)d d(t)利用利用f(t)d d(t)=f(0)d
22、d(t)的关系，简化上式的关系，简化上式 h(t)=(2k1e2t+5k2e5t)u(t)+(k1+k2)d d(t)h(t)=(4k1e2t+25k2e5t)u(t)(2k1+5k2)d d(t)+(k1+k2)d d (t)把把h(t)、h(t)、h(t)代入式代入式 h(t)+7h(t)+10h(t)=21d d(t)28机械工业出版社整理得整理得 (5k1+2k2)d d(t)+(k1+k2)d d (t)=21d d(t)比较等式两边函数比较等式两边函数d d (t)和和d d(t)的系数，得到方程组的系数，得到方程组解以上方程组，得解以上方程组，得；k1=7，k2=7。该系统单位冲
23、激响应为该系统单位冲激响应为 h(t)=7(e2t e5t)u(t)121252210kkkk 29机械工业出版社4、求解求解n m微分方程举例微分方程举例 思路：当当n m时，传输算子时，传输算子H(p)是假分式。是假分式。先通过长除，把假分式分解为一个先通过长除，把假分式分解为一个p算子多项式算子多项式与一个真分式传输算子之和的结构，真分式传输与一个真分式传输算子之和的结构，真分式传输算子部分按以上讨论的方法求冲激响应。算子部分按以上讨论的方法求冲激响应。例 已知描述系统的微分方程为已知描述系统的微分方程为 (p2+5p+6)r(t)=(p2+2p+3)e(t)求：系统单位冲激响应求：系统
24、单位冲激响应h(t)。30机械工业出版社解：用长除法分解传输算子用长除法分解传输算子 2221222333()()(1)()565633()()()()56ppph tttppppptth th tppd dd dd dd d 其中其中 122()()33()()56h ttph ttppd dd d 意义：把原系统分解为两个子系统。其中，子系统把原系统分解为两个子系统。其中，子系统 h1(t)已求出，只需要求子系统已求出，只需要求子系统h2(t)。h2(t)按前按前 述述n m的情况求解。的情况求解。31机械工业出版社 本节主要解决以下几个问题：本节主要解决以下几个问题：*什么是卷积？什么是
25、卷积？*卷积有何实际意义？卷积有何实际意义？*如何计算卷积？如何计算卷积？*卷积运算有哪些规律？卷积运算有哪些规律？2.4 卷积卷积32机械工业出版社一、卷积的定义一、卷积的定义 在卷积积分运算中，在卷积积分运算中，t是参变量，变化区域是参变量，变化区域(，)；随；随 t 变化，积分上、下限会发生相应变化，积分上、下限会发生相应的变化。卷积积分的难点是积分分段和确定积分的变化。卷积积分的难点是积分分段和确定积分上、下限。上、下限。2.4.1 卷积的定义和意义卷积的定义和意义d1212()()()()()f tf tf tff t 33机械工业出版社2.卷积的意义卷积的意义（1）连续时间信号的冲
26、激函数分解）连续时间信号的冲激函数分解 当当 f1(t)=e(t)，f2(t)=d d(t)时，利用了冲激函时，利用了冲激函数的筛选性，有数的筛选性，有数学含义：数学含义：任何连续时间函数与单位冲激函数卷任何连续时间函数与单位冲激函数卷积等于该函数。积等于该函数。物理意义：物理意义：任何连续时间信号都能够分解为无限多任何连续时间信号都能够分解为无限多冲激函数的线性叠加。或者说，任何连续时间信号冲激函数的线性叠加。或者说，任何连续时间信号都能由无限多个冲激函数线性叠加构成。都能由无限多个冲激函数线性叠加构成。dd()()()()()()()e ttete tte td d d d d d 34机
27、械工业出版社推导：推导：任意连续时间信号用一系列矩形脉冲去近任意连续时间信号用一系列矩形脉冲去近似。把似。把 t 轴分割成宽度为轴分割成宽度为 的无穷多小段，每段的无穷多小段，每段内的内的e(t)值用该段起始时刻的函数值近似。值用该段起始时刻的函数值近似。te()d d(t)e(0)d d(t)00 2 k (k+1)te(0)e(k)e()1()()()(1)kete ku t ku tk 当当 时，时，e(t)用以下矩形近似表示用以下矩形近似表示(1)ktk 35机械工业出版社在任意时间段，在任意时间段，e(t)的近似函数的近似函数e (t)为为 1()()()()(1)kkketete
28、ku t ku tk 当当 0时，时，e(t)e(t)，求和运算变为积分运算，求和运算变为积分运算，d，k ，。上式的极限为上式的极限为()(1)()u tku tkt d d 00lim()lim()()(1)kete ku t ku tk ()(etde t d d 36机械工业出版社(2)分析分析LTI连续时间系统的零状态响应连续时间系统的零状态响应 LTI系统系统d d(t)h(t)()()eh td ()()etd d d LTI系统系统e()h(t-)e()d d(t-)LTI系统系统()*()()e tte td d()*()e th t()zsr t含义：在信号含义：在信号e(
