1、导学高等数学（上册）（慕课版）第三章 微分中值定理与导数的应用2第三章 微分中值定理与导数的应用 导数刻画了函数的一种局部特性为了利用导数来讨论函数在某个区间，本章主要内容包括：上的整体性态研究函数的单调性、极值、最值、凹凸性及拐点等需要建，立导数应用的理论基础微分中值定理它是联系函数与导数的桥梁.，微分中值定理；泰勒中值定理；洛必达法则；函数的单调性、极值和最值；曲线的凹凸性与拐点；弧微分与曲率.导学内容01中值定理导数的应用解决实际问题020301 导数4微分中值定理柯西中值定理拉格朗日中值定理特殊罗尔定理一般特殊微分中值定理是导数应用的理论基础泰勒中值定理n=0函数与各阶导数的桥梁导学内
2、容中值定理导数的应用解决实际问题03010202 导数的应用6理论基础应用拉格朗日中值定理函数的单调性函数的单调性极值最值局部与整体柯西中值定理洛必达法则0 0与未定式其它未定式转化02 导数的应用7研究函数工具函数的一阶导数函数的二阶导数渐近线正增负减正凹负凸水平渐近线垂直渐近线斜渐近线描绘函数图形导学内容中值定理导数的应用解决实际问题02010303 解决实际问题9实际问题生产实践工程技术最值最低成本最大利润最近距离等公路铁路设计桥梁、厂房的 钢梁等曲率曲率半径第一讲 微分中值定理高等数学（上册）（慕课版）第三章 微分中值定理与导数的应用本讲内容01罗尔定理拉格朗日中值定理02柯西中值定理
3、03一、罗尔定理12abABCxyOab。yxO(1),;a b 在闭区间上连续(2)(,);a b 在开区间内可导(3)()().f af b (,)0.a bf则使至少有一点得 ，(1)(2)注意：条件并非缺一不可；罗尔定理的条件充分而非必要.证明的关键是：是区间的内点(3).不唯一()yf x 满足若函数 定理3.1一、罗尔定理13(),()f xa bf x因为函数在闭区间上连续则，,.a bMm在上必有最大值和最小值于是(),(,)().Mmf xa ba bfx(1)若则在上恒为常数故在 内处处有0，()()Mmf af bmM(2)若因 则 与中至少有一个不等于端点的函数值，()
4、(,)Mf aa b不妨设即最大值不在两个端点处取得则在 内至少存在一点，,()(),()()0.xa bfMf xa bfxf 取因为是在上的最大值则，()(,)()()f xa bf xf因为在内可导所以在点处可导即存在而，().()0.fMf使得下证00()()()()()lim0()lim0 xxfxffxfffxx +，0.f所以 证一、罗尔定理14101100,nnna xa xaxxx若方程有一个正根1011()nnnf xa xa xax令，00()(0)00f xfx由条件且，0()0,f xx显然在区间上满足罗尔定理的条件，0(0,)()0 xf故存在使得，12011(1)
5、0nnna na na即12011(1)0nnna nxa nxa所以方程0.x 必有一个小于的正根120110(1)0.nnna nxa nxax证明方程必有一个小于的正根 1例 解本讲内容02罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理0301二、拉格朗日中值定理16ABCab xfy)()(afbf xOy yL x,;a b(1)在闭区间上连续(,)a b使得则 至少有一点，()()().f bf afba()()()().f bf afba或(2)(,);a b 在开区间内可导():yf x若函数 满足 定理3.2二、拉格朗日中值定理17()()0ab显然 ，(,),xa b 满足罗尔定理的
6、条件则至少 使得，.f bf afba即 ()f bf axf xL xf xf axaba构造函数：0f bf afLfba 证法一二、拉格朗日中值定理18(,),a b 则至少 使得 .f bf afba即 ()()()(),bf aaf bF aF bF xba且有满足罗尔定理的条件()()()()()(),()()f bf af bf aF xf xx F xfxbaba设 0f bf aFfba证法二二、拉格朗日中值定理190ln 1.1xxxxx证明当 时，()ln(1)0,f xxf xx设上在显然函数 ，(0,)x得满足拉格朗日中值定理故在使存，()(0)()(0)f xffx
7、，ln(1)(0,)1xxx即 ，(0,)0 xx当且时有，11xxxx，ln(1).1xxxx因此 1例 证本讲内容罗尔定理拉格朗日中值定理0201柯西中值定理03三、柯西中值定理21,;a b(1)在闭区间上连续(2)(,)();a bF x 在开区间内可导且0，()():f xxF、函数 满足若(,)a b使得则至少有一点，()()().()()()f bf afF bF aF定理3.3三、柯西中值定理22错误原因：(,)a b故使得()()f xF x由定理的条件可知、都满足拉格朗日定理的条件()()()()f bf afba两式相除得到定理的结论.()()()()F bF aFba.
