1、1一、一、变量可分离方程的求解变量可分离方程的求解当当 ()0g y 方程（方程（2.2.12.2.1）两边同除以）两边同除以 ()g y得得()()dyf x dxg y这样对上式两边积分得到这样对上式两边积分得到()()dyf x dxCg y例例2.2.12.2.1求微分方程求微分方程32dyxydx的通解。的通解。2注：求方程通解时，我们假设注：求方程通解时，我们假设 ()0g y 若若 ()0g y 时得时得 y 值也可能为方程的解。值也可能为方程的解。解：变量分离后得解：变量分离后得.23xdxdyy上式两边积分得上式两边积分得.ln2121cxy整理得整理得22144(ln)(l
2、n)yxccx其中其中.1cec 该解在该解在0 x无定义无定义,故通解在故通解在Rxx,0中有定义中有定义.()0g y 所以要考虑所以要考虑 的情况，的情况，该方程对应的解我们称为常数解该方程对应的解我们称为常数解.3例例 2.2.22.2.2 求微分方程求微分方程)101(xxdtdx的通解的通解.解解:变形为变形为dtxxdx)101(积分得积分得:1)101(Cdtxxdx求积分得求积分得:110lnCtxx解得解得:tCeexx1104记记,21CeC则则.0,11022CeCxt因为因为0)101(xx可得可得.10,0 xx故所有的解为故所有的解为:.10,0,1102xxeC
3、xt5解解 ,d2d112xxyyCxy 2arcsin),sin(2Cxy 通解：通解：的所有解。的所有解。求方程求方程212ddyxxy 时，时，当当1 y示）。示）。也是解（不能用通解表也是解（不能用通解表另另1 y6二、二、齐次方程齐次方程齐次函数齐次函数:函数函数),(yxf称为称为m次齐次函数次齐次函数,如果如果.0),(),(tyxfttytxfm齐次方程齐次方程:形如形如()dyyFdxx的方程称为齐次方程的方程称为齐次方程。引入一个新变量化为变量可引入一个新变量化为变量可分离方程。分离方程。求解思想求解思想:7例例2.2.3 2.2.3 求下面初始值问题求下面初始值问题22(
4、)(1)0yxydxxdyy解：方程为齐次方程，令解：方程为齐次方程，令yxz求导后得求导后得21dzxzdx分离变量得分离变量得211dzdxxz事实上事实上,令令,xyz 则则.,dxdzxzdxdyxzy故有故有).(zFdxdzxz即即.)(zzFdxdzx8积分上式得积分上式得2ln1lnlnzzxC用用 yzx代入得代入得21zzCx221yyCxxx利用初始条件利用初始条件(1)0y可定出可定出 代入上式解出代入上式解出 21(1)2yx1C9 求解微分方程求解微分方程.0dcosd)cos(yxyxxxyyx，令令xyz ，zxxzyddd ,0)dd(cosd)cos(zxx
5、zzxxzzxx,ddcosxxzz ,lnsinCxz .lnsinCxxy 微分方程通解：微分方程通解：解解10 解方程解方程解解 改写方程：改写方程：22ddyxxyxy 齐次方程齐次方程,xyz 令令,zxy 则则xzxzxydddd 方程变为：方程变为：,1dd2zzxzxz xxzzzd1d132 两边积分：两边积分：,lnln212Cxzz 2)/(1/xyxy .xyz 回代回代 xyFxydd0d)(d22 yyxxyx.ln222Cyyx 11分析分析.,求求解解比比较较方方便便的的函函数数看看作作把把yx解解 yxdd,yxz 令令zyx 则则,ddddyzyzyx 方程
6、变为方程变为 yzyzdd)1(11 zze 齐次方程齐次方程 yxFyxdd).1(11 yxyxe的通解。的通解。求方程求方程yyxxyyxed)(d)1(12两边积分两边积分Cyzzelnln)(ln Czyze )(通解：通解：Cyxyxe 分离变量分离变量yyzzzzeed1d1 )1(11dd zyzyzze13三、三、可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程)(222111cybxacybxafdxdy 形如形如的方程可化为齐次方程的方程可化为齐次方程.其中其中222111,cbacba都是常数都是常数.1.当当021 cc时时,此方程就是齐次方程此方程就是齐次方程.2.当当02
7、221 cc时时,并且并且(1)02211 baba14此时二元方程组此时二元方程组 00222111cybxacybxa有惟一解有惟一解.,kyhx 引入新变量引入新变量.,kYyhXx 此时此时,方程可化为齐次方程方程可化为齐次方程:).(2211YbXaYbXafdXdY 15(2)若若02211 baba则存在实数则存在实数,使得使得:,1212bbaa 或者有或者有.,2121bbaa 不妨是前者不妨是前者,则方程可变为则方程可变为).)(211111cybxacybxafdxdy 令令,11ybxaz 则则).(1czczfbadxdybadxdz 163.对特殊方程对特殊方程)(
