1、数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件一一.函数列的一致收敛性函数列的一致收敛性函数列的一致收敛性：函数列的一致收敛性：|()()|,nfxf x()()(),.nfxf xnxD设函数列设函数列fn(x)与函数与函数f定义在同一数集定义在同一数集D上上,若对任若对任给的正数给的正数,总存在某一自然数总存在某一自然数N,使得当使得当nN时时,对一切对一切x D都有都有则称函数列则称函数列fn(x)在在D上上一致收敛于一致收敛于f,记作记作数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件定理定理1(函数列一致收敛的柯西准则函数列一致收敛的柯西准则)|()()|.nmfxfx0l
2、im sup|()()|.nnxDfxfx函数列函数列fn(x)在数集在数集D上一致收敛的充要条件是上一致收敛的充要条件是:任给任给正数正数 总存在正整数总存在正整数N,使得当使得当n,mN时时,对一切对一切x D,都有都有定理定理2 函数列函数列fn(x)在在D上一致收敛于上一致收敛于f的充要条件是的充要条件是或当或当n,N时时,对任意正整数对任意正整数p,对一切对一切x D,都有都有|()()|.n pnfxfx数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件一致收敛一致收敛.推论推论 设在数集设在数集D上上fn(x)f(x)(n),若存在数列若存在数列xn D,使使|fn(xn)-f
3、(xn)|0,则函数列则函数列fn(x)在数集在数集D上非上非应用此方法判断函数列应用此方法判断函数列fn(x)在数集在数集D上非一致收上非一致收敛于敛于f(x)时时,常作辅助函数常作辅助函数Fn(x)=fn(x)-f(x),取取xn为为Fn(x)在在数集数集D上的最值点上的最值点.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件函数项级数的一致收敛性函数项级数的一致收敛性:设设Sn(x)是函数项级数是函数项级数 un(x)的部分和函数列的部分和函数列,若若Sn在数集在数集D上一致收敛于上一致收敛于S(x),则称函数项级数则称函数项级数 un(x)在在D上上一致收敛一致收敛于于S(x),或
4、称或称 un(x)在在D上一致收敛上一致收敛.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件定理定理3 (一致收敛的柯西准则一致收敛的柯西准则)|()()|,n pnSxS x或或1|()()|.nn puxux函数项级数函数项级数 un(x)在数集在数集D上一致收敛的充要条件为上一致收敛的充要条件为对任给的正数对任给的正数,总存在某自然数总存在某自然数N,使得当使得当nN时时,对一切对一切x D和一切自然数和一切自然数p,都有都有数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件)()()(xSxSxRnn 的充要条件是的充要条件是0limsup|()|limsup|()()|.nn
5、nnx Dx DRxS xSx推论推论 函数项级数函数项级数 un(x)在数集在数集D上一致收敛的必要上一致收敛的必要条件是函数列条件是函数列un(x)在一致收敛于零在一致收敛于零.设函数项级数设函数项级数 un(x)在数集在数集D上的和函数为上的和函数为S(x),称称为函数项级数为函数项级数 un(x)的的余项余项.定理定理4 函数项级数函数项级数 un(x)在数集在数集D上一致收敛于上一致收敛于S(x)数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件三、函数项级数的一致收敛性判别法三、函数项级数的一致收敛性判别法,2,1,|)(|nMxunn7()定理定理5(维尔斯特拉斯判别法维尔斯特
6、拉斯判别法)设函数项级数设函数项级数 un(x)定义定义在数集在数集D上上,Mn为收敛的正项级数为收敛的正项级数,若对一切若对一切x D,有有则函数项级数则函数项级数 un(x)在在D上一致收敛上一致收敛.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件定理定理6(阿贝耳判别法阿贝耳判别法)设设(1)un(x)在区间在区间I上一致收敛上一致收敛;(2)对于任意对于任意x I,vn(x)是单调的是单调的;(3)vn(x)在区间在区间I上一致有界上一致有界,即对任意即对任意x I,和自然数和自然数n,存在正数存在正数M,使得使得|vn(x)|M,则级数则级数 un(x)vn(x)在在I上上一致
7、收敛一致收敛.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件定理定理7(狄里克雷判别法狄里克雷判别法)设设),2,1()()(1 nxuxUnkkn(1)un(x)的部分和函数列的部分和函数列在在I上一致有界上一致有界;(2)对任意对任意x I,vn(x)是单调的是单调的;(3)在在I上上vn(x)一致收敛于一致收敛于0.则级数则级数 un(x)vn(x)在在I上一致收敛上一致收敛.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件对于含参量反常积分对于含参量反常积分(,),Mf x y dy 2.含参量反常积分的一致收敛性含参量反常积分的一致收敛性和函数和函数I(x),若对若对(,)
