1、常系数 第七节齐次线性微分方程 基本思路:求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根转化二阶常系数齐次线性微分方程:),(0为常数qpyqypy xrey 和它的导数只差常数因子,代入得0)(2xre qprr02qrpr称为微分方程的特征方程特征方程,1.当042qp时,有两个相异实根,21r,r方程有两个线性无关的特解:,11xrey,22xrey 因此方程的通解为xrxreCeCy2121(r 为待定常数),xrer函数为常数时因为,所以令的解为 则微分其根称为特征根特征根.2.当042qp时,特征方程有两个相等实根21rr 则微分方程有一个特解)(12xuyy 设另一特解(
2、u(x)待定)代入方程得:1xre)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根0 u取 u=x,则得,12xrexy 因此原方程的通解为xrexCCy1)(21,2p.11xrey)(1xuexr0)()2(1211 uqrprupru3.当042qp时,特征方程有一对共轭复根irir21,这时原方程有两个复数解:xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex 利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:)(21211yyy)(21212yyyixexcosxexsin因此原方程的通解为)sincos(21xCxCeyx小结小结:),(0
3、为常数qpyqypy,02qrpr特征方程:xrxreCeCy212121,:rr特征根21rr 实根 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.若特征方程含 k 重复根,ir若特征方程含 k 重实根 r,则其通解中必含对应项xrkkexCxCC)(121xxCxCCekkxcos)(121sin)(121xxDxDDkk则其通解中必含对应项)(01)1(1)(均为常数knnnnayayayay特征方程:0111nnnnararar),(均为任意常数以上iiDC推广推广:例例1.032 yyy求方程的
4、通解.解解:特征方程,0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解为xxeCeCy321例例2.求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解:特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解为tetCCs)(21利用初始条件得,41C于是所求初值问题的解为tets)24(22C例例3.052)4(yyy求方程的通解.解解:特征方程,052234rrr特征根:irrr21,04,321因此原方程通解为xCCy21)2sin2cos(43xCxCex例例4.0)4()5(yy解方程解解:特征方程:,045rr特征根:1,054321rrrrr原方程通解:1Cy
5、xC223xC34xCxeC5(不难看出,原方程有特解),132xexxx02)(22222rr例例5.)0(0dd444wxw解方程解解:特征方程:44r即0)2)(2(2222rrrr其根为),1(22,1ir)1(24,3ir方程通解:xew2)2sin2cos(21xCxCxe2)2sin2cos(43xCxC例例6.02)4(yyy解方程解解:特征方程:01224rr0)1(22r即特征根为,2,1irir4,3则方程通解:xxCCycos)(31xxCCsin)(42内容小结内容小结),(0为常数qpyqypy 特征根:21,rr(1)当时,通解为xrxreCeCy212121rr
6、(2)当时,通解为xrexCCy1)(2121rr(3)当时,通解为)sincos(21xCxCeyxir2,1可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.思考与练习思考与练习 求方程0 yay的通解.答案答案:0a通解为xCCy21:0a通解为xaCxaCysincos21:0a通解为xaxaeCeCy21Ex:,2cos,2,321xyexyeyxx求一个以xy2sin34为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.解解:根据给定的特解知特征方程有根:,121 rrir24,3因此特征方程为2)1(r0)4(2r即04852234rrrr04852)4(yyyyy故所求方程为其通解为xCxCexCCyx2sin2cos)(4321
