1、4.1.1 圆的标准方程Ar xyO生活中的圆生活中的圆复习引入复习引入问题一：问题一：什么是圆？初中时我们是怎样给圆什么是圆？初中时我们是怎样给圆下定义的？下定义的？平面内与定点距离等于定长的点的集合（平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆。轨迹）是圆。问题二：平面直角坐标系中，如何确定一个问题二：平面直角坐标系中，如何确定一个圆？圆？圆心：确定圆的位置圆心：确定圆的位置半径：确定圆的大小半径：确定圆的大小求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程xCMrOy探究新知探究新知 解解：设M(x,y)是圆上任意一点，把上式两边平方得：(x-a)2+(y-b)2 =r2根据定义，点M到圆心
2、C的 距离等于r，所以圆C就是集合 P=M|MC|=r (x-a)2+(y-b)2 =r由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为：思考思考:对于以点对于以点A(aA(a，b)b)为圆心，为圆心，r r为半径的圆，由为半径的圆，由上可知，若点上可知，若点M(xM(x，y)y)在圆上在圆上,则点则点M M的坐标满足方的坐标满足方程程；反之反之,若点若点M(xM(x，y)y)的坐标适的坐标适合方程合方程，那么点那么点M M一定在这个圆一定在这个圆上吗？上吗？A AM Mr rx xo oy y思考思考:以原点为圆心以原点为圆心,1,1为半径的圆称为为半径的圆称为 单位圆单位圆,那么单位圆的方程是什
3、么？那么单位圆的方程是什么？我们把方程我们把方程 称为以称为以A(aA(a，b)b)圆心，圆心，r r为半径长的为半径长的222()()xaybrx x2 2+y+y2 2=1=1思考思考:那么确定圆的标准方程需要几个那么确定圆的标准方程需要几个 独立条件？独立条件？圆的圆的标准方程标准方程222ryx特别地特别地,若圆心为若圆心为O（0，0），则圆的方程为则圆的方程为：三个独立条件三个独立条件a a、b b、r r确定一个圆的方程确定一个圆的方程.(x-3)2+(y-4)2=5练习：1、写出下列各圆的方程：(1)圆心在点圆心在点C(3,4)C(3,4)，半径是，半径是(2)经过点经过点P(5
4、,1),P(5,1),圆心在点圆心在点C(8,-3)C(8,-3)5(x-8)2+(y+3)2=25补充练习：写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1)(x-1)2+y2=6(2)(x+1)2+(y-2)2=9(3)(x+a)2+y2=a2(1,0)6(-1,2)3(-a,0)|a|几种特殊位置的圆的标准方程几种特殊位置的圆的标准方程:圆心在原点圆心在原点:x2+y2=r2(r0)圆心在圆心在x轴上轴上:(x a)2+y2=r2(r0)圆心在圆心在y轴上轴上:x2+(y b)2=r2(r0)圆过原点圆过原点:(x a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b20)探究：点与圆的位置关系探究：点与圆的位
5、置关系 思考思考:在平面几何中在平面几何中，初中学过：初中学过：点与点与 圆有哪几种位置关系？圆有哪几种位置关系？思考思考:在初中平面几何中，如何确定点在初中平面几何中，如何确定点 与圆的位置关系？与圆的位置关系？A AO OA AO OA AO OOAOAr rOAOA=r r思考思考:在直角坐标系中在直角坐标系中,已知点已知点M(xM(x0 0，y y0 0)和圆和圆C C：,如何判断点如何判断点M M在圆外、圆上、圆内？在圆外、圆上、圆内？222()()xaybr(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2r r2 2时时,点点M M在圆在圆C C外外;(x(x0
6、 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2=r r2 2时时,点点M M在圆在圆C C上上;(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2r r2 2时时,点点M M在圆在圆C C内内.思考题：思考题：集合集合(x(x，y)|(x-a)y)|(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2rr2 2 表示的图形是什么？表示的图形是什么？A Ar rx xo oy y 例例1 1 写出圆心为写出圆心为 ，半径长等于，半径长等于5的圆的方的圆的方程，并判断点程，并判断点 ，是否在这个圆上。是否在这个圆上。)3,2(A)7,5(1M)1,5(2M 解：解：圆心是圆
7、心是 ，半径长等于，半径长等于5的圆的标准方的圆的标准方程是：程是：)3,2(A 把把 的坐标代入方程的坐标代入方程 左右两边相等，点左右两边相等，点 的坐标适合圆的方程，所以点的坐标适合圆的方程，所以点 在这个圆上；在这个圆上；)7,5(1M25)3()2(22yx1M1M)1,5(2M2M2M 把点把点 的坐标代入此方程，左右两边的坐标代入此方程，左右两边不相等，点不相等，点 的坐标不适合圆的方程，所以点的坐标不适合圆的方程，所以点 不不在这个圆上在这个圆上25)3()2(22yx圆心：两条弦的中垂线的交点圆心：两条弦的中垂线的交点半径：圆心到圆上一点半径：圆心到圆上一点xyOA(5,1)
