1、第二讲间接效用函数与支出函数 Outline of Todays Class 1.间接效用函数 2.罗伊（Roy identity）等式 3.支出最小化问题支出最小化问题 4.支出函数 5.希克斯（补偿）需求函数 6.谢泼特（Shephard）引理 7.效用最大化与支出最小化的关系效用最大化与支出最小化的关系 8.斯卢茨基方程 9.替代效应与收入效应一、定义一、定义 ,maxnx Rv p mu xS t pxm p xm瓦尔拉斯定律第一节间接效用函数它是极大化了的效用它的自变量不是消费计划，而是价格与收入控制消费者行为，可以间接地控制p、m来实现二、性质二、性质（一）v（tp,tm）=v（p
2、,m）(t0)即它是关于p,m的零次齐次函数 0maxmaxtu xu xtp xtmpxm（二）,ppv p mv p m时,v p mv p m即Bx pxmBx p xmBB显然 maxmaxx Bx Bu xu x故证：记（三）,mmv p mv p m时证：记 mpxxBBx pxm maxmax,x Bx BBBu xu xv p mv p m显然故即（四）罗伊（Roy identity）等式：如果,0v p mm则,jjv p mpxp mv p mm 1,jn证明：先求分子(1,)iiupinx又(,)(,)v p mu x p m1niijijxvupxp（最大化一阶条件）1
3、niiijjxvppp同时 p xm 即1 122nnp xp xp xm两边同时对pj偏微分10nijiijxxpp故jjvxp（1）1niiijjxvppp再求分母(,)(,)v p mu x p m对m求偏微分11()niiiniiixvuxmxmxpmiiupx又pxm两边对m求微分11(2)niiixpmvm由（1）、（2）可得,jjv p mpxp mv p mm(1)jjvxp(2)vm例，设 121 2(,)u x xxx比较政府征收0.5元的所得税与0.5元的商品税对消费者效用的影响。三、应用解：121 122max x xp xp xm的解为*11*2222mxpmxp故*
4、1212212(,)4v p p mx xmp p120.25,1,2ppm时*112*224(,)2 0.25(0.5,1,2)4212 1xv p p mvx现在假设政府对商品1按0.25元/单位征收消费税，即1p由0.25元变为0.5元从而 12(,)(0.5,1,2)2v p p mv政府获得税金总额为*10.250.5,x 元如果政府征收同等额度的所得税即120.25,1,1.5ppm则(0.25,1,1.5)2.25v 所以(0.25,1,1.5)(0.5,1,2)vv征收所得税比商品税对消费者的影响要小 第二节 支出函数 一、支出最小化问题一、支出最小化问题min(2)()p x
5、Ms t u xu（一）min(2)()pxMs t u xu（二）希克斯（补偿）需求函数（M2）的解x与p，u有关，即是p，u 的函数，这一函数称为希克斯需求函数，记为(,)h p u（三）支出函数(,)(,)e p up h p u二、支出函数的性质二、支出函数的性质（一）若,pp 则(,)(,)e p ue p u证：(,)(,)e p uph p u(,)ph p u(,)p h p u(,)e p u（二）.(,)(,)0e tp ute p ut(,)()(,)(,)(,)(,)e tp utp h tp ut p h tp ut p h p ute p u证：u 不变，给定p时，
6、支出最小为ph(p,u)(,)(,)()(,)(,)te p utph p utp h p ue tp u价格tp下，支出最小为e(tp,u)(,)(,)e tp ute p u(三)(,)e tp u是关于P的凹函数 即 0,1 有(1),(,)(1)(,)epp ue pue p u 证：设(,)(,)(1),)xh p uxh p uxhpp u 则(1),)(1)(1)(,)(1)(,)epp uppxpxp xe p ue p u 三.谢泼特（Shephard）引理(,)(1,)iieh p uinpih为希克斯函数(,)h p u的第i个分量 121 12 2(,)(,)(,)nn