8、不能保证两个函数由拉格朗日定理得到的是同一个点 证证 法错 误三、柯西中值定理23()()()()()()()()()()f bf aff bf akF bF aFF bF a要证明只需令，()()()()f bf akF bkF a则有即，()()()()f bkF bf akF a()()()fkxxF x 有构造辅助函数：令则，()()(),()()(),()()af akF abf bkF bab即()()(),f xxxkFa b所 以函数在区间上满足罗尔定理，(,)()0a b 故至少存在一点使得即，()()()()0,()()0()()f bf afkFfFF bF a.从而结论
9、得证 证三、柯西中值定理24利用这个方法证明拉格朗日中值定理也非常简单()()()()()f bf af bf afkbaba要证明令则，()()()()f bf akbkaf bkbf aka即，()()f xxkx构造辅助函数：令则有，()(),()(),()()af akabf bkbab即()(),xka bf xx所以函数在区间上满 足罗尔定理，(,)a b故至少存在一点，使得()()0.fk 成立从而结论得证，证第二讲 洛必达法则高等数学（上册）（慕课版）第三章 微分中值定理与导数的应用本讲内容01其他类型的未定式0200“”型未定式和“”型未定式2700一、“”型未定式和“”型未
10、定式0()()g xxf x，、在 的某去心邻域内有定义若设00(1)lim()0 lim()0;xxxxf xg x，0(2)()()()0;fg xxg xx，、在 的某去心邻域内可导 且0()(3)lim()()xxfxg x，存在 或无穷大00()()limlim.()()xxxxf xfxg xg x则=洛必达法则定理3.428定理3.5洛必达法则0()()g xfxx，、在 的某去心邻域内有定义 若设00(1)lim()lim();xxxxf xg x ，0(2)()()()0;fg xxg xx，、在 的某去心邻域内可导 且0()(3)lim()()xxfxg x，存在 或无穷大
11、00()()limlim.()()xxxxf xfxg xg x则=29(2)，若条件具备 洛必达法则可以连续多次使用 即(3)，洛必达法则和其它方法结合使用 简便为原则;000()()()limlimlim;()()()xxxxxxf xfxfxg xg xgx0(1)0洛必达法则仅适用于“”和“”；(4)，洛必达法则条件是充分而非必要 可能失效.注：sin1 coslimlimlim(1 cos)11xxxxxxxx如：极限不存在()第三个条件不满足22211limlimlim()1xxxxxxxxx循环3020()()2()()lim.hf ahf ahf afxxah，设在点附近连续
12、求极限0()()0fxfx，该极限为“”型未定式 因为存在 则存在200()()2()()()limlim2hhf ahf ahf afahfahhh00，利用洛必达法则 有0()()lim()2hfahfahfa00 1例 解3120()()2()()lim.hf ahf ahf afah，设存在 求极限0()()0fafx，该极限为“”型未定式 因为存在 则存在0()()()()lim2hfahfafafahh200()()2()()()limlim2hhf ahf ahf afahfahhh0000()()()()limlim22hhfahfafahfahh00()()()()limli
13、m22hhfahfafahfahh11()()().22fafafa 2例 解利用洛必达法则和导数的定义有32220ln(1)(),lim2.xxaxbxa bx试确定常数 使得220012ln(1)()1limlim2xxabxxaxbxxxx因为1,a 故且有20,lim2(2)10,xbxba xa 为使左边极限存在 须 202(2)1lim2,2(1)xbxba xaxx 20002(21)1 112(2)1 1limlimlim2(1)12xxxbxbxbxbxxxxx 2104(21)(21)lim2,22xbxbb5.2b 故 3例 解3321lime(1)xxxx求极限211l