8、cbyaxfdxdy 令令,byaxz 则则).(czbfadxdz 17例例2.2.42.2.4求方程求方程 的通解。的通解。13dyxydxxy解：解方程组解：解方程组 1030 xyxy 得得 12xy 令令 1,2xuyv代入原方程可得到齐次方程代入原方程可得到齐次方程dvuvdxuv令令 vuz得得211dzzudxz1821arctanln(1)ln2zzuC还原后得原方程通解为还原后得原方程通解为222arctanln(1)(2)1yxyCx变量分离后积分变量分离后积分2(1)1z dzduzu19.31dd的通解的通解求求 yxyxxy解解,021111 0301khkh2,1
9、 kh.2,1 YyXx令令,ddYXYXXY 代入原方程得代入原方程得，令令XYu 非齐次型方程非齐次型方程.方程组方程组齐次型方程齐次型方程.XuXudd方程变为方程变为,11uu ，XuY 20,11dduuXuXu 分离变量法得分离变量法得,)12(22CuuX ,222CXXYY 回代，回代，将将2,1 yYxX原方程通解原方程通解,)1()2)(1(2)2(22Cxyxy .62222Cyxyxyx XYu .21 YyXx21例例:雪球融化问题雪球融化问题设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且融化过程中它始终为球体，该雪球在例，且融化过
10、程中它始终为球体，该雪球在开始时的半径为开始时的半径为6 6cm cm，经过经过2 2小时后，其半径缩小时后，其半径缩小为小为3 3cmcm。求雪球的体积随时间变化的关系。求雪球的体积随时间变化的关系。解解:设设t t 时刻雪球的体积为时刻雪球的体积为()V t，表面积为，表面积为()S t()()dV tkS tdt 球体与表面积的关系为球体与表面积的关系为 122333()(4)3S tV2.2.32.2.3变量可分离方程的应用变量可分离方程的应用22引入新常数引入新常数 1233(4)3rk再利用题中的条件得再利用题中的条件得23dVrVdx(0)288V(2)36V分离变量积分得方程得
11、通解为分离变量积分得方程得通解为31()()27V tCrt再利用条件再利用条件(0)288V(2)36V确定出常数确定出常数C C和和r r代入关系式得代入关系式得 3()(123)6V ttt t的取值在的取值在 0,4之间。之间。23游船上的传染病人数游船上的传染病人数.一只游船上有一只游船上有800人人,12小时后有小时后有3人发病人发病.故感染者不能被及时隔离故感染者不能被及时隔离.设传染病的传播速度与受感染的人数及设传染病的传播速度与受感染的人数及未受感染的人数之积成正比未受感染的人数之积成正比.一名游客患了某种传染病一名游客患了某种传染病,由于这种传染病没有早期症状由于这种传染病
12、没有早期症状,直升机将在直升机将在60至至72小时小时将疫苗运到将疫苗运到,试估算疫苗运到时患此传染病的人数试估算疫苗运到时患此传染病的人数.解解 设设y(t)表示发现首例病人后表示发现首例病人后 t 小时的小时的感染人数。感染人数。),800(ddyykxy 其中其中k 0为比例常数为比例常数.可分离变量微分方程可分离变量微分方程,1)0(y初始条件初始条件:3)12(y24,dd800118001tkyyy 两边积分两边积分,1ln800)800ln(lnCtkyy 通解通解Cytktkee 800800800,1)0(y3)12(y),800(ddyykxy 分离变量分离变量,d)800
13、(dtkyyy .1800800tkeC tkeCyy8001800 25直升机将在直升机将在60至至72小时将疫苗运到小时将疫苗运到,试估算疫苗运到时患此传染病的人数。试估算疫苗运到时患此传染病的人数。)60(y)72(y,18879918006009176.0 e.38579918007209176.0 e.7991800)(09176.0tety 1)0(y.799 C3)12(y k8002397799ln121.09176.0，tkeCy8001800 26车灯的反射镜面车灯的反射镜面-旋转抛物面旋转抛物面解解轴轴设设旋旋转转轴轴 ox),0,0(光源在光源在)(:xyyL 上任一点
14、，上任一点，为为设设LyxM),(,:yMT 斜率斜率切线切线,1:yMN 斜率斜率法线法线,2MPRMOR xyMTNQLPOR，122 yyxy，2)/1(1/2yyxy 27，令令yxz yzyzdd两边积分两边积分Czzyln)1ln(ln2 .1)(22 yxyxy）（,22yyxyy ,1)(dd2 yxyxxy,1)(dd2 yxyxyx,1dd2zzyy ，122 yyxy,12zz 28,222zyCCy ,yxz 代回代回)2(2xCCy 抛物线抛物线所求旋转抛物面方程：所求旋转抛物面方程：).2(22xCCzy ),1()(222 zCCzy),1(2 zzCyCzzyln)1ln(ln2 平方化简，平方化简，29精品课件精品课件！30精品课件精品课件！31P.50 1（1，4，5，9，15）2（1，3），6作 业