7、 ne p uph p xp h hhphp hp h证明：两边对pi求偏导 1(,)(1,)njijjiiheh p upinpp在最小化的过程中 10njjjihppmin(2)()pxMs t u xu：L()pxu xu最小化的一阶条件：iiu(h(p,u)hp成本最小化时:iiiiiLu(x)0u(x)pxxpxn1j 1jnj 1u(h(p,u)hu(h(p,u)njjjjiiihhppppiu(h(p,u)=up又对任何 都成立故10njjjihpp四、效用最大化与支出最小化的关系四、效用最大化与支出最小化的关系max()min(1)(2)()u xpxMMs t pxms t
8、u xu 命题1.设*(1)xM是的解，则*()uu x时x*也是(M2)的解。命题2.*(2)xM是设 的解，记*,mp x则x*也是（M1）的解 五、重要等式五、重要等式（一）(,(,)e p v p mm证：设x*为(2)M在(,)uvp m时的解，则其必为(1)M的解，故*(,(,)e p v p mp xm即要想获得最大效用必定要花掉所有的收入(,(,)e p v p mm（二）(,(,),vp ep uu证：设x*为(,)me p u时 M1的解，故(,)*(,(,)max()()px e p uv p e p uu xu x又x*必为M2的解，故x*满足*()uxu所以(,)uv
9、 pe p u，即花掉所有收入的效用最大（三）(,)(,(,)x p mh p v p m（四）(,)(,(,)h p ux p e p u偏好EMP(p,)euUMP(p,)vyx(p,(p,)eu(p,(p,)hvy六、例题例2（P22）11212,0,1(,),pppu x xxxpe p u设 求支出函数并验证谢泼特引理112.()xxstuxx1 122minp+p解:112:(,)()Lx xxxuxx 121 12 2拉 氏 函 数,p+p1111121111121222112()0()0()0LpxxxxLpxxxxLuxx111122112()()pxxpuxx1111222
10、()puxxp111111111212221()1rpxuu pppp令111222111121rrrrrrrru ppphhu ppp由对称性得七、预算份额 Si=pixi/m习题11.6 斯卢茨基方程一.方程及其推导:,1,jjjiiih p v p mxp mxp mxppmin 证明：,jjh p ux p e p uhp uxp e p u即两边对pi微分()me p u（记）(,)jihp up(,)jixp mp(,)jxp mm(,)ie p up(1)由谢泼特引理知(,)iiehp up且(,)(,(,)(,)iiihp uxp e p uxp m即(,)iiex p mp代
11、入(1)式变形即可得(,(,)(,)jjjiiixhp v p mxp mxppm二.替代效应与收入效应 (一)替代效应:由商品价格的变动起的商品相对价格的变动,进而由其导致商品需求量的变化.(二)收入效应：由商品价格变动所导致的实际收入水平变动,进而导致商品需求量的变动。(,(,)(,)jjjiiiihp v p mxp mxpxppm将斯卢茨基方程变形+-+-ij,0ip时替代效应收入效应x2x1替代效应收入效应(,(,)(,)iiiiiiih p v p mx p mxpxppm-+-i=j,0ip时x2x1x1X1x1替代效应收入效应三.关于普通需求曲线的斜率在斯卢茨基方程中令i=j得
12、,iiiiiihp v p mxp mxp mxppm,0iihp up由于所以1.正常商品。从而收入效应,0ixp mm,0iixp mp2.对于低档商品 收入效应0，符号不定，大致可分为两种情况：其一，若收入效应的绝对值小于自替代效应的绝对值，斜率为负，即普通需求曲线是向右下方倾斜的。其二，若收入效应的绝对值大于自替代效应的绝对值，斜率为正，即普通需求曲线是向有上方倾斜的，属吉芬商品。消费者行为理论小结 1.偏好作为个人选择的基础和出发点.2.建立偏好与效用函数的相互对应，便于数学分析.3.个人选择问题理论上抽象为效用最大化问题。4.效用最大化的均衡条件：商品的边际替代率=边际交换率 5.引入普通需求函数、希克斯需求函数、间接效用函数和支出函数等概念，讨论它们之间关系.从某种程度上是对个人选择问题讨论的深化。斯卢茨基方程的导出是这种讨论深化的具体体现。习题：1、设2212(,)mv pp mpp求112(,)x p p m212(,)xp p m2、设11()(0,1)inniiiiu xAxA(1)(,)(2)(,)(3)(,)(4)(,)x p mv p me p uh p u求：