14、ime(1)lime(1)limee1.xxxxxxxxxxxx 4例 解错 解3412221111110001(1)(1)lime(1)lime(1)limlimeetxtttxxttxtttttttx10001ln(1)11(1)limlnlim lnlimetttttttytt111(1)1(1)lnlneetttttyyt记 则200011ln(1)11limlimlim,22(1)2ttttttttttt 12e.故原式21lime(1)xxxx求极限 4例 正解351200000111(1)1 1ln(1)11lim lnlimlnlimln(1)1limlime22xxxxxxx
15、xxxyxxx xxx 而，1112(1),0,e()0.e,0,xxxxf xxx讨论函数在点 处的连续性111(1)1(1)lnlneexxxxxyyx，令则1200lim()e(0)lim()()0.xxf xff xf xx，故所以函数在连续 5例 解361112(1),0,e()0.e,0,xxxxf xxx讨论函数在点处的连续性21lim(1)比较与xxxxe.实际上是一个题目的两种设问方式02本讲内容其他类型的未定式00“”型未定式和“”型未定式01二、其他类型的未定式0000,0,10 ，“”型未定式须转化为“”和“”;001.lim()0 lim()xxxxf xg x ，设
16、则3800()0lim()()=lim (0)10()xxxxf xf xg xg x“”“”00()lim()()=lim (0)1()xxxxg xf xg xf x 或“”“”二、其他类型的未定式39()()ln()lim()ln()lim()limeeg xg xf xg xf xf x()()g xf x，无论是上述三种类型中的哪一种lim()ln()0g xf x均为“”型未定式.02.0“”通分化简后转化为“”或“”003.0,1 ，“”通过取对数转化二、其他类型的未定式210sinlim().1xxxx求极限“”402122sin1sinlnsinln(),lnlnxxxxxy
17、yxxxx记则20000cos1cos1lnsinlnsinsinlim lnlimlimlim22xxxxxxxxxxxxyxxx232000cossincossincossincoslimlimlim2sin26xxxxxxxxxxxxxxxxx2201lim.66xxx 21160sinlim()exxxx所以 6例解法一二、其他类型的未定式2122sinlnsin1(),lnxxxxyyxxx记 则41232000sin1sincos11limlimlim26xxxxxxxxxxx 22000sinsinlnln1(1)lim lnlimlimxxxxxxxyxx21160sinlim
18、()exxxx所以210sinlim().1xxxx求极限“”6例解法二第三讲 泰勒中值定理高等数学（上册）（慕课版）第三章 微分中值定理与导数的应用本讲内容麦克劳林公式泰勒中值定理几个重要初等函数的麦克劳林公式0302泰勒公式的应用0401一、泰勒中值定理44定理3.6 (泰勒中值定理)()20000000()()()()()()()()()2!nnnfxfxf xf xfxxxxxxxR xn，(3.1)0.xx其中 介于 与 之间泰勒公式拉格朗日余项0()(,)(1)(,)f xxa bnxa b，设函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数则对任意有(1)10()()(),(1)!nnnf