8、B(7,-,-3)C(2,-,-8)C例例2 2 的三个顶点的坐标分别的三个顶点的坐标分别A A(5,1),(5,1),B B(7,(7,3)3)，C C(2,(2,8)8)，求它的外接圆的方程，求它的外接圆的方程ABCDE 例例2 2：的三个顶点的坐标分别的三个顶点的坐标分别A A(5,1)(5,1)、B B(7,(7,3)3)、C C(2,(2,8)8)，求它的外接圆的方程，求它的外接圆的方程ABC 解解：设所求圆的方程是：设所求圆的方程是 (1)222)()(rbyax 因为因为A(5,1),B(7,3)，C(2,8)都在圆上，所以都在圆上，所以 它们的坐标都满足方程（它们的坐标都满足方
9、程（1）于是）于是222222222)8()2()3()7()1()5(rbarbarba待定系数法待定系数法235abr 所求圆的方程为所求圆的方程为22(2)(3)25xy 圆心圆心C：两条直线的交点：两条直线的交点半径半径CA：圆心到圆上一点：圆心到圆上一点xyOCA(1,1)B(2,-,-2):10l xy 弦弦ABAB的垂直的垂直平分线平分线 例例3 已知圆心为已知圆心为C的圆经过点的圆经过点A(1,1)和和B(2,2)，且，且圆心圆心C在直线上在直线上l：x y+1=0，求圆心为，求圆心为C的圆的标的圆的标准方程准方程D圆的标准方程的应用圆的标准方程的应用 l解解：因为因为A(1,
10、1)和和B(2,2)，所以线段，所以线段AB的中点的中点D的坐标的坐标),21,23(直线直线AB的斜率的斜率:31212ABk因此线段因此线段AB的垂直平分线的垂直平分线 的方程是的方程是l)23(3121xy即即033 yx解方程组解方程组01033yxyx得得.2,3yx所以圆心所以圆心C的坐标是的坐标是)2,3(圆心为圆心为C的圆的半径长的圆的半径长5)21()31(|22 ACr所以，圆心为所以，圆心为C的圆的标准方程是的圆的标准方程是25)2()3(22yx例例3 3 己知圆心为己知圆心为C C的圆经过点的圆经过点A(1,1)A(1,1)和和B(2,-2),B(2,-2),且且圆心
11、在直线圆心在直线l:x-y+1=0l:x-y+1=0上上,求圆心为求圆心为C C的圆的标准方的圆的标准方程程.圆经过圆经过A(1,1),B(2,-2)解解2:设圆设圆C的方程为的方程为222()(),xaybr圆心在直线圆心在直线l:x-y+1=0上上22222210(1)(1)(2)(2)ababrabr 325abr 22(2)25.Cy圆心为 的圆的标准方程为(x+3)待定系数法待定系数法 例例4 已知圆的方程是已知圆的方程是 ，求经过圆上一点，求经过圆上一点 的切线的方程。的切线的方程。222ryx),(00yxM),(00yxMyxO.,),(.,.12002202000000000
12、ryyxxryxMxxyxyyMyxkxykkkkOMOM 所求的切线方程是所求的切线方程是在圆上在圆上,所以所以因为点因为点的切线方程是的切线方程是经过点经过点，解解:设切线的斜率为设切线的斜率为 则则当点当点M在坐标轴上时，可以验证，上面方程同样适用在坐标轴上时，可以验证，上面方程同样适用.圆的方程是圆的方程是 ，经过圆上一点，经过圆上一点 的切线的方程的切线的方程222ryx),(00yxMx0 x+y0 y=r2过圆过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点上一点M(x0,y0)的切线方的切线方程为：程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2数学结论数学结论练习：写出过
13、圆x2+y2=10 上一点 M（2，)的切线方程。6练习：已知圆的方程是x2+y2=1，求：（1）斜率等于1的切线的方程；2x+y=106 62（2）在y轴上截距是 的切线方程。y=x+2所以切线方程为：y=x2提示：设切线方程为 y=x+b,由圆心到切线的距离等于半径1，得：|b|12+(-1)2=1 解得b=2从圆x2+y2=10外一点P(4,2)向该圆引切线，求切线方程。思考题：思考题：x+3y=10 或 3x-y=10课堂小结课堂小结 (1)圆心为圆心为C(a,b)，半径为，半径为r 的圆的标准方程为的圆的标准方程为 (x-a)2+(y-b)2 =r2 当圆心在原点时当圆心在原点时 a
14、=b=0，圆的标准方程为：，圆的标准方程为：x2+y2 =r2 (2)由于圆的标准方程中含有由于圆的标准方程中含有 a,b,r 三个参数，因三个参数，因此必须具备此必须具备三个独立的条件三个独立的条件才能确定圆；才能确定圆；(3)注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程解决实际问题。程解决实际问题。作业：课本P124 习题4.1 A组 1、2、3、4 同学们同学们,今天的课就上到这里，今天的课就上到这里，提醒大家：课后别忘了提醒大家：课后别忘了复习巩固并并及时完成 作业！再见再见呵呵呵呵同学们同学们1.所有制形式单一，排斥多种经济形式和经营方式。2.经营决策集中在国家手中，企业缺乏自主权。3.分配实行统收统支，国家统负盈亏，吃“大锅饭”。4.否定商品经济的存在，否定市场及价值规律对经济的调节作用。5.激发学生的兴趣，开放学生的思维，让学生们进行抢答。6.总结答案，鼓励表扬。不要求“标准答案”，理解意思就行7.师生总结，生答，师引导总结。