29、t)单独作用下，单独作用下，LTI连续时间系统的连续时间系统的零状态响应零状态响应rzs(t)等于输入信号等于输入信号e(t)与单位冲激响应与单位冲激响应h(t)的卷积的卷积.37机械工业出版社1.解析法解析法 所谓解析法就是用一个闭和的解析表达式所谓解析法就是用一个闭和的解析表达式来计算卷积积分，一般用于分段简单的函数。来计算卷积积分，一般用于分段简单的函数。例 计算卷积计算卷积 u(t)*u(t)。解：根据卷积定义，有根据卷积定义，有2.4.2 计算卷积计算卷积()()()()u tu tuu td 自变量必须满足：自变量必须满足：0和和t 0，被积函数的非，被积函数的非零区间：零区间：0
30、 0，右移；，右移；t 0，左移。，左移。（3）乘乘 运算，或被积函数运算，或被积函数 f1()f2(t )；（4）计算计算 f1()f2(t )重叠区域的面积。重叠区域的面积。随着参变量随着参变量 t 移动，移动，f1()f2(t )的重叠区间的重叠区间在不断变化，重复步骤在不断变化，重复步骤(3)和和(4)。利用图形的直观性辅助卷积计算的方法。利用图形的直观性辅助卷积计算的方法。1212()()*()()()f tf tf tff td 40机械工业出版社011e(t)t01h(t)=et u(t)t例 e(t)与与h(t)的波形如图所示，求的波形如图所示，求rzs(t)=h(t)*e(t
31、)()()*()()()r th te the td自变量变换：自变量变换：t e()h()=e u()41机械工业出版社011e()0-11e(-)e(t-)t 1t当当t 从从 变到变到+时时，有有t 0，e(t)右移右移t t 1e(t-)关键点：分段与确定积分上、下限。关键点：分段与确定积分上、下限。42机械工业出版社t 001t-1 t()()()0r th te t0 t 0 f2(t-)右移右移t 0 f2(t-)左左移移()从从左左向向右右移移动动到到从从对对应应 tft2,-2t22t+2f2(-)-22f2(t-)t2t+2-22f2(t-)t2t+246机械工业出版社t
32、4两波形没有重叠部分，被积函数两波形没有重叠部分，被积函数0，故有，故有()()()120f tf tft -22f2(-)t-2 t+2-2 247机械工业出版社-4 t 0两波形重叠区域为两波形重叠区域为-2，t+2 2122()()()tf tff td 2232d4t 3(4)2t t-2 t+2-2 2-22f2(-)t-2 t+248机械工业出版社0 4 t-2 t+2-2 2()0f t -22f2(-)t-2 t+249机械工业出版社卷积结果卷积结果 3(4)402()3(4)04204,4ttf tttttt-4 4f(t)6022f1(t)t2023/4f2(t)t2 两个
33、等宽矩形卷积为等两个等宽矩形卷积为等腰三角形；三角形的非零腰三角形；三角形的非零值脉宽是两个矩形非零值值脉宽是两个矩形非零值脉宽之和；脉宽之和；f(t)的脉宽下限的脉宽下限是是f1(t)和和f2(t)的脉宽下限之的脉宽下限之和，和，f(t)的脉宽上限是的脉宽上限是f1(t)和和f2(t)的脉宽上限之和。的脉宽上限之和。50机械工业出版社2.4.3 卷积的性质卷积的性质一、时移性一、时移性 若有若有 f(t)=f1(t)f2(t)则有则有 f1(tt1)f2(tt2)=f1(tt2)f2(tt1)=f1(tt2t1)f2(t)=f1(t)f2(tt2t1)=f(t t1t2)设函数设函数f1(t
34、)、f2(t)、f3(t)中任意两者的卷积均存中任意两者的卷积均存在，则卷积积分存在如下运算规律。在，则卷积积分存在如下运算规律。51机械工业出版社例 计算以下卷积：计算以下卷积：(1)f(t)d d(t t0)(2)d d(t t1)d d(t t2)解：(1)已知已知 f(t)*d d(t)=f(t)，以及卷积的时移性，得，以及卷积的时移性，得f(t)d d(t t0)=f(t t0)(2)根据根据d d(t)*d d(t)=d d(t)与时移性，有与时移性，有 d d(t t1)d d(t t2)=d d(t t1 t2)52机械工业出版社证明：根据卷积定义根据卷积定义 令令 t1=x，