19、R xxxn其中一、泰勒中值定理45(1)100()()()()(1)!nnnfR xxxxxn在 与 之间拉格朗日形式的余项(1)1100()()()()(1)!(1)!nnnnfMR xxxxxnn()0000()()()().!knknkfxf xxxo xxk所以佩亚诺形式的余项一、泰勒中值定理46000()()()()()f xf xfxxxx在 与 之间(1)1()().(1)!nnnfxR xxn则余项 注1.0n 当时泰勒公式变成拉氏中值公式，02.0,0(01)xxx取在 与 之间令，03.0(01)xx当时取得麦克劳林公式.，本讲内容麦克劳林公式泰勒中值定理几个重要初等函数
20、的麦克劳林公式0301泰勒公式的应用0402二、麦克劳林公式48(,)xa b则对任意有().f xn称为函数的 阶带拉格朗日型余项的麦克劳林公式()2(0)(0)()(0)(0)()2!nnnfff xffxxxo xn (3.6)定理3.7二、麦克劳林公式49(3.5)(3.6)由和可得近似公式()2(0)(0)()(0)(0)2!nnnffP xffxxxn右端多项式记作()2(0)(0)()(0)(0)2!nnfff xffxxxn()(0)(0,1,2,).!kkfaknk1().(1)!nnMR xxn误差估计式：()f xn称为的 阶麦克劳林多项式其系数为，本讲内容麦克劳林公式泰
21、勒中值定理几个重要初等函数的麦克劳林公式0102泰勒公式的应用0403三、几个重要初等函数的麦克劳林公式51235212224e1(),(,)2!sin(1)(),(,)3!521!cos12!4nxnnnnxxxo xxnxxxxxo xxnxxx ！22123112(1)(),(,)2!ln(1)(1)(),(1,123111(),1nnnnnnnnxo xxnxxxxxo xxnxxxo xx ！2 (1,1)(1)(1)(1)(1)1(),(1,1)2!mnnxm mm mmnxmxxxo xxm 本讲内容麦克劳林公式泰勒中值定理几个重要初等函数的麦克劳林公式030102泰勒公式的应用
22、04四、泰勒公式的应用53()23(2)(2)(2)ln(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)2!3!nnnfffxffxxxxo xn12333111(1)ln2(2)(2)(2)(2)(2).223 22nnnnxxxxo xn()ln(2)().f xxxn求函数按 的幂展开的 阶泰勒公式 佩亚诺型余项 1例 解法一11()()(1)(1)!(1)(1)!(),(2),2因为所以nnnnnnnnfxfx四、泰勒公式的应用54 解法二利用间接展开()ln(2)().f xxxn求函数按 的幂展开的 阶泰勒公式 佩亚诺型余项 1例四、泰勒公式的应用55424e1()2!xxxo x 23
23、4ln(1)()23xxxxo x244cos1()24!xxxo x 因为2220coselim.ln(1)利用泰勒公式求极限xxxxxx 2例 解四、泰勒公式的应用56所以22242244220022211()1()24!222coselimlimln(1)1()2xxxxxxxo xo xxxxxxxxxo x 4444400444111()1()14!81212limlim.111()6()222xxo xxo xxo xxo xx244234244cos1(),e1(),ln(1)()24!2!23因为xxxxxxxo xxo xxxo x 解2220coselim.ln(1)利用泰
24、勒公式求极限xxxxxx 2例四、泰勒公式的应用571()(1)!(0).2nnnfn所以2()()ln(1)0(0)(3).求函数在点处的 阶导数nf xxxxnfn 3例 解()31(0)(1)(1)!22nnnfnnn故，四、泰勒公式的应用58(0),(0)(0).fff求及的值3322301()(0)(0)(0)()3!2limxxxo xxffxfxo xx30sin()limxxxf xx因为3233011(0)(0)(1(0)()26limxfxfxfxo xx22011(0)(0)(1(0)26lim.xfxfxfx30sin()1()0lim2xxxf xf xxx，设在点的