8、cf x y dy 任意任意 0,存在存在N 0,对任意对任意M N,对一切对一切 x a,b,都有都有则称含参量反常积分则称含参量反常积分(,)cf x y dy 在在 a,b上一致收敛于上一致收敛于I(x),或称或称(1)在在a,b上一致收敛上一致收敛.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件含参量反常积分一致收敛的判别法含参量反常积分一致收敛的判别法一致收敛的柯西准则一致收敛的柯西准则21(,)AAf x y dy 含参量反常积分含参量反常积分(1)在在 a,b上一致收敛的充要条件上一致收敛的充要条件是对是对任意任意 0,存在存在M c,对任意对任意A1,A2M,对一切对一切
9、x a,b,都有都有数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件111(,)()nnAnAnnf x y dyux 与级数一致收敛的关系与级数一致收敛的关系在在a,b上一致收敛的充要上一致收敛的充要含参量反常积分含参量反常积分(,)cf x y dy 条件是：对任一趋于条件是：对任一趋于+的递增数列的递增数列An(其中其中A1=c),函数函数项级数项级数在在a,b上一致收敛上一致收敛.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件定理定理 设有函数设有函数 g(y),使得使得(,)(),.f x yg y axb cy 魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯M判别法判别法:()cg y dy
10、若若收敛收敛,则则(,)cf x y dy 在在a,b上一致收敛上一致收敛.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件狄利克雷判别法狄利克雷判别法Ncf x y dy(,)若若 (1)对任意对任意 N c,含参量正常积分含参量正常积分数数 x 在在a,b上一致有界上一致有界,即存在即存在 M 0,对一切对一切 N c 及及对参对参|(,)|.Ncf x y dyM一切一切 x a,b有有(,)(,)cf x y g x y dy(2)对任意对任意 x a,b,函数函数 g(x,y)关于关于 y 单调递减且当单调递减且当y 时时,对参量对参量x,g(x,y)一致地收敛于一致地收敛于0,
11、则含参量则含参量在在a,b上一致收敛上一致收敛.反常积分反常积分数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件阿贝耳判别法阿贝耳判别法:(2)对任意对任意 x a,b,函数函数 g(x,y)为为 y 单调函数单调函数,且且对对参量参量x,g(x,y)在在a,b上上一致有界一致有界,则含参量反常积分则含参量反常积分cf x y dy(,)若若 (1)在在a,b上一致收敛；上一致收敛；(,)(,)cf x y g x y dy在在a,b上一致收敛上一致收敛.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件例例1 设设f(x)在全体实数集上连续在全体实数集上连续,101()(),nnkkf
12、xf xnn证明证明:函数列函数列fn(x)在任何有限区间上一致收敛在任何有限区间上一致收敛.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件由由f(x)的连续性的连续性,101(),nkkf xnn把区间把区间0,1 n等分等分,作函数作函数 f(x+t)的积分和的积分和证明证明:对任何有限区间对任何有限区间a,b,f(x)在在a,b+1连续连续,从而一致从而一致连续连续,对任意对任意 0,存在存在 0,对任意对任意x ,x a,b+1,当当|x -x|时时|()()|,f xf x 11001lim()lim()().nnnnkkfxf xf xt dtnn数学分析选讲数学分析选讲多媒
13、体教学课件多媒体教学课件1110001|()()|()()|nnkkfxf xt dtf xf xt dtnn111100|()()|kknnnnkkkknnkf xdtf xt dtn110|()()|knnkknkf xf xt dtn110|()()|knnkknkf xf xtdtn数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件由于由于1,k ktnn所以所以1|()|,kkxxttnnn故取故取n 充分大充分大,使使1/n ,则则|()()|.kf xf xtn 因此因此数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件10|()()|nfxf xt dt110|()()|k
14、nnkknkf xf xtdtn110.knnkkndt故故fn(x)在在a,b一致收敛于一致收敛于10().f xt dt数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件例例2 设设2 3(ln)()(,)nxxnfxnn 试问当试问当 为何值时为何值时,fn(x)在在0,+)一致收敛一致收敛.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件解解:由于由于11(ln)()(),lnnxxnfxxnn 当当x1/lnn时时,f(x)单调递减单调递减,因因此此,fn(x)在在x=1/lnn时取最大值时取最大值,又又0lim()().nnfxf x所以所以1001,),)(ln)sup|(
15、)()|sup|()|()lnnnnxxnfxf xfxfne 数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件故故1011101,),(ln)lim sup|()()|lim,nnnxnfxf xee 故当故当 1时时,fn(x)在在0,+)一致收敛一致收敛.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件2211()nnnnx例例3 证明证明在在(-,+)上一致收敛上一致收敛.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件22(),yf yxy证证:作函数作函数则则22222(),()xyfyxy因此因此y充分大时充分大时,f(y)0,存在正整数存在正整数N,对一切对一切nN
