1、电容计算举例 例1 平行板电容器由两块面积为S，相隔距离为d的平行导体板组成，极板间填充介电常数为r0的电介质，求电容量。电 容 器 截 面 图21)(CzCz其解为Uddzz)(,0)0(,0边界条件zdUz)(解：忽略电场的边缘效应，拉普拉斯方程简化为：解：忽略电场的边缘效应，拉普拉斯方程简化为：极板间的电场强度为极板间的电场强度为电通密度为电通密度为dUeDzdUeEzdUDdUSSQdSUQC电容为电容为电 容 器 截 面 图022dzd例2-28 半径分别为a和b的同轴电缆，外加电压U，如图所示，圆柱面电极间在图示0角部分充满介电常数为1 的介质，其余部分为介质2，求电缆单位长度上的
2、电容量。解：两个区域的电位解：两个区域的电位方程均方程均为：为：BrAln21ab12021由边界条件0)()(,)()(,2121bbbrUaaar0ln)(ln)(BbAbUBaAabbaUBbaUAlnln,lnrbabUlnln21erabrUEEln21012rrrrabUln)2(0201rnDD111 内导体表面单位长度上的电荷量)2(0201aaq)2(0201aDaDrr单位长度的电容为单位长度的电容为abUqCln)2(0201rnDD222ab1212reabrUEDln1111reabrUEDln2222abUabUln2ln0201例2-282.多导体系统的部分电容
3、NNNNNNNNNNqqqqqqqqq22112222121212121111多导体系统NNNNNNNNNNqqq22112222121212121111iNiiiiijijCC21和引入符号)()()0()()()(1121121101121121112111NNNNNCCCq)0()()()()0()()()()0(02211222220122121121121101NNNNNNNNNNCCCqCCCqCCCq同理有00221122220202121211121210101NNNNNNNNNNUCUCUCqUCUCUCqUCUCUCq等效电容等效电容120C20C10C12三导体系统三导体
4、系统与左图相对偶的电导网络与左图相对偶的电导网络2010201012CCCCCCeq等效电导等效电导2010201012GGGGGGeq等效电容等效电容120G20G10G12静电屏蔽静电屏蔽 电场的最基本特征是对静止的电荷有作用力，即对任一种电电场的最基本特征是对静止的电荷有作用力，即对任一种电荷分布总存在着与之相关联的力系统，因此也就有与之相关联的荷分布总存在着与之相关联的力系统，因此也就有与之相关联的能量储存在系统中，在静态条件下带电体系的能量完全以势能形能量储存在系统中，在静态条件下带电体系的能量完全以势能形式存在着，称为静电能。式存在着，称为静电能。2.5.2 静电能量 静电场参数计
5、算之二电场能量的来源电场能量的来源?由建立电荷系统的过程中外界的能源提供。如电源、外力由建立电荷系统的过程中外界的能源提供。如电源、外力1.点电荷系统的电场能量表达式nkkkeqW121nkjjkjnkkq,1121nkjjkjjnkkRqq,11421点电荷系统的相互作用能点电荷系统的相互作用能2.分布电荷系统的静电能量 对于某体积单元对于某体积单元dV，其电位为，其电位为 ，送入微分电荷，送入微分电荷(d )dV，能量增量为能量增量为()(d )dV。dVdWVe 设系统完全建立时，最终的电荷分布为设系统完全建立时，最终的电荷分布为,电位函数为电位函数为。如果。如果在充电过程中使各点的电荷
6、密度按其最终值的同一比例因子在充电过程中使各点的电荷密度按其最终值的同一比例因子增加增加,则各点的电位也按同一因子增加。则各点的电位也按同一因子增加。整个空间增加的能量为整个空间增加的能量为 整个充电过程中增加的能量就是系统增加的总能量，为整个充电过程中增加的能量就是系统增加的总能量，为VVedVdVdW2110VedVW21(2-83a)若是带电导体系统，每个导体的电位为常数若是带电导体系统，每个导体的电位为常数 若电荷分布在表面上，其面密度为若电荷分布在表面上，其面密度为，则，则SedSW21iiSiieqdSWi2121(2-83b)nkkkeqW121(2-82)对于点电荷系统对于点电
7、荷系统nkkkeqW121nkjjkjnkkq,1121nkjjkjjnkkRqq,11421可推导出静电能量的另一表示式可推导出静电能量的另一表示式SSdDVdVDD21静电能量的分布静电能量的分布VedVW21由由E DdVDWVe21DDD)(P334VSdVDESdD2121SdAdVASV高斯散度定理高斯散度定理231RR01RR对于场源在有限范围内分布的情况，取无限大空间作为积分区域，则对于场源在有限范围内分布的情况，取无限大空间作为积分区域，则(2-84)VedVEDW21EDwe21静电能量体静电能量体 密度密度221Ewe对于线性各向同性介质对于线性各向同性介质VedVEW2
8、2121是否代表电场能量的体密度？(2-85)静电能量的计算小结静电能量的计算小结VedVW21(2-83a)SedSW21(2-83b)nkkkeqW121(2-82)(2-84)VedVEDW21点电荷系统的相互作用能点电荷系统的相互作用能V，S指场源所在区域（有限）指场源所在区域（有限）V指整个场域（无限大）指整个场域（无限大）例2-28续 部分填充介质的同轴线，求介质与空气中单位长度内的电场能量，已知部分填充介质的同轴线，求介质与空气中单位长度内的电场能量，已知同轴线内导体电位同轴线内导体电位1=U0，外导体电位为零，外导体电位为零。ab12021解法一：由前面例由前面例2-28可知，