25、某个邻域内二阶可导且 4例 解四、泰勒公式的应用59根据题意可知因而必有(0),(0)(0).fff求及的值30sin()1()0lim2xxxf xf xxx，设在点的某个邻域内二阶可导且 4例22011(0)(0)(1(0)126lim2xfxfxfx，4(0)1(0)0(0).3fff，故 111(0)1(0)0(0)262fff，第四讲 函数的单调性、极值和最值高等数学（上册）（慕课版）第三章 微分中值定理与导数的应用本讲内容函数的极值函数的单调性函数的最值030201一、函数的单调性62更一般性的结论：(1)()0()fxf xI，则函数在 上单调增加；(2)()0()fxf xI，
26、则函数在 上单调减少.()()0()0()f xIfxfx，设函数在区间 内可导 若 或 等号仅在有限个点处成立()f xI则函数在 内单调增加或单调减少.()f xIxI，设函数在区间 上可导对一切有定理3.8一、函数的单调性63(1)()f x确定的定义域；(2)()()()0fxf xfx，求并求出单调区间所有可能的分界点 包括、()f x，导数不存在的点、的间断点 并根据分界点把定义域分成相应的区间；(3)()fx，判断一阶导数在各区间内的符号 从而判断函数在各区间中的单调性.讨论单调性的步骤:一、函数的单调性64(),)()0,(0)0.f xfxf，设函数在 0上二阶可导 且2()
27、()()()()()()()xfxf xF xg xxfxf xg xxfxx，令则()()0,).f xF xx试证明：函数在上单调增加0()0()(0)(0)0 xg xg xgf ，由题意可知 当时故22()()()()0(0)xfxf xg xF xxxx，所以(),)F x故函数在 0上单调增加.1例 证本讲内容函数的极值函数的单调性函数的最值030102二、函数的极值66注00()(,)(,)f xxU xU x，0设函数在点 的某邻域 内有定义 若对于 内0 xx异于 的点 都满足：000()()()f xf xf xx，（1）则称为函数的极大值 称作极大值点；000()()()
28、f xf xf xx，（2）则称为函数的极小值 称作极小值点.，极大值和极小值统称为函数的极值 取得极值的点称作极值点.（1）函数极值的概念是局部性的；，（2）极值只能在区间内部取得 不能在区间端点取得.定义3.1二、函数的极值67极值存在的必要条件00()()0.yf xxxfx，若可导函数在点 取得极值 则点 必是驻点 即(3).驻点和导数不存在的点都有可能是极值点(2)函数在不可导点处也可以能取得极值;(1)函数的驻点不一定是极值点；定理3.9说明：二、函数的极值680()(,)f xxxU x，o00设函数在点处连续 在 的某去心邻域 内可导 若满足：0000(1)()0()0 xxx
29、fxxxxfx，当时；当 时()f xx0则在点处取得极大值；0000(2)()0()0 xxxfxxxxfx，当时；当 时()f xx0则在点处取得极小值；0(3)()xxfx，当 在 点左右临近取值时的符号不发生改变；()f xx0则在点处不取得极值.极值存在的第一充分条件定理3.10二、函数的极值69求极值的步骤:(2)()fx，求并求出函数的驻点、导数不存在的点；(1)确定函数的连续区间；(3)利用极值存在的第一充分条件依次判断这些点是否为函数的极值点；(4)，求出各极值点处的函数值 即得函数的全部极值.二、函数的极值70定理3.10极值存在的第二充分条件()()0f xxfx，00设