16、,及任意正整数及任意正整数p,使使012|()|.npkk nux 故取故取4,C 则则0|xx 时时数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件001111|()|()()|()|npnpnpnpkkkkk nk nk nk nuxuxuxux 0011|()()|()|npnpkkk nk nuxxux 0012|()|()|.npkk nC xxuxC 根据以上的证明根据以上的证明,对任意对任意x a,b,存在存在 0,对任意对任意x(x-,x+),存在存在正整数正整数N,对一切对一切nN,及任意正整及任意正整数数p,有有数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件1|(
17、)|.npkk nux 由于由于(,)|,xxxa b构成构成a,b的一个开覆盖的一个开覆盖,由有限覆盖定理由有限覆盖定理,存在开区间存在开区间1 2(,),kkxxkm令令12max,mNNNN对一切对一切nN,及任意正整数及任意正整数p,有有1|()|.npkk nux 故故1()nnux在在a,b上一致收敛上一致收敛.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件例例6 证明证明211()nnxx在在0,1上一致收敛上一致收敛.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件21()()nnuxxx证证:设设则则12112112()()()()()nnnnuxnxxxxxx n
18、nx故故un(x)有驻点有驻点0,1,n/n+2,由于由于21010222()()(),()(),nnnnnnnuuunnn故故22242|()|().nuxnn由由M-判别法判别法211()nnxx在在0,1上一致收敛上一致收敛.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件1 2()(),nnfxf ff xn例例7 设一元函数设一元函数f(x)在在x=0的邻域内有二阶连续导数的邻域内有二阶连续导数,f(0)=0,0 f(0)0,在在-,上上f(x)连续连续,且且即即2102()()().f xfxfx 由于由于f(x)在在-,上上连续连续,所以存在所以存在M0,使使|()|,(,)
19、fxMx 取取1210(),fM 故故102|()|(|()|)|.f xfM xx数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件102|()|()|()|)f xxffx 则对任意则对任意x-1,1,有有1102|().xfM 记记1120010122()()().MqfMffM 有有|()|.f xq x数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件2221|()|()|,fxq f xqxq 从而从而111|()|,nnfxq 1|()|.nnfxq 由由M判别法判别法,1()nnfx在在-1,1上一致收敛上一致收敛.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件1nn
20、a例例7 设设b0,a1,a2,an,为常数列为常数列,级数级数收敛收敛,证明证明011!xntnnat e dtn在在0,b上一致收敛上一致收敛.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件证证:1.由于由于1nna收敛收敛,从而做为函数项级数一致收敛从而做为函数项级数一致收敛.2.由于由于00111011().!xntntt e dtt e dtnnnn故故01!xntt e dtn一致有界一致有界,由阿贝尔定理即得要证的结论由阿贝尔定理即得要证的结论.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件23121()xnnenn例例8 证明级数证明级数在任何有穷区间在任何有穷区间
21、a,b上一致收敛上一致收敛,但在任意但在任意x0 a,b不绝不绝对收敛对收敛.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件证证:1.记记c=max|a|,|b|,则则2223332221111,()xxxeneennnnn即即232xenn单调下降单调下降.另一方面另一方面,x a,b时时2233220|().xcenennnn数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件112|()|.nkn又又由狄里克莱判别法由狄里克莱判别法,23121()xnnenn在在a,b上一致收敛上一致收敛.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件2.对任何对任何x0 a,b220033
