1、 本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念阵的秩的概念,并提出求秩的有效方并提出求秩的有效方 法再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性法再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，并介绍线性方程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法内容丰用初等变换解线性方程组的方法内容丰富，难度较大富，难度较大.引例引例)1(求解线性方程组求解线性方程组 ,97963,42264,42,224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1342分析：用消元
2、法解下列方程组的过程分析：用消元法解下列方程组的过程2 解解)(1B)1()(2B2 132 ,97963,232,22,424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx13422 132 33 14 ,3433,6355,0222,424324324324321xxxxxxxxxxxxx1342)(3B)(4B ,3,62,0,42444324321xxxxxxxxx13425 221 33 422 ,00,3,0,4244324321xxxxxxxx134232 443用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：于是解得于是解得 33443231xxxxx.3为任意取值
3、为任意取值其中其中x方程组的解可记作方程组的解可记作或令或令,3cx ,3344321 cccxxxxx.为任意常数为任意常数其中其中c 30340111cx即即（2）小结：小结：1上述解方程组的方法称为消元上述解方程组的方法称为消元法法 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换下三种变换（1）交换方程次序；）交换方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k倍倍ij（与相互替换）（与相互替换）（以替换）（以替换）ik ij（以替换）（以替换）ik i3上述三种变换都是可逆
4、的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换变换是同解变换ji)(A若若),(B)(B则则);(Ajik)(A若若),(Bji)(A若若),(Bik)(B则则);(Aik)(B则则).(Ak ji因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算算若记若记 97963422644121121112)(bAB则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的变
5、换完全可以转换为对矩阵B(方方程组（程组（1）的增广矩阵）的变换）的增广矩阵）的变换定义定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换:）；）；记作记作两行两行对调两行（对调对调两行（对调jirrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以数数 k）记作记作行乘行乘（第（第krkii,.3 ）记记作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的对对应应的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 定义定义2 矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统称统称为为初等变换初等变换 初等变换的逆变
6、换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类且变换类型相同型相同 同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是所用记号是把把“r”换成换成“c”)jirr kri 逆变换逆变换;jirr 逆变换逆变换;)1(krkrii 或或jikrr 逆变换逆变换.)(jijikrrrkr 或或等价关系的性质：等价关系的性质：；反身性反身性）（A A 1A;B ,B A 2则则若若对称性对称性）（C.AC,BB,A 3则则若若）传递性）传递性（等价，记作等价，记作与与就称矩阵就称矩阵，矩阵矩阵经有限次初等变换变成经有限次初等变换变成如果矩阵如果矩阵BABABA具有上述三条性质的关
7、系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价例如，两个线性方程组同解，例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价就称这两个线性方程组等价用矩阵的初等行变换用矩阵的初等行变换 解方程组（解方程组（1）：）：97963422644121121112B197963211322111241211B 21rr 23 r331000620000111041211B 979632113221112412111B13322rrrr 143rr 234330635500222041211B 13322rrrr 143rr 23252rrr 243rr 5 00000310003011040101B 3100
