1、一阶线性微分方程 第四节一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程二、伯努利方程二、伯努利方程 一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxQyxPxy若 Q(x)0,0)(ddyxPxy若 Q(x)0,称为非齐次方程非齐次方程.1.解齐次方程分离变量xxPyyd)(d两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPeCyd)(称为齐次方程齐次方程;对应齐次方程通解xxPeCyd)(齐次方程通解非齐次方程特解xxPCed)(2.解非齐次方程)()(ddxQyxPxy用常数变易法常数变易法:,)()(d)(xxPexuxy则xxPeud)()(xPxxPeud)
2、()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即作变换xxPeuxPd)()(xxPexQxud)()(ddCxexQuxxPd)(d)(两端积分得例例1.解方程.)1(12dd25xxyxy解解:先解,012ddxyxy即1d2dxxyy积分得,ln1ln2lnCxy即2)1(xCy用常数变易法常数变易法求特解.令,)1()(2xxuy则)1(2)1(2 xuxuy代入非齐次方程得21)1(xu解得Cxu23)1(32故原方程通解为Cxxy232)1(32)1(例例2.求方程的通解.232/xxyxy)()(ddxQyxPxy
3、例例3.求方程yxxy 1dd的通解.内容小结内容小结1.一阶线性方程)()(ddxQyxPxy方法1 先解齐次方程,再用常数变易法.方法2 用通解公式CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(,1 nyu令化为线性方程求解.2.伯努利方程nyxQyxPxy)()(dd)1,0(n思考与练习思考与练习判别下列方程类型:xyyxyxyxdddd)1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxy提示提示:xxyyydd1 可分离 变量方程xyxyxylndd齐次方程221dd2xyxxy线性方程221dd2yxyyx线性方程(雅各布第一 伯努利)书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利伯努利(1654 1705)瑞士数学家,位数学家.标和极坐标下的曲率半径公式,1695年 版了他的巨著猜度术,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多 1694年他首次给出了直角坐 1713年出 这是组合数学与概率论史此外,他对双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究.
