1、第第2课时等差数列的性质课时等差数列的性质1.进一步了解等差数列的项与序号之间的规律2.理解等差数列的性质3.掌握等差数列的性质及其应用.1.对等差数列性质的考查是本课的热点2.本课时内容常与解析几何、不等式结合命题3.多以选择题、解答题的形式命题.1等差数列的定义如果一个数列从第 项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于 常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母 表示2等差中项如果 ，那么A叫做a与b的等差中项3等差数列的通项公式ana1(n1)d，nN*.2同一公差da，A，b成等差数列等差数列的常用性质性质1通项公式的推广：anam (n，mN*)性质2若a
2、n为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman性质3若an是等差数列，则2anan1an1 a1ana2an1a3an2性质4若an，bn分别是以d1，d2为公差的等差数列，则panqbn是以pd1qd2为公差的等差数列性质5若an是等差数列，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)组成公差为 的等差数列(nm)dmd1在等差数列an中，a1a910，则a5的值为()A5 B6C8 D10解析：a1a92a5a55答案：A解析：由题意知a4a5a2a7a215123，故选A.答案：A3设数列an、bn都是等差数列，且a125，b175，a2b2100，则a37b37等于_解
3、析：设cnanbn，则数列cn为等差数列c1a1b1100，c2a2b2100，cn100，c37a37b37100.答案：1004已知等差数列an中，a2a6a101，求a3a9.由题目可获取以下主要信息：37462528.a3a7a4a62a5a2a8.解答本题可用等差数列的性质，对于(2)也可以用等差数列的通项公式解题过程(1)因为a3a7a4a62a5，所以a3a7a4a6a55a5，所以5a5450，所以a590.又因为a2a82a5，所以a2a8180.(2)方法一：因为an为等差数列，所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，其公差为d，a15为首项，则a60为其第
4、四项，所以a60a153d，得d4.所以a75a60da7524.题后感悟等差数列的“子数列”的性质若数列an是公差为d的等差数列，则(1)an去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列；(2)奇数项数列a2n1是公差为2d的等差数列；偶数项数列a2n是公差为2d的等差数列；(3)若kn成等差数列，则akn也是等差数列1.已知等差数列an中，(1)a2a8a141，求a3a13；(2)已知a2a3a23a2448，求a13；(3)已知a2a3a4a534，a2a552，求公差d.(1)三个数成等差数列，和为6，积为24，求这三个数；(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为
5、8，求这四个数由题目可获取以下主要信息：根据三个数的和为6，成等差数列，可设这三个数为ad，a，ad(d为公差)；四个数成递增等差数列，且中间两数的和已知，可设为a3d，ad，ad，a3d(公差为2d)解答本题也可以设出等差数列的首项与公差，建立基本量的方程组求解规范作答(1)方法一：设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为ad，a，ad，2分依题意，3a6且a(ad)(ad)24，所以a2，代入a(ad)(ad)24，化简得d216，于是d4，4分故这三个数为2,2,6或6,2，2.6分方法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，ad，a2d，2分依题意，3a3d6且a(ad
6、)(a2d)24，所以a2d，代入a(ad)(a2d)24，得2(2d)(2d)24,4d212，即d216，于是d4，4分这三个数为2,2,6或6,2，2.6分(2)方法一：设这四个数为a3d，ad，ad，a3d(公差为2d)，8分依题意，2a2，且(a3d)(a3d)8，即a1，a29d28，d21，d1或d1.10分又四个数成递增等差数列，所以d0，d1，故所求的四个数为2,0,2,4.12分又四个数成递增等差数列，所以d0，所以d2，故所求的四个数为2,0,2,4.12分题后感悟利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计算一般地有如下规律：当等差数列an的项数n为奇数时，可设中间一项为a
7、，再用公差为d向两边分别设项：，a2d，ad，a，ad，a2d，；当项数为偶数项时，可设中间两项为ad，ad，再以公差为2d向两边分别设项：，a3d，ad，ad，a3d，这样可减少计算量2.已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列 某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从第几年起，该公司经销这一产品将会出现亏损？由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，每年获利构成等差数列an，且当an0时，
8、该公司将会出现亏损解题过程设第n年的利润为an万元，则a1200，anan120，n2，nN*，所以每年的利润an可构成一个首项为200，公差为20的等差数列an，从而an22020n.若an0，则该公司经销这一产品将会出现亏损，令an22020n11.又nN*，所以n12.故从第12年起，该公司经销此产品将会出现亏损题后感悟本例中由于公差小于零，所以该数列是一个递减数列想一想，如果规定当该产品的利润降到50万元以下时就放弃经销此产品，那么该公司应从第几年起放弃经销此产品？(1)在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等
9、差数列方法解决(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题3.有一批影碟机原销售价为每台800元，在甲、乙两家商场均有销售甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售某单位需购买一批此类影碟机，问去哪一家商场购买花费较少？解析：设某单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元时，售价与台数n成等差数列，设该数列为an，an780(n1)(20)80020n，解不等式an440，即80020n440，得n18，当购买台数小于18时，每
10、台售价为(80020n)元，当台数大于或等于18时，每台售价为440元到乙商场购买，每台售价为80075%600元，作差：(80020n)n600n20n(10n)，所以，当n10时，600n(80020n)n；当n10时，600n(80020n)n；当10n18时，(80020n)n600n；当n18时，440n600n.所以当购买台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买10台时，到两商场购买花费相同；当购买多于10台时，到甲商场购买花费较少1等差数列通项公式的推广由等差数列an的通项公式ana1(n1)d，容易得到anam(nm)d，这可以看作等差数列通项公式的推广公式事实上，am(
11、nm)da1(m1)d(nm)da1(n1)dan.2等差数列的“子数列”(1)在公差为d的等差数列an中，可以有规律的选择出某些项，使它们组成新的等差数列，如数列a2n，a2n1，anan1，anan1，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9，等都是等差数列，公差分别为2d,2d,2d,0,9d.(2)若an、bn为等差数列，则ank、kan(k0)、anbn仍为等差数列，公差分别为d，kd，d1d2.已知两个等差数列an和bn，且an为2,5,8，bn为1,5,9，它们的项数均为40项，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？【错解】由已知两等差数列的前三项，容易求得它们的通项公式分别为：an3n1，bn4n3(1n40，且nN*)，令anbn，得3n14n3，即n2.所以两数列只有1个数值相同的项，即第2项【错因】本题所说的是数值相同的项，但它们的项数并不一定相同，也就是说，只看这个数在两个数列中有没有出现过，而并不是这两个数列的第几项练考题、验能力、轻巧夺冠
