1、第五节第五节 一、近似计算一、近似计算 二、欧拉公式二、欧拉公式函数幂级数展开式的应用函数幂级数展开式的应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、近似计算一、近似计算mxxm1)1(2!2)1(xmmnxnnmmm!)1()1()11(x例例1.计算5240.104 32r8231!254112331!3594116431!451494181181131256)31511(3240459926.200741.03的近似值,精确到282811811131!254134105.013431518231!254112331!35941解解:553243240514)1(331机动 目录 上页 下
2、页 返回 结束)11(432)1ln(432xxxxxx例例2.计算2ln的近似值,使准确到.104解解:已知)11(432)1ln(432xxxxxx故)1ln()1ln(11lnxxxx5351312xxx令211xx得7533171315131313122ln)11(x,31x于是有机动 目录 上页 下页 返回 结束 9431912r211)91(91132911111327533171315131313122ln6931.01131111133113193414102.0787321在上述展开式中取前四项,机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:在展开式xx11ln中,令121n
3、x53)121(51)121(3112121lnnnnnn得)1ln(n具此递推公式可求出任意正整数的对数.如53)91(51)91(319122ln25ln6094.1(n为自然数),53)121(51)121(311212lnnnnn5351312xxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 753)20(!71)20(!51)20(!312020sin例例3.利用,!3sin3xxx求9sin误差.解解:先把角度化为弧度9(弧度)52)20(!51r5)2.0(120151031!3sin3xxx!55x!77x000646.0157080.03)20(!312020sin误差不超过 510
4、的近似值,并估计91802015643.0机动 目录 上页 下页 返回 结束(取 例例4.计算积分xexd21201的近似值,精确到)56419.01解解:12xe!)1(20nxnnn)(xxexd22210 xd 2210!)1(20nxnnn0!)1(2nnnxxnd2021.104!1)(2x!2)(22x!3)(32x0 !)1(2nnn1221n)12(n机动 目录 上页 下页 返回 结束!3721!252132111642xdex22102!3721!252132111642nnnnr22)12(!1141042102)12(!nnn则 n 应满足4nxexd22120则所求积分
5、近似值为欲使截断误差5205.0,4n取机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.计算积分xxxdsin10的近似值,精确到.104解解:由于,1sinlim0 xxx故所给积分不是广义积分.若定义被积函数在 x=0 处的值为 1,则它在积分区间!)12()1(!7!5!31sin2642nxxxxxxnnxxxdsin101!331!551!)12()12()1(nnn3r00167.005556.01上连续,且有幂级数展开式:!7714103.03528019461.0机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、欧拉二、欧拉(Euler)公式公式)(1nnnviu 则称 收敛收敛,且其和为)
6、(1nnnviu 绝对收敛,1nnu)(1nnnviu 收敛.,1uunn,1vvnn若nnnviu 1.viu 221nnnvu 收敛,若对复数项级数,22nnnvuu22nnnvuv1nnv绝对收敛则称 绝对收敛绝对收敛.由于,故知 欧拉 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义:复变量yixz的指数函数为)(!1!2112zznzzenz易证它在整个复平面上绝对收敛.当 y=0 时,它与实指数函数xe当 x=0 时,nyiyinyiyiyie)(!1)(!31)(!21132nnynyy242!)2()1(!41!211iycos12153!)12()1(!51!31nnynyyyyi s
7、in的幂级数展式一致.机动 目录 上页 下页 返回 结束 xixexisincosxixexisincos（欧拉公式）2cosxixieex（也称欧拉公式）利用欧拉公式可得复数的指数形式rxxyyoyixzyixzsincosirier则ieexxixi2sin机动 目录 上页 下页 返回 结束 据此可得ni)sin(cosninsincos(德莫弗公式德莫弗公式)利用幂级数的乘法,不难验证2121zzzzeee特别有yixe)sin(cosyiyex),(Ryxyixeyixee)sin(cosyiyexxerxxyyoyixz第六节 目录 上页 下页 返回 结束 欧拉欧拉(1707 1783)瑞士数学家.他写了大量数学经典著作,如无穷小分析引论,微 还写了大量力学,几何学,变分法教材.他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文.他的最大贡献是扩展了微积分的领域,要分支(如无穷级数,微分方程)与微分几何的产生和发展奠定了基础.分学原理,积分学原理等,为分析学的重在数学的许多分支中都有以他的名 字命名的重要常数,公式和定理.机动 目录 上页 下页 返回 结束
