1、第八章 多元函数微分学第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念第二节第二节 偏导数偏导数第三节第三节 全微分及应用全微分及应用第四节第四节 多元函数微分学的应用多元函数微分学的应用第五节第五节 二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值第一节 多元函数的基本概念一、多元函数的概念一、多元函数的概念二、二元函数的极值二、二元函数的极值三、二元函数的连续性三、二元函数的连续性一、多元函数的概念（一）（一）区域区域例如，在平面上例如，在平面上 0),(yxyx 41),(22 yxyx 0),(yxyx 41),(22 yxyx开区域开区域闭区域闭区域xyo21xyoxyoxyo21（二）（
2、二）二元函数的定义二元函数的定义 圆柱体的体积圆柱体的体积 定量理想气体的压强定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式三角形面积的海伦公式,2hrV ,(为常数）为常数）RVTRp )2(cbap cba 0,0),(hrhr 0,0),(TTVTV cbacbacba ,0,0,0),()()(cpbpappS hr多变量之间依赖关系举例：定义定义1 1 设非空设非空点集点集,RnD(),zf PPD或点集点集 D D 称为函数的定义域称为函数的定义域 ;数集数集()zzf P,PD称为函数的值域称为函数的值域 .特别地特别地 ,当当 n=2 时时,有二元函数有二元函数2R),(),(Dyx
3、yxfz当当 n=3 时时,有三元函数有三元函数3(,),(,)Rzf x y zx y zD映射映射R:Df称为定义称为定义在在 D 上上的的 n 元函数元函数 ,记作记作12(,)nzf x xx（三）（三）二元函数的几何意义二元函数的几何意义二、二元函数的极限 则称则称 A 为函数为函数 z=f(x,y)当当 时的极时的极限限，)()(00,yxyx 设函数设函数 z=f(x,y)在点在点 P0(x0,y0)的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义(点点 P0 可以除外可以除外)，如果当如果当点点 P(x,y)无限地接近于点无限地接近于点 P0(x0,y0)时，时，00(,),limx yx
4、yf x yA()()记为 或或 定义定义2 2对应对应的函数值的函数值z 趋近于一个确定的常数趋近于一个确定的常数A，00,yxyf f(x x,y y)A A,()()x ,0,),(2222yxyxxyyxg例例0,022 yx(,)(0,0)当 时的极限x y,00时时而而即当即当 xy当当(x,y)沿沿 y 轴趋向于原点轴趋向于原点，,00lim)0,(lim),(lim0000 xxyxxgyxg有有解解考察函数考察函数但是，当点但是，当点(x,y)沿着直线沿着直线 y=k x(k 0)趋向于点趋向于点(0,0)时时，,1lim),(lim),(lim222220000kkxkxk
5、xkxxgyxgxxkxyx 即当即当 y=k x，,0时时而而x.00lim),0(lim),(lim0000 yyyxygyxg而当点而当点(x,y)沿沿 y 轴趋向于原点，轴趋向于原点，有有.),(lim 00不存在不存在故极限故极限yxgyx,12的值也不同的值也不同kk 随着随着 k 的取值不同的取值不同，0,0 yx而而即即时，时，三、二元函数的连续性 设函数设函数 z=f(x,y)在点在点 P0(x0,y0)的的某一邻域内有定义，某一邻域内有定义，且等且等于它在点于它在点 P0 处的函数值，处的函数值，如果当点如果当点 P(x,y)趋向于点趋向于点P0(x0,y0)时，时，函数函
6、数 z=f(x,y)的的极限存在，极限存在，,),(),(lim0000yxfyxfyyxx 即即定义定义 3,)()(lim 00PfPfpp 或或则称函数则称函数 z=f(x,y)在点在点 P0(x0,y0)处连续处连续.若函数若函数 f(x,y)在开区域（或闭区域）在开区域（或闭区域）D内的每内的每一点连续，称函数一点连续，称函数 f(x,y)在在D内连续，或者称内连续，或者称f(x,y)是是D内的连续函数内的连续函数 若函数若函数f(x,y)在点在点 P0(x0,y0)处不连续，则称处不连续，则称P P0 0为函数为函数f(x,y)的间断点的间断点第二节 偏导数一、偏导数的概念及几何意
7、义一、偏导数的概念及几何意义二、高阶偏导数二、高阶偏导数三、复合函数与隐函数的求导法则三、复合函数与隐函数的求导法则一、偏导数的概念及几何意义（一）（一）偏导数的概念偏导数的概念 定义定义),(yxfz 在点在点),(),(lim000yfyfx 存在存在,则称此极限为函数则称此极限为函数xyxyxfz对对在点在点),(),(00 的偏导数，记为的偏导数，记为;),(00yxxz ),(00yx的某邻域内的某邻域内极限极限;),(00yxxf xx 00 x设函数设函数x;),(00yxfx;),(00yxxzxyxfyxxfx ),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx ),(
8、00yxfx注意注意:同样可定义对同样可定义对 y y 的偏导数为的偏导数为),(yxfz D0 limy若函数若函数 在域在域 内每一点内每一点 处对处对 x,xzxfxz 则该偏导数称为则该偏导数称为偏导函数偏导函数,也简称为也简称为偏导数偏导数 ,(,),xfx y(,)yfx y),(0 xf),(0 xf y 记为记为yy 00y或或 y 偏导数存在偏导数存在 ,yzyfyz ),(yx00),(dd00 xxyxfxxfxxyy 0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy 是曲线是曲线 0),(xxyxfzyTM0在点在点 M0 处的切线处的切线对对 x