8、06200001110412113B43rr 342rr 4 00000310000111041211B 43rr 342rr 21rr 32rr 对对应应的的方方程程组组为为5B 33443231xxxxx方程组的解可记作方程组的解可记作或令或令,3cx 3344321cccxxxxx 30340111c.为为任任意意常常数数其其中中c.54都都称称为为行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵和和矩矩阵阵BB特点：特点：（1）、可划出）、可划出一条阶梯线，线一条阶梯线，线的下方全为零；的下方全为零；5 00000310003011040101B （2）、每个）、每个台阶台阶 只有一行，只有一行，台阶数即是非
9、零行的行数，阶梯线的竖线后面台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元零元.1 5的的其其他他元元素素都都为为零零列列，且且这这些些非非零零元元所所在在的的零零行行的的第第一一个个非非零零元元为为即即非非还还称称为为行行最最简简形形矩矩阵阵，行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵B.,A nm和和行行最最简简形形变变换换把把他他变变为为行行阶阶梯梯形形总总可可经经过过有有限限次次初初等等行行对对于于任任何何矩矩阵阵 注意：注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组
10、唯一确定的阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形准形 000003100030110401015 B214ccc 3215334cccc 例如，例如，F 00000001000001000001 0000030100310104100143 cc 00000301003001040001.的的标标准准形形称称为为矩矩阵阵矩矩阵阵BF.为零为零阵，其余元素全阵，其余元素全的左上角是一个单位矩的左上角是一个单位矩F标标准准形形总总可可经经过过初初等等变变换换化化为为矩矩阵阵 Anm nmrOOOEF .,的行数的行数
11、行阶梯形矩阵中非零行行阶梯形矩阵中非零行就是就是三个数唯一确定，其中三个数唯一确定，其中此标准形由此标准形由rrnm特点：特点：所有与矩阵所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，等价的矩阵组成的一个集合，称为一个称为一个等价类等价类，标准形，标准形 是这个等价类中最简是这个等价类中最简单的矩阵单的矩阵.AF定义定义 由单位矩阵由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵阵称为初等矩阵.E三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等变换对应着三种初等方阵.矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛用广泛.一、初等矩阵的概念一、初等矩阵
12、的概念 行（列）上去行（列）上去乘某行（列）加到另一乘某行（列）加到另一以数以数乘某行或某列；乘某行或某列；以数以数对调两行或两列；对调两行或两列；kk.30.2.1，得得初初等等方方阵阵两两行行，即即中中第第对对调调)(,jirrjiE对调两行或两列对调两行或两列、1 1101111011),(jiE行行第第 i行行第第 j，得，得左乘左乘阶初等矩阵阶初等矩阵用用nmijmaAjiEm )(),(mnmminiijnjjnmaaaaaaaaaaaaAjiE21212111211),(行行第第 i行行第第 j).(jirrjiAA行对调行对调行与第行与第的第的第把把：施行第一种初等行变换施行第
13、一种初等行变换相当于对矩阵相当于对矩阵，右右乘乘矩矩阵阵阶阶初初等等矩矩阵阵以以类类似似地地，AjiEnn),(mnmimjmnijnijnaaaaaaaaaaaajiAE12222111111),().(jiccjiAA列对调列对调列与第列与第的第的第把把：施行第一种初等列变换施行第一种初等列变换相当于对矩阵相当于对矩阵 02乘某行或某列乘某行或某列、以数、以数 k).()(0 kiEkriki矩阵矩阵，得初等，得初等行行乘单位矩阵的第乘单位矩阵的第以数以数 1111)(kkiE行行第第 i；行行的第的第乘乘相当于以数相当于以数)(kriAki mnmminiinmaaakakakaaaaA
14、kiE212111211)(行行第第 i类类似似地地，左乘矩阵左乘矩阵以以AkiEm)().()(kciAkAkiEin 列列的第的第乘乘相当于以数相当于以数，其结果，其结果矩阵矩阵右乘右乘以以上去上去列列加到另一行加到另一行列列乘某行乘某行、以数、以数)()(03 k，列列上上列列加加到到第第的的第第乘乘或或以以行行上上行行加加到到第第的的第第乘乘以以)()(ijjikccjiEkkrrijEk 1111)(kkijE行行第第i行行第第j，左左乘乘矩矩阵阵以以AkijEm)(mnmmjnjjjninjijinmaaaaaaaakaakaaaaaAkijE2121221111211)().(j
