1、第四节一元复合函数)(),(xuufy求导法则xuuyxydddddd本节内容本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分xxufuufyd)()(d)(d微分法则多元复合函数的求导法则)(),(ttfz一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则定理定理.若函数,)(,)(可导在点ttvtu),(vufz 处偏导连续,),(vu在点在点 t 可导,tvvztuuztzddddddz则复合函数证证:设 t 取增量t,vvzuuzz)()(22vu)(o则相应中间变量且有链式法则vutt有增量u,v,0t令
2、,0,0vu则有to)(全导数公式全导数公式)tvvztuuztzto)(zvutt)()(22vu)(o )()(22tvtu0(t0 时,根式前加“”号)tvtvtutudd,ddtvvztuuztzdddddd若定理中 说明说明:),(),(vuvuf在点例如例如:),(vufztvtu,易知:,0)0,0()0,0(ufuz但复合函数),(ttfz 21ddtztvvztuuzdddd010100)0,0()0,0(vfvz偏导数连续偏导数连续减弱为偏导数存在偏导数存在,2t0,22222vuvuvu,0022vu则定理结论不一定成立.推广推广:1)中间变量多于两个的情形.例如,),(
3、wvufz 设下面所涉及的函数都可微.tzdd321fff2)中间变量是多元函数的情形.例如,),(,),(,),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz)(,)(,)(twtvtu又如,),(,),(yxvvxfz当它们都具有可微条件时,有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意:这里xzxfxz表示固定 y 对 x 求导,xf表示固定 v 对 x 求导xfxvvfyvvf与不同,v例例1.设设,sinyxvyxuvezu.,yzxz求zvuyxyx例例2.,sin,),(22
4、22yxzezyxfuzyxyuxu,求zyxyxu例例3.设,sintvuz.ddtzztvutt求全导数,teu,costv 为简便起见,引入记号,2121vuffuff),(1zyxzyxf例例4.设 f 具有二阶连续偏导数,),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解:令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy则zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff(当 在二、三象限时,)xyarctan例例5.设二阶偏导数连续,求下列表达式在),(yxfu 22
5、2222)2(,)()()1(yuxuyuxu解解:已知sin,cosryrxuryxyx极坐标系下的形式xrruxu(1),则xyyxrarctan,22rxru,rxxr x2xy2)(1xy22yxyxu2ryururusincosyuyrru2221)(1,yxxyryyrxyxrurucossinyu22222)(1)()()(urruyuxuryru2rxuuryxyx 已知rsin)(rurusincos)(xux 22)2(xururuxusincosuryxyx)(rxu)(xururusincos222cosru2cossinrucosrsinxurrucossin2222
6、2sinru2rru2sin2cos)(r注意利用注意利用已有公式已有公式22yu2222yuxu21r22xu22222222sincossin2cosrurrururruru22sincossin2rruru22coscossin2同理可得22ru2221urrur 122)(ururrr22222222coscossin2sinrurruru二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分设函数),(,),(,),(yxvyxuvufz的全微分为yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可见无论 u,v 是自变量还是中间变量,)dd(yyuxxu)d
7、d(yyvxxv则复合函数)(fz),(,),(yxyxudvzvd都可微,其全微分表达 形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.)cos()sin(yxyxeyx例例1.,sinyxvyxuvezu.,yzxz求例例 6.利用全微分形式不变性再解例1.解解:)(dd zuveudsin)cos()sin(yxyxyeyx)cos()sin(yxyxyexzyx)cos()sin(yxyxxeyzyx所以veusinvveudcos )cos()sin(yxyxeyx)(dyx)(dyx )cos()sin(yxyxxeyx)d(dyx xdyd)dd(yxxy内容小结内容小结
8、1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如例如,),(,),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22.全微分形式不变性,),(vufz 对不论 u,v 是自变量还是因变量,vvufuvufzvud),(d),(d思考与练习思考与练习解答提示解答提示:P31 题7vz2)(11yx1 vxxzyzvy)(2yx)1(y12)(11yx22yxxy22vuuP85 题7;8(2);P131 题11vuyvuxyxz,arctanP82 题8(2)xuy11f 11fyyu1f)(2yx2f z1zu2f)(2zy2121fzfyx22fzyzyyxfu,1f xzye1f 2f yxz2ye11f yex2ye13f yex21f 23f P131题 11yexuyxufz,),(yxz2求：
