1、四、四、旋转体的侧面积旋转体的侧面积(补充补充)三、已知平行截面面积函数的三、已知平行截面面积函数的 立体体积立体体积第二节一、一、平面图形的面积平面图形的面积二、二、平面曲线的弧长平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用 第六六章 一、平面图形的面积一、平面图形的面积1.直角坐标情形直角坐标情形设曲线)0()(xfy与直线)(,babxax及 x 轴所围曲则xxfAd)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(边梯形面积为 A,右下图所示图形面积为 yobxa)(2xfy)(1xfy xxfxfAbad)()(21xxxd例例1.计算两条抛物线22,xyxy在第一象限所围所围图形的面
2、积.xxy 2oy2xy xxxd解解:由xy 22xy 得交点)1,1(,)0,0()1,1(1xxxAdd22332x01331x3110Axxy22oy4 xy例例2.计算抛物线xy22与直线的面积.解解:由xy224 xy得交点)4,8(,)2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所围图形)2,2(221yy442361y为简便计算,选取 y 作积分变量,则有yyyd42Aabxoyx例例3.求椭圆12222byax解解:利用对称性,xyAdd所围图形的面积.有axyA0d4利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax应用定积分换元法得024Atbsinttad)
3、sin(202dsin4ttbaba4212ba当 a=b 时得圆面积公式xxdoyxab一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程)()(tytx给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值21,tt则曲边梯形面积21d)()(tttttA)(1axt对应例例4.求由摆线)cos1(,)sin(tayttax)0(a的一拱与 x 轴所围平面图形的面积.)cos1(tadA解解:ttad)cos1(ttad)cos1(2022ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20Axyoa22.极坐标情形极坐标情形,0)(,)(C设求由曲线
4、)(r及,射线围成的曲边扇形的面积.)(r x d在区间,上任取小区间d,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2A所求曲边扇形的面积为d)(212A 对应 从 0 变例例5.计算阿基米德螺线解解:)0(aarxa 2o dd)(212a20A22a331022334a到 2 所围图形面积.ttadcos82042例例6.计算心形线所围图形的面积.解解:)0()cos1(aarxa2o dd)cos1(2122a02A02ad2cos44(利用对称性)2t令28a43212223aoxya心形线心形线(外摆线的一种)2222yxaxayx即)cos1(ar点击图中任意点动画开始或暂
5、停 尖点:)0,0(面积:223a 弧长:a8参数的几何意义2coscos21)2cos1(21aa2oxyd)cos1(2122a例例7.计算心形线与圆所围图形的面积.解解:利用对称性,)0()cos1(aar2221aA22221aad)2cos21cos223(所求面积)243(2122aa22245aa ar 2a2sin2a例例8.求双纽线所围图形面积.解解:利用对称性,2cos22ard2cos212a404A402a)2(d2cos0则所求面积为42a思考思考:用定积分表示该双纽线与圆sin2ar 所围公共部分的面积.2Adsin2026ad2cos21462ayox44答案答案
6、:二、平面曲线的弧长二、平面曲线的弧长定义定义:若在弧 AB 上任意作内接折线,0M1iMiMnMAByox当折线段的最大边长 0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧 AB 的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.ni 10lims则称sdyxabo(1)曲线弧由直角坐标方程给出:)()(bxaxfy)(xfy 弧长元素(弧微分):xxxdxyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs(2)曲线弧由参数方程给出:)()()(ttytx弧长元素(弧微分):因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()
7、(2222)(d)(ddyxs(3)曲线弧由极坐标方程给出:)()(rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(弧微分):)ch(cxccxccsh1例例9.两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量,)(chbxbcxcy成悬链线.求这一段弧长.解解:xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxc sh20bcbcsh22chxxeex)(chx2shxxeex)(sh xxshxchcxbboy下垂悬链线方程为例例10.求连续曲线段ttyxdcos2解解:,0cosx22xxysd1222的弧
8、长.xxd)cos(12202xxd2cos22200sin22222x4例例11.计算摆线)cos1()sin(tayttax)0(a一拱)20(t的弧长.解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1(22tata22sintdttad)cos1(2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8xyoa2d222aa例例12.求阿基米德螺线相应于 02一段的弧长.解解:)0(aarxa2oar d)()(22rrsdd12 ad1202as(P349 公式39)212a21ln2102)412ln(24122aa三三、已知平行截面面积函数的立体体积、已知平行截面
9、面积函数的立体体积设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),)(baxA在则对应于小区间d,xxx的体积元素为xxAVd)(d因此所求立体体积为xxAVbad)(xabxxxd)(xA上连续,xyoabxyoab)(xfy 特别,当考虑连续曲线段2)(xf轴旋转一周围成的立体体积时,有轴绕xbxaxfy)()(xdbaV当考虑连续曲线段)()(dycyx绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有2)(yyddcVxxoy)(yxcdyayxb例例13.计算由椭圆12222byax所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积.解解:方法方法1 利用直角坐标方程)(22axaxaaby则xxaaba
10、d)(220222(利用对称性)3222312xxaab0a234aboaV02xy d2x方法方法2 利用椭圆参数方程tbytaxsincos则xyVad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特别当b=a 时,就得半径为a 的球体的体积.343axyoa2例例14.计算摆线)cos1()sin(tayttax)0(a的一拱与 y0所围成的图形分别绕 x 轴,y 轴旋转而成的立体体积.解解:绕 x 轴旋转而成的体积为xyVaxd202利用对称性利用对称性2022)cos1(tattad)cos1(ttad)cos1(2033ttad2sin16063uuadsin3220
11、63332 a6543212325aay)2(tu 令xyoa2a绕 y 轴旋转而成的体积为)cos1()sin(tayttax)0(aa2yyxVayd)(202222)sin(ttattadsin2yyxad)(2021)(2yxx 22)sin(ttattadsin0注意上下限!2023dsin)sin(tttta336a注注)(1yxx 分部积分对称关于2注注202dsin)sin(tttt20322d)sinsin2sin(tttttt)(tu令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用“偶倍奇零”)0dsin4uuu02dsin4uu24uudsin820222
12、184226例例15.一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心,并与底面交成 角,222Ryx解解:如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.oRxyxoRxy思考思考:可否选择 y 作积分变量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?),(yx)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22星形线星形线taytax33sin,cosa星形线是内摆线的一种.t大圆半径 Ra小圆
13、半径4ar 参数的几何意义(当小圆在圆内沿圆周滚动时,小圆上的定点的轨迹为是内摆线)内容小结内容小结1.平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2.平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意注意:求弧长时积分上下限必须上大下小21d)()(tttttAd)(212A3.已知平行截面面面积函数的立体体积baxxAVd)(旋转体的体积2)(yxA绕 x 轴:2)(xxA 绕 y 轴:)(xyy 思考与练习思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s.提示提示:交点为,)3,9(,)1,1(yAd 312yx 032 yxyxo13y)32(y2y332yd 31241yyd 31221弧线段部分直线段部分)52ln()376ln(4155373s以 x 为积分变量,则要分两段积分,故以 y 为积分变量.2.试用定积分求圆)()(222bRRbyx绕 x 轴oxyRbR上上半圆为22xRby下下222)(xRb222)(xRbRV02xdbR222求体积:提示提示:利用对称性旋转而成的环体体积 V.