35、则有，则有 =x+t1，d =dx，代入上式，代入上式，证毕。证毕。d11221122()()()()f t tf t tft f tt d1212121212()()()()()f x f tttxxf tf tttf ttt d1122()()ft f tt 53机械工业出版社二、交换律二、交换律运算规律：交换两个函数卷积的次序不改变运算结果。运算规律：交换两个函数卷积的次序不改变运算结果。)(*)()(*)(tftftftf1221证明：已知已知 令令t =x，则有，则有 =t x，d =dx，代入上式，得，代入上式，得d1212()()()()f tf tff t dd12121221
36、()()()()()()()()f tf tf tx f x xf tx f x xf tf t 证毕。证毕。54机械工业出版社物理意义：物理意义：h(t)e(t)r(t)=e(t)*h(t)h(t)e(t)r(t)=h(t)*e(t)信号信号e(t)作用于单位冲激响应为作用于单位冲激响应为h(t)的的LTI连续连续时间系统产生的零状态响应与信号时间系统产生的零状态响应与信号h(t)作用于作用于单位冲激响应是单位冲激响应是e(t)的的LTI连续时间系统产生的连续时间系统产生的零状态响应完全相同。零状态响应完全相同。55机械工业出版社三、分配律三、分配律分配律说明分配律说明加法运算与卷积积分运算
37、可以互换次序。加法运算与卷积积分运算可以互换次序。证明：证毕。证毕。1231213()*()()()*()()*()f tf tf tf tf tf tf t d123123()()()()()()f tf tf tff tf t dd12131213()()()()()()()()ff tff tf tf tf tf t 56机械工业出版社两种物理解释：两种物理解释：f1(t)f2(t)+f3(t)r(t)（1）若把若把f1(t)视为视为LTI系统的冲激响应，系统的冲激响应，f2(t)+f3(t)视为系统的激励，分配律告诉我们：两个信视为系统的激励，分配律告诉我们：两个信号共同作用于号共同作
38、用于LTI系统产生的零状态响应等于每系统产生的零状态响应等于每个信号单独作用于该系统产生的个信号单独作用于该系统产生的零状态响应之和。零状态响应之和。f1(t)f2(t)f1(t)f3(t)r(t)57机械工业出版社f1(t)f2(t)+f3(t)r(t)f1(t)f2(t)r(t)f3(t)（2）若）若f2(t)+f3(t)是是LTI系统的单位冲激响应，系统的单位冲激响应，f1(t)为系统激励，分配律指出：一个单位冲激响应为为系统激励，分配律指出：一个单位冲激响应为f2(t)+f3(t)的的LTI系统，可由两个系统，可由两个LTI子系统并联构子系统并联构成。成。f1(t)作用于并联系统产生的
39、零状态响应等于作用于并联系统产生的零状态响应等于f1(t)分别作用于两个子系统产生的零态响应之和。分别作用于两个子系统产生的零态响应之和。并联并联LTI系统的单位冲激响应系统的单位冲激响应等于各等于各LTI子系统冲激响应之和。子系统冲激响应之和。58机械工业出版社例例 重算以下两个门函数的卷积积分。重算以下两个门函数的卷积积分。14()2()2(2)(2)ftGtu tu t2433()()(2)(2)44ftGtu tu t44332()()2(2)(2)(2)(2)44G tG tu tu tu tu t123()*()(4)2()(4)2f tf tR tR tR t已知已知 u(t)u
40、(t)=R(t)，利用分配律和时移性，利用分配律和时移性，022f1(t)t2023/4f2(t)t259机械工业出版社四、结合律四、结合律运算含义：运算含义：交换卷积积分的先后次序不影响运算结果。交换卷积积分的先后次序不影响运算结果。123123()*()()()*()*()f tf tf tf tf tf t 物理含义及引申含义：物理含义及引申含义：(1)LTI级联系统的冲激响应等于各级联系统的冲激响应等于各LTI子系统冲激响子系统冲激响 应的卷积应的卷积。(2)LTI系统级联构成的复合系统仍是系统级联构成的复合系统仍是LTI系统。系统。(3)LTI系统可以任意交换级联次序系统可以任意交换
41、级联次序。f2(t)*f3(t)f1(t)r(t)f1(t)*f2(t)r(t)f3(t)f1(t)f2(t)60机械工业出版社例 在在图示复合系统中，已知三个子系统的冲激响应图示复合系统中，已知三个子系统的冲激响应分别为分别为h1(t)=u(t)，h2(t)=etu(t)，h3(t)=d d(t)，求该，求该复合系统的冲激响应复合系统的冲激响应h(t)。解：利用卷积的结合律和分配律，得利用卷积的结合律和分配律，得e(t)h2(t)h3(t)+r(t)h1(t)eee()()()()(1)()()(2)()tttu tu tu ttu tu tu td d 1231213()()()()()(