22、1112211|()|xxnnnnenennn是发散级数是发散级数.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件一致有界性与等度连续性一致有界性与等度连续性|()|.nfxM设设fn(x)区间区间a,b上定义的函数列上定义的函数列,若存在常数若存在常数M0,使使对任何对任何x a,b及任何正整数及任何正整数n,有有其中其中M与与n无关无关.则称则称fn(x)区间区间a,b上一致有界上一致有界.fn(x)区间区间a,b上非一致有界上非一致有界对任意对任意M0,存在正整数存在正整数j,xj a,b使使|()|.jnjfxM数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件|()|.nnf
23、xa注：注：fn(x)区间区间a,b上一致有界的充要条件是存在有上一致有界的充要条件是存在有界数列界数列an对任何对任何x a,b及任何正整数及任何正整数n,有有数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件12|()()|.f xf x 设设fn(x)区间区间a,b上定义的函数列上定义的函数列,若对任意若对任意 0,存在存在 0,(与与n无关无关)对任何对任何x1,x2 a,b及任何正整数及任何正整数n,有有则称则称fn(x)区间区间a,b上等度连续上等度连续.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件例例 设设fn(x)是区间是区间(a,b)上定义的连续函数列上定义的连续函
24、数列,若对任意若对任意x0(a,b),fn(x0)都是有界数列都是有界数列,证明证明fn(x)在在(a,b)的某个的某个子区间上一致有界子区间上一致有界.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件111().nfx证证 设设fn(x)在在(a,b)的任意子区间上非一致有界的任意子区间上非一致有界.则存在则存在x1(a,b)及正整数及正整数n1,有有在区间在区间 1上上有有又又1()nfx连续连续,由连续函数的性质由连续函数的性质,存在含存在含x1的闭区间的闭区间 1,使使11().nfx由于由于fn(x)在在 1上非一致有界上非一致有界,所以存在所以存在x2 1及正及正整数整数n2,
25、有使有使数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件222().nfx在在 k 上有上有再由连续函数的性质再由连续函数的性质,存在闭区间存在闭区间 2 1,在区间在区间 2上有上有22().nfx依此下去依此下去,得一列闭区间得一列闭区间12 n().knfxk数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件0().knfxk由于由于 1,2,n,的交非空的交非空,任取任取01kkx则则即即fn(x0)存在一个无界子列存在一个无界子列,从而与从而与fn(x0)有界矛盾有界矛盾.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件例例 设函数列设函数列fn(x)在区间在区间a,b上为
26、等度连续函数列上为等度连续函数列,如果如果lim()(),nnfxf xxa b则则fn(x)在区间在区间a,b上一致收敛于上一致收敛于f(x).数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件证证 1.f(x)一致连续一致连续.对任意对任意 0,存在存在 0,对任意对任意x1,x2 a,b,任意正整数任意正整数n,有有122|()()|,nnfxfx 令令n有有122|()()|,f xf x 即即f(x)在在a,b上一致连续上一致连续.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件2.由于由于f(x)在在a,b上一致连续上一致连续,对任意对任意 0,存在存在 0,对任对任意意x1
27、,x2 a,b,当当|x1-x2|Ni时时1 23|()()|,.niifaf aik 令令12 max,kNNNN当当nN时时,对任意对任意x a,b,存在存在ai,i=1,2,k,使使|,iax 数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件从而从而|()()|()()|()()|nnniniifxf xfxfafaf a333|()()|.if af x 即即fn(x)在在a,b上一致收敛于上一致收敛于f(x).数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件例例 证明函数证明函数211()nf xnx在在(-1,+)内连续且有一阶连续导数内连续且有一阶连续导数.数学分析选讲数
28、学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件证证 设设211 2(),nuxnnx则则u(x)在在(-1,+)内连续内连续.且且2211 2(),()nuxnnx在在(-1,+)内也连续内也连续.当当n1时时,数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件221111 21|()|,(,),nuxxnnxn在在(-1,+)内一致收敛内一致收敛,故故f(x)在在(-1,+)内连续内连续.级数级数2211nn收敛收敛,由由M判别法判别法,211nnx221111 21|()|,(,),nuxxnnxn数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件22221111 21|()|,(,),()()nuxxnnxn在在(-1,+)内一致收敛内一致收敛,故故f(x)在在(-1,+)内连续内连续.级数级数22211()nn收敛收敛,由由M判别法判别法,2211()nnx数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件