30、函数在点处二阶可导 且 则(2)()0()()fxf xf x，00若则是的极小值；(1)()0()()fxf xf x，00若则是的极大值；(3)()0()fxf x，00若可能是极值也可能不是极值.()0fx，0对情形(1)由于根据二阶导数定义有()()()lim0.xxfxfxfxxx0000()()0.fxfxxx00 xx，0根据函数极限的局部保号性 当在的足够小的去心邻域内时 证二、函数的极值71()()00.fxfxxx，00但所以上式即()xfxxx，0对于去心邻域内的 与 符号相反 因此0()0;xxxxfx，00当即 时0()0,xxxxfx，00当即 时()f xx，0于
31、是根据极值存在的第一充分条件可知 在点 处取得极大值.(2).同理可证二、函数的极值722()()lim1.()xaf xf axaxa ，设则在点 处 ()()0()f xfaf x，A.的导数存在 且 B.取得极大值()()f xf xC.取得极小值 D.的导数不存在2()()()()lim1lim()0.()xaxaf xf af xf afaxaxa，因为 所以0 即2()()0()()0()f xf aaf xf axa，又在 的某一去心邻域内有 即()f xxa所以在 处取得极大值.故应选B.2例 解二、函数的极值731()sinsin333af xaxxx，试问 为何值时 函数在
32、处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.0coscos02.33faa，故即所以()2sin3sin3303fxxxf ，又()coscos33fxaxxx，由条件可知由于函数在处取得极值12sinsin3.333f因此为极大值 3例 解本讲内容函数的极值函数的单调性函数的最值010203三、函数的最值751.闭区间上函数的最值.2 实际应用中的最值0(),f xx，实际问题中 若函数 的定义域是开区间 且在开区间内有唯一驻点.，根据实际问题可知最值必定存在 则唯一驻点即为最值点(1)求出函数所有可能极值点：驻点和导数不存在的点；(2)求出函数在驻点、导数不存在的点和区间端点的函数值；(
33、3)，比较这些函数值的大小 最大者即最大值 最小者即最小值.步骤:(),f xa b若函数在闭区间上连续三、函数的最值76a，将边长为 的一正方形铁皮 四角各截去一个大小相同的小正方形 然后将，四边折起做一个无盖的方盒.问截掉的小正方形边长多大时 所得方盒容积最大？2xax，设截掉的小正方形边长为 则方盒底面是边长为 的正方形220,.2ayx axx，故方盒容积为1260().6aayxaxaxx，2令得驻点舍去2，又驻点唯一 故极大值点就是最大值点 即14066aayax，由此时知为极大值点6a，截掉的小正方形边长为时 所得方盒容积最大.4例 解第五讲 曲线的凹凸性及函数作图高等数学（上册
34、）（慕课版）第三章 微分中值定理与导数的应用本讲内容曲线的渐近线曲线的凹凸性与拐点0201一、曲线的凹凸性与拐点79()xxf122221xfxf1x2x1xf2xfxy1()f xIIxx，2设函数在区间 上连续 对 上任意两点 和总有1212()()22 xxf xf xfI，则称在区间 上的图形是凹的如下图；定义3.2一、曲线的凹凸性与拐点80若总有221xfxf12()2xxf1x2x2xf1xfxy1212()()22 xxf xf xfI，则称在区间 上的图形是凸的 如下图.一、曲线的凹凸性与拐点81注：，连续曲线上凹凸区间的分界点 称为曲线的拐点.00(1)(,).()xf x，
35、拐点是曲线上的点 应以坐标点 表示(2)0注意跟极值点表示形式的不同.xx定义3.3一、曲线的凹凸性与拐点82(2)(,)()0,(),xa bfxf xa b，若对则在上的图形是凸的.(1)(,)()0,(),xa bfxf xa b，若对则在上的图形是凹的；(),(,)f xa ba b，设在上连续 在内二阶可导 那么(1)确定函数的连续区间；(2)，求出函数的二阶导数 并解出二阶导数为零的点和二阶导数不存在的(3)，依次判断每个区间上的二阶导数的符号 利用定理3.12判断每个区间，点 划分连续区间；，的凹凸性 并进一步求出拐点坐标.定理3.12求函数凹凸区间和拐点的步骤：一、曲线的凹凸性