42、)()()h th th th th th th th t 61机械工业出版社证明结合律：证明结合律：交换积分的先后次序，令交换积分的先后次序，令 =x，y(t)=f2(t)*f3(t)，有有 dd123123()()()()()()f tf tf tfff t ddddd12312311123()()()()()()()()()()()()()fff tffx f tx xfy tf ty tf tf tf t 证毕。证毕。62机械工业出版社五、微分性五、微分性211212d()d()d()*()()*()dddf tf tf tf tf tf tttt 例例 计算以下卷积：计算以下卷积：(
43、1)f(t)d d (t)(2)f(t)d d (t t0)解：(1)运用卷积的微分性及已知运用卷积的微分性及已知f(t)*d d(t)=f(t)，有，有 f(t)*d d(t)=f(t)*d d(t)=f(t)(2)利用卷积的微分性和时移性，得利用卷积的微分性和时移性，得000()()()()()f tttf tttf ttd dd d 63机械工业出版社证明：d1212dd()()()()ddf tf tff ttt 证毕。证毕。交换积分与求导的先后次序，得交换积分与求导的先后次序，得dddddddd212121()()()()()()f tff tff tf tttt 同理可证得同理可证
44、得dddd1122()()()()f tf tf tf ttt 64机械工业出版社六、积分性六、积分性 如果不仅如果不仅 f1(t)*f2(t)存在，而且积分存在，而且积分和和 也存在，则有也存在，则有121212111()*()()*()()*()f tf tf tf tf tf tppp d1()f t推论：推论：12121()()()()f tf tf tpf tp )(*)()()(*)()()()(tftftfptfptfptfpnnnn21212111d2()f t65机械工业出版社011e(t)t01h(t)=e t u(t)t例 重求重求 rzs(t)=h(t)*e(t)解：方
45、法一方法一()()()()(1)()e th tu th tu th t ()()(1)e tu tu t 00()()()e(1e)()tttu th thddu t 则则(1)()(1e)()1e(1)ttr tu tu t 66机械工业出版社方法二：方法二：0()()()()te th te thd )()()(1ttted dd d00()e(1e)()ttthddu t 则则()()(1)(1e)()tr tttu td dd d (1)(1 e)()1 e(1)ttu tu t 011e(t)t01h(t)=e t u(t)t67机械工业出版社例 在图在图a所示电系统中，电流源所示
46、电系统中，电流源iS(t)=2u(t)A，求输，求输出电压出电压vC(t)。a)7 is(t)+-1H0.1Fvc(t)b)7d d(t)+-p10/pvc(t)解：画算子电路；令画算子电路；令is(t)=d d(t)，则，则vc(t)=h(t)；选择参；选择参考节点，如图考节点，如图b所示；列节点电压方程，有所示；列节点电压方程，有1(0.1)()()7p h ttpd d 整理得整理得 2(710)()(1070)()0(1)pph tpttd d 68机械工业出版社式式(1)的特征方程为：的特征方程为：特征根特征根为为：1=2，2=5。h(t)的通解为的通解为把把h(t)、h(t)和和h
47、(t)代入式代入式(2)，得：得：27100 2512()(ee)()2tth tkku t （）251212()(2 e5e)()()()tth tkku tkktd d 25121212()(4e25e)()(25)()()()tth tkku tkktkktd dd d 1212()()(52)()10()70()kktkktttdddddddd式中系数满足方程组式中系数满足方程组1212105270kkkk 69机械工业出版社解得：解得：12502033kk ，255020()(ee)()33tth tu t 255020()()()()2()(ee)()33ttcczssv tvti th tu tu t V25250255020254()2()(ee)2()(7ee)()3333508(14ee)()33tttcttv ttdtu tu t d d d d 该系统的单位冲激响应为：该系统的单位冲激响应为：在电流在电流is(t)=2u(t)A作用下，系统零状态响应为：作用下，系统零状态响应为：利用卷积的微、积分性，计算得：利用卷积的微、积分性，计算得：