9、内导体单位长度上的电荷量为可知，内导体单位长度上的电荷量为01221121212121UqqqqWiie0201012lnabUq2002012021ln2ln21UCababUWe单位长度内的电场能量单位长度内的电场能量单位长度上的电容单位长度上的电容abUqCln)2(0201解法二：解法二：由例由例2-28可知，空气和介质中的电场强度相等可知，空气和介质中的电场强度相等 空气和介质中的能量密度空气和介质中的能量密度abrUEwe22201211ln2121对场空间体积分对场空间体积分,得单位长度的电场能量为得单位长度的电场能量为 2022021212121babaeerdrdErdrdE
10、WWW2002012021)2(ln121UCabUabrUEwe22202222ln2121abUWCeln)2(2020120rabrUeEln02.5.3 电场力电场力虚位移法虚位移法EqF点电荷的电场力点电荷的电场力虚位移法的理论依据是能量守恒虚位移法的理论依据是能量守恒 对某多导体系统，假设系统内某一导体因受静电力对某多导体系统，假设系统内某一导体因受静电力F的作用引的作用引起某种位移起某种位移dg，则静电力所作的功为，则静电力所作的功为Fdg。该位移使得该导体与其他该位移使得该导体与其他所有所有导体之间的相对位置发生改变，导体之间的相对位置发生改变，导体的电位亦发生变化，则系统的静
11、电能量随之变化为导体的电位亦发生变化，则系统的静电能量随之变化为dgWe。按照能量守恒的原理，这两项能量的改变应由电源提供按照能量守恒的原理，这两项能量的改变应由电源提供dgW。dgW=dgWe+Fdg1.常电位系统常电位系统电场能量的增量为电场能量的增量为 假定导体系统内各导体保持与外加电源相连，此时各导体的假定导体系统内各导体保持与外加电源相连，此时各导体的电位保持为常数，如某一导体发生位移，则必然引起所有导体上电位保持为常数，如某一导体发生位移，则必然引起所有导体上的电荷量变化。故外界电源所作的功为的电荷量变化。故外界电源所作的功为 故电源提供的能量一半用于电场储能，另一半用于静电力故电
12、源提供的能量一半用于电场储能，另一半用于静电力作功，这时静电力计算为作功，这时静电力计算为kgkgqdWdkgkegqdWd21常数kdgWdFegegkgkeggWdqdWdWdFdg21常数kgWFe 假定半径为假定半径为R的孤立导体球的电位的孤立导体球的电位=U=常数，总的静电能量为常数，总的静电能量为qUqWe2121静电力静电力URU04212021421URR202RU202U220421RE例例2.孤立导体球孤立导体球常电位常电位常数kUeRW常数kgWFe22202)4(ERRqURRRqRERqR)(4)(4)(2002021Ewfe2.常电荷系统常电荷系统 假定导体系统内各
13、导体与外加电源不相连，此时各导体的电假定导体系统内各导体与外加电源不相连，此时各导体的电荷保持为常数，此时外界电源不作功，荷保持为常数，此时外界电源不作功，dgW=0。此时电场能量的增量全部用于静电力作功，这时静电力为此时电场能量的增量全部用于静电力作功，这时静电力为常数kqegdgWdF 如某一导体发生位移如某一导体发生位移dg，则必然引起所有导体上的电位的变，则必然引起所有导体上的电位的变化，从而引起电场能量的改变。化，从而引起电场能量的改变。0=dgWe+Fdg力的方向如何判断？力的方向如何判断？F0，力的方向沿位移增加的方向力的方向沿位移增加的方向F0，力的方向沿位移减小的方向力的方向
14、沿位移减小的方向常数kqegWF例例3.孤立导体球孤立导体球常电荷常电荷 如一半径为如一半径为R的孤立导体球充电后与电源断开，这时带电量的孤立导体球充电后与电源断开，这时带电量q为常量，设无限远处电位为零。则总的静电能量为为常量，设无限远处电位为零。则总的静电能量为RqqWe0242121常数kqegWF常数kqeRW2028Rq2021Ewfe220421RERRRqRERqR)(4)(4)(200ED21法拉第观点法拉第观点例例2-33ad1d2AB1221021ddUE1221012ddUE)(221211221202122221211eddSUSdESdEW12dddddSUdW111
15、220211e2)(2)(2211220212122121212202121const1e)(2)(2)(2)(0ddSUddSUdWFU22112202121)(2)(ddUf令 单位面积上的力为单位面积上的力为例例2-33b+QS1S2-QAB221121SSQEEh1h2222112211222221211e)(2)(2121SShhSQShEShEW22211212121e)(2)()(SShhSQhW22211221const1e)(2)(SSSQhWFQ22211221)(2)(SSQf令 单位面积上的力为单位面积上的力为12hhh电场力的方向总是由介电常数大的一面指向介电常数小的
16、一面，或者说介电常数大的介质总是试图将介电常数小的介质推离自己，从而扩大自己的空间，即以大欺小。例例2-31常数kqegWF0420151910aaWkqe常数介质球受力=？RaR062052092452212220121ed21d21VVVEVEWrrrarrrRRd4321d432122203000220常数kqegWF00420206204209)(29292aRaRRWaRqek常数静电场计算小结静电场计算小结 静电场分析计算的类型：静电场分析计算的类型：第一类第一类：给定空间的电荷分布，求电位和电场的分布。给定空间的电荷分布，求电位和电场的分布。对于对于这这一类问题的求解，可以应用静电场中的积一类问题的求解，可以应用静电场中的积分方程，即分方程，即VVdRRrrE30)(41)(VRVd041 对于某些对称场的问题，可直接应用高斯定理中对于某些对称场的问题，可直接应用高斯定理中求解。求解。qSdDS