9、 轴的斜率轴的斜率.在点在点M0 处的切线处的切线斜率斜率.是曲线是曲线yxz0 xyToxT0y0M对对 y 轴的轴的（二）（二）偏导数的几何意义偏导数的几何意义二、高阶偏导数 设设 z=f(x,y)在域在域 D 内存在连续的偏导数内存在连续的偏导数),(,),(yxfyzyxfxzyx 若这两个偏导数仍存在偏导数，若这两个偏导数仍存在偏导数，)(xz )(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy 则称它们是则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数的二阶偏导数.按求导顺序不同按求导顺序不同,有下列四个二阶有下列四个二阶偏导数偏导数:22xz );,(yxfxx yxz 2),(y
10、xfyx);,(2yxfxyzxy x 其中第二、三个偏导数称为混合偏导数。类似可以定义其中第二、三个偏导数称为混合偏导数。类似可以定义更高阶的偏导数更高阶的偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数数例如，例如，关于关于 的三阶偏导数为的三阶偏导数为3322)(xzxzx 关于关于 的的 阶偏导数阶偏导数,再关于再关于 的一阶偏导的一阶偏导)(y yxznn 1数为数为11 nnxz),(yxfz x),(yxfz x1 ny三、复合函数与隐函数的求导法则（一）（一）复合函数的求导法则复合函数的求导法则（二）（二）隐函数的求导法则隐函数的求导法则 两端
11、两端对对 x 求导，求导，设方程设方程 F(x,y)=0 确定了函数确定了函数 y=y(x)，得得,0dd xyFFyx,0 yF若若则则.ddyxFFxy 这就是一元这就是一元 隐函数的求导公式隐函数的求导公式.两边分别对两边分别对 x，y 求导，求导，设方程设方程 F(x,y,z)=0 确定了隐函数确定了隐函数 z=z(x,y),若若 Fx，Fy，Fz 连续，连续，,0 zF且且得得,0 xzFFzx.0 yzFFzy这就是二元隐函数的求导公式这就是二元隐函数的求导公式.zyzxFFyzFFxz ,0,zF因为因为所以所以第三节 全微分及应用一、全微分的概念一、全微分的概念二、全微分的应用
12、二、全微分的应用 定义定义 如果函数如果函数 z=f (x,y)在定义域在定义域 D 的内点的内点P P(x,y),(),(yxfyyxxfz 可表示成可表示成,)(oyBxAz 其中其中 A,B 不依赖于不依赖于 x,y,仅与仅与 x,y 有关，有关，则称函数则称函数称为函数称为函数),(yxf在点在点(x,y)的的全微分全微分,记作记作yBxAfz dd若函数在域若函数在域 D 内各点都可微内各点都可微,22)()(yx f(x,y)在点在点P P(x,y)可微，可微，处的处的全增量全增量则称此函数在则称此函数在D D 内可微内可微.A xB y 一、全微分的概念二、全微分的应用第四节 多
13、元函数微分学的应用一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线一、空间曲线的切线与法平面设空间曲线的方程设空间曲线的方程()()(1)()xx tyy tzz tozyx(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.M.),(0000tttzzyyxxM 对应于对应于;),(0000ttzyxM 对应于对应于设设M 考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程zzzyyyxxx 000t t t 上式分母同除以上式分母同除以,t ozyxMM 割线割线 的方程为的方程为MM,000zzzyyyxxx ,0,时时即即当当
14、tMM曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程000000.()()()xxyyzzx ty tz t切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.000(),(),()Tx ty tz t法平面：过法平面：过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.000000()()()()()()0 x txxy tyyz tzz二、曲面的切平面与法线设曲面方程为设曲面方程为0),(zyxF000(),(),(),Tx ty tz t曲线在曲线在M处的切向量处的切向量在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通过点过点M的曲线的曲线():(),()xx tyy tzz tnTM)
15、,(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 令令则则,Tn 由于曲线是曲面上通过由于曲线是曲面上通过M的任意一条的任意一条曲线，它们在曲线，它们在M的切线都与同一向量的切线都与同一向量n垂直，故垂直，故曲面上通过曲面上通过M的一切曲线在点的一切曲线在点M的切线都在同一的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点平面上，这个平面称为曲面在点M的的切平面切平面.切平面方程为切平面方程为0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx 通通过过点点),(000zyxM而而垂垂直直于于切切平平面面的的直直线线称称为为曲曲面面在在该该点