36、与拐点8322ln求曲线在其拐点处的切线方程.yxx2220,(1)222(1)220,(1)0,(01)xxyxyxxxxx，先求拐点：11(141,)xy，由时此得唯一拐点当14143().yxyx，即于是拐点处切线方程为 1例 解一、曲线的凹凸性与拐点84000()0,()0,而试？否问是为函数的极值点fxfxxxxyf00?()?,为什么 又是否为曲线的拐点 为什么xf x0(),由于在的某邻域内具有三阶连续的导数yf xxx0()0,fx00000()()()0,()lim0不妨设即xxfxfxfxfxxx，由保号性定理00,(,)xU x，使得当时00()()0,fxfxxx00(
37、)()0,的某邻域内具有三设阶连续的导数 如果在yf xxxfx 2例 解一、曲线的凹凸性与拐点8500()()0,0而 因此fxfxxx00(,)()0 xxxfx，当时；00(,().xf x，因此是曲线的拐点00(,)()0(),xxxfxfx，又当时单调减少00(,)()0.xx xfx，当时00()0()0.fxxxfx，且则时必有0.因此不是函数的极值点xx00(,)()0(),xx xfxfx，当时单调增加00()0()0.fxxxfx，且则时必有本讲内容曲线的渐近线曲线的凹凸性与拐点0201二、曲线的渐近线87，如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时 该点与某条直线的距离趋于零.
38、则称此直线为曲线的渐近线()lim()lim()xxyf xf xbf xb，若曲线的定义域是无限区间 且有 或().ybyf x，则直线为曲线的渐近线 称为水平渐近线定义3.41.水平渐近线二、曲线的渐近线88lim()lim()().xaxaf xf xxayf x ，如果或 则直线 为曲线 的铅直渐近线()()yf xxa，若曲线在点的一个去心邻域 或左邻域 或右邻域 中有定义lim()()0().xf xkxbykxbyf x，若则直线 为曲线 的斜渐近线()lim,lim().xxf xkf xkxbx，其中2.铅直渐近线.3斜渐近线二、曲线的渐近线891ln(1).曲线e 渐近线条
39、数为 xyx0A.B.1 C.2 D.321ln(1 e)elimlim0lim11 exxxxxxyxxx，又1limlimln(1 e)0ln100.xxxyxyx，又故时有水平渐近线11 elim()lim()limln(1 e)lne 0lim ln0exxxxxxxxyxyxx，0010.limlimln(1 e)0.xxxxyxx ，只有间断点由于故为垂直渐近线.故时有斜渐近线xyx.故应选D 3例 解第六讲 弧微分与曲率高等数学（上册）（慕课版）第三章 微分中值定理与导数的应用本讲内容曲率弧微分曲率半径与曲率圆030201一、弧微分92()()曲线上的弧值函数yf xss x()
40、(,),设在内有连续导数f xa b000(,)作为度量弧长的基点;Mxy.x规定：增大的方向为曲线的正向xfy Oxy0M0 xMx定义一、弧微分93(,),对曲线上任一点M x y0M Ms规定有向弧段的值：,的绝对值为弧段的长度s0;s，当方向与曲线的正向一致时0,s，当方向与曲线的正向相反时().sxss x，显然是 的函数且单调增加()yfxOxy0M0 xMx一、弧微分94?弧微分公式ds()ddss xx0d()limd先求的导数xssss xxx,在 处给自变量 一增量xxx?sx xfy oxy0M0 xMxM y x xx,相应的有向弧段的值 有增量ss00sM MM MM
41、M ssMMMMMMxxxMMx与总是同号的sx一、弧微分95 xfy oxy0M0 xMxM y x xx0limddxssxx 21y0时xMM，0lim,xyyx 21ddsyx222MMxyMMx 20lim1xMMyMMx lim1MMMMMM弧微分公式本讲内容曲率弧微分曲率半径与曲率圆030201二、曲率97描述：曲线的弯曲程度.1M2M2N1N2121NNMM 212 1 1M2M3M3221MMMM21 1.定义3.5 曲率二、曲率98曲线的弯曲程度与下列两个量有关：（1）切线转过的角度；（2）弧段的长度.曲率：单位弧长上切线所转过的角度.MM s 0MOxy.MMs，设的长度