15、ikrrikjA 行行上上加加到到第第行行乘乘的的第第把把 ).()(ijnkccjkiAAkijE 列上列上加到第加到第列乘列乘的第的第把把，其结果相当于，其结果相当于右乘矩阵右乘矩阵类似地，以类似地，以 mnmjmjmimnjjinjjinaakaaaaakaaaaakaaakijAE1222221111111)(定理定理1 1 设设 是一个是一个 矩阵，对矩阵，对 施行一施行一次初等行变换，相当于在次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于施行一次初等列变换，相当于在在 的右边乘以相应的的右边乘以相应的 阶初等矩阵阶
16、初等矩阵.nm mnAAAAA二、初等矩阵的应用二、初等矩阵的应用初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵 ),(),(1；则则的的逆逆变变换换是是其其本本身身，变变换换jiEjiErrji );1()(11kiEkiEkrkrii 则则，的的逆逆变变换换为为变变换换.)()()(1kijEkijErkrkrrjiji 则则，的的逆逆变变换换为为变变换换 定理定理2 2 设设A A为可逆方阵，则存在有限个初等为可逆方阵，则存在有限个初等方阵方阵.,2121llPPPAPPP 使使证证,EA使使即存在有限个初等方阵即存在有限个初等方阵,21lPPPAPEPPPPl
17、rr 121.PPPAl21 即即.,:BPAQQnPmBAnm 使使阶可逆方阵阶可逆方阵及及阶可逆方阵阶可逆方阵存在存在的充分必要条件是的充分必要条件是矩阵矩阵推论推论,AE 经经有有限限次次初初等等变变换换可可变变故故利用初等变换求逆阵的方法：利用初等变换求逆阵的方法：，有，有时，由时，由当当lPPPAA21 0 ,11111EAPPPll ,111111 AEPPPll及及 EPPPAPPPllll1111111111 1 AE EAPPPll11111 .)(2 1 AEEAEAnn就就变变成成时时，原原来来的的变变成成当当把把施施行行初初等等行行变变换换，矩矩阵阵即即对对.,3431
18、22321 1 AA求求设设 解解例例 103620012520001321 100343010122001321EA122rr 133rr 21rr 23rr 11110001252001120121rr 23rr 111100563020231001312rr 325rr 312rr 325rr ）（22 r）（13 r.111253232311 A 11110025323010231001）（22 r）（13 r.1BA 矩阵矩阵的方法，还可用于求的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵利用初等行变换求逆阵E)()(11BAEBAA )(BABA1 即即初等行变换初等行变换例例.34135
19、2,343122321 ,BABAXX，其中，其中使使求矩阵求矩阵解解.1BAXA 可逆，则可逆，则若若 343431312252321)(BA 1226209152052321 311009152041201 311006402023001122rr 133rr 21rr 23rr 312rr 325rr ，311003201023001.313223 X）（22 r）（13 r 311006402023001312rr 325rr .1 CAY即可得即可得作初等行变换，作初等行变换，也可改为对也可改为对),(TTCA,1作初等列变换，作初等列变换，则可对矩阵则可对矩阵如果要求如果要求 CA
20、CAY,CA 1 CAE列变换列变换),)(,(),1TTTTCAECA（列变换列变换TT1C)(AYT即可得即可得,C)(T1 TA.Y即可求得即可求得.,1000110011102222A1,njiijAAn式之和式之和中所有元素的代数余子中所有元素的代数余子求求方阵方阵已知已知解解例例3 3,02 A.可逆可逆A.1*AAA且且 10001000010011000010111000012222EA 100010001100010001100010001210001,100011000110001211 A,21*AA njiijA1,故故.1)1()1(21 2 nn三、小结三、小结1.
21、1.单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵.一次初等变换一次初等变换2.利用初等变换求逆阵的步骤是利用初等变换求逆阵的步骤是:;1 EAEA或或构造矩阵构造矩阵 .,(,211 AEEAEAAEEAEA对应部分即为对应部分即为后后划为单位阵划为单位阵将将变换变换施行初等列施行初等列或对或对对应部分即为对应部分即为右边右边后后化为单位矩阵化为单位矩阵将将施行初等行变换施行初等行变换对对思考题思考题.010102001的的乘乘积积表表示示成成有有限限个个初初等等方方阵阵将将矩矩阵阵 A思考题解答思考题解答解解可以看成是由可以看成是由3阶单位矩阵阶单位矩阵 经经4次初等变换次初等变换,AE 3331321,1,2,crccrr 而得而得.而这而这4次初等变换所对应的初等方阵为次初等变换所对应的初等方阵为:,0101000011 P,1020100012 P,1000100013 P.1000100014 P由初等方阵的性质得由初等方阵的性质得4213PEPPPA .4213PPPP