16、点的的法法线线.法线方程为法线方程为),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx ),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 曲面在曲面在M处的法向量即处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.特殊地：空间曲面方程形为特殊地：空间曲面方程形为),(yxfz 曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(
17、zyxfzyxF 令令第五节 二元函数的极值与最值一、二元函数的极值一、二元函数的极值二、二元函数的最值二、二元函数的最值三、条件极值三、条件极值一、二元函数的极值 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域的某邻域内有定义，对于该邻域内异于内有定义，对于该邻域内异于 的点的点),(yx若满足不等式若满足不等式),(),(00yxfyxf，则则称函数在称函数在),(00yx有有极大值极大值；若满足不等式；若满足不等式),(),(00yxfyxf 则称函数在则称函数在),(00yx有有极极小值小值；极大值、极小值统称为极大值、极小值统称为极值极值使函数取得极值的点称为使函数取得极
18、值的点称为极值点极值点),(00yx),(yx),(00yx证证 不妨设不妨设定理定理1（必要条件）（必要条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx具有偏导数，且具有偏导数，且在点在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：然为零：0),(00 yxfx，0),(00 yxfy.),(yxfz 在点在点),(00yx处有极大值处有极大值,则对于则对于),(00yx的某邻域内任意的某邻域内任意都有都有),(yxf),(00yxf,类类似似地地可可证证 0),(00 yxfy.说明一元函数说明一元函数),(0yxf在在0 xx 处有极大值处有
19、极大值,必有必有 0),(00 yxfx;故当故当0yy ，0 xx 时，时，有有),(0yxf),(00yxf,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的均称为函数的驻点驻点.问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？例如例如,点点)0,0(是函数是函数xyz 的驻点，的驻点，但不是极值点但不是极值点.定理定理2（充分条件）（充分条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内连续，的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，有一阶及二阶连续偏导数，又又 0),(00 yxfx,0),(00
20、 yxfy，令令 Ayxfxx),(00，Byxfxy),(00，Cyxfyy),(00，则则),(yxf在点在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下：（1 1）02 BAC时具有极值，时具有极值，当当0 A时有极大值，时有极大值，当当0 A时有极小值；时有极小值；（2 2）02 BAC时没有极值；时没有极值；（3 3）02 BAC时可能有极值时可能有极值,也可能没有极值，也可能没有极值，还需另作讨论还需另作讨论,0),(yxfx0),(yxfy求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步骤：第一步第一步 解方程组解方程组求出实数解，得驻点求出实数解，得
21、驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步第三步 定出定出2BAC 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.二、二元函数的最值 求最值的一般方法：求最值的一般方法：将函数在将函数在D D内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在D D的边界的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值函数的最大值和最
22、小值.三、条件极值设二元函数设二元函数 z=f(x,y)和和 (x,y)在所考虑的区域在所考虑的区域内有连续的一阶偏导数，内有连续的一阶偏导数，且且 不同不同时为零，时为零，),(),(yxyxyx 、可用下面步骤来求：可用下面步骤来求：(1)构造辅助函数构造辅助函数,),(),(),(yxyxfyxF 称为称为拉格朗日函数拉格朗日函数，称为拉格朗日乘数；称为拉格朗日乘数；(2)解联立方程组解联立方程组 求函数求函数 在约束条件在约束条件 下下的极值，的极值，),(yxfz ),(yx 0 ,0 yF.0),(yx,0 xF 在实际问题中，往往就是在实际问题中，往往就是所求的极值点所求的极值点.即即,0),(),(yxyxfyy ,0),(yx 得可能的极值点得可能的极值点(x,y)，此法称拉格朗日乘数法此法称拉格朗日乘数法.,0),(),(yxyxfxx