42、为切线转过的角度为二、曲率99 MM s 0MOxy的平均弯曲程度-MMsKs0limsKs 0limss，若存在 则ddKs?K M曲线在点 处的曲率：平均曲率的极限 平均曲率：二、曲率100直线的曲率：0,0,s oxys MM 0lim0.ddsKss 圆的曲率：oxyMM D a ,sMDMa 1,sa01lim.ddsKssa 二、曲率101 MM s 0MOxy2.曲率计算公式322(1)yKyddKs?dds(),()ss xxddddsxx21ddsyx?ddx分析二、曲率102tan,y MM s 0MOxy()yf x2dsecdyx.222d.dsec1tan1yyyxy
43、2d1d又syx证明322ddd.ddd(1)ysKxxsy二、曲率103()()设曲线的参数方程为xtyt3/222()()()()()()ttttKtt二、曲率104(sin)(0).(1 cos)2计在处的曲摆率算线xa ttatyat()cos()sinx taaty tat，根据摆线方程可得故d()sin()cotd()1 cos2yy ttty xxx tt，2222dd1111()cot.dd2()(1 cos)(1 cos)2sin2yty xtxtx tatat 322121.2241ytyytKaay，故时，所以在处例 解本讲内容曲率弧微分曲率半径与曲率圆030102三、曲
44、率半径与曲率圆106()(,)0(0)1.1yf xM x yKyMDMDKDMDK，设曲线在点处的曲率 即在点 处作曲线的法线如图所示 法线指向曲线凹的一侧 在此侧的法线上取一点 使 以 为圆心为半径作圆 称这个圆为曲线在点 处的曲率圆 它的半径称为曲率半径 圆心 为曲率中心.y=f(x)yOxMD=K1三、曲率半径与曲率圆107注：(1)MM，曲率圆与曲线在点 处有相同的切线与曲率 且在点的临近有相同的导数值和二阶导数值.M，弯曲方向 从而曲率圆与曲线所对应的函数在点 有相同的函数值 一阶(2)M，在工程设计中 一般可用曲率圆在点 附近的一段弧近似代替曲线弧.本章小结高等数学（上册）（慕课
45、版）第三章 微分中值定理与导数的应用108本章小结01知识点归纳教学要求和学习建议02 2 教学要求和学习建议110微分中值定理与导数的应用微分中值定理拉格朗日中值定理单调性、极值与最值凹凸性与拐点渐近线弧微分与曲率导数的应用证明单调性的判别方法不等式恒等式罗尔定理证明方程根的存在性柯西中值定理洛必达法则泰勒定理多项式函数与近似复杂函数误差函数与各阶导数桥梁一般特殊n=0特殊推导小结01知识点归纳教学要求和学习建议02 2 教学要求和学习建议112（1）理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西（Cauchy）中值定理掌握用
46、洛必达法则求未定式极限的方法（2）理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用（3）会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形（4）了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.（5）2 教学要求和学习建议113微分中值定理与导数的应用微分中值定理拉格朗日中值定理单调性、极值与最值凹凸性与拐点渐近线弧微分与曲率导数的应用罗尔定理柯西中值定理泰勒定理洛必达法则理解了解会用罗尔定理和拉格朗日中值定理会用柯西中值定理掌握理解了解掌握洛必达法则求极限方法会用泰勒定理熟练掌握并会用会计算曲率和曲率半径学海无涯，祝你成功！高等数学（上册）（慕课版）
