1、五 可按步骤进行运算的典型题1 、判断函数奇偶性的步骤：（1）先判定函数定义域是否关于原点对称（2）验证f(x)f(x)或其等价形式f(x)f(x)0是否成立本题可以用定义进行计算验证（略）， 但需要进行变形且不易发现。本题用此法真正体现了考试大纲的精神即根据对数运算法则进行运算，能根据问题的条件和目标，寻找与设计合理、简捷的运算途径。2 用导数法讨论函数的单调性的步骤：（1） 确定定义域；（2） 求导变形(通分、分解因式）；（3） 解导数方程f(x)0；（4） 若方程有根则用根划分定义域区间；（5） 判断相应区间对应的导数正负；+（6） 作结论，写出单调区间.例2 求函数的单调区间3利用导数
2、研究函数极值的一般步骤(1)确定函数定义域；(2)求导数f(x)及f(x)0的根；(3)根据方程f(x)0的根将函数定义域分成若干区间，列出表格，检查导函数f(x)零点左右f(x)的值的符号，如果左正右负，那么yf(x)在这个根处取极大值，如果左负右正，那么yf(x)在这个根处取极小值如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值例3 已知函数f(x)x212aln x(a0)，求函数f(x)的极值解析：因为f(x)x212aln x(x0)，所以f(x)2x.当a0时，因为x0，且x2a0，所以f(x)0对x0恒成立，所以f(x)在(0，)上单调递增，f(x)无极值当a0时，令f(x)0，
3、解得x1，x2(舍去)，所以当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)极小值所以当x时，f(x)取得极小值，且f()()212aln a1aln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)在(0，)上无极值当a0时，函数f(x)在x处取得极小值a1aln a，无极大值4 求曲线上一点处的切线方程（1）求导数（2）把切点横坐标代入导函数得切线斜率（3）用点斜式方程写出切线方程例4 (2021全国甲卷13)曲线在点处的切线方程为【思路分析】先求导，利用导数的几何意义可求出切线的斜率，再由点斜式即可求得切线方程【解析】：因为，在曲线上，所以，所以，则曲线在点处的
4、切线方程为：，即故答案为：求曲线的切线方程，注意已知点是否为切点，其关键点为：(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为yy0f(x0)(xx0)(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P(x1，f(x1)；第二步：写出过P(x1，f(x1)的切线方程，为yf(x1)f(x1)(xx1)；第三步：将点P(x0，y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程yf(x1)f(x1)(xx1)可得过点P(x0，y0)的切线方程5 求解一元二次不等式ax2bxc0(a0的基本步骤？基本步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解相应的一元二次方程；第三步
5、，若有两个不相等的实根，则利用“大于取两边，小于取中间”得不等式的解集若一元二次方程无根可以借助一元二次函数图象求其解集。例5 已知集合Ax|x23x40，B4,1,3,5，则AB()A4,1 B1,5C3,5 D1,3解析：Ax|x23x40x|(x1)(x4)0x|1x4，B4,1,3,5，AB1,36 已知角的终边求三角函数值的步骤(1)已知角终边上点P的坐标（)求点P到原点的距离利用三角函数定义求解(2)已知角终边所在的直线方程根据象限位置，设出的终边上点P的坐标利用三角函数的定义求解例6 已知角的终边经过点(3，4)，则sin ()A B.C. D.解析：角的终边经过点(3，4)，s
6、in ，cos ，sin .7 确定yAsin(x)B(A0，0)的解析式的步骤(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A，B.(2)求，确定函数的周期T，则.(3)求，常用方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为x0；“第二点”(即图象的“峰点”)为x；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为x；“第四点”(即图象的“谷点”)为x；“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为x2.例7 (2021全国甲卷)已
7、知函数f(x)2cos(x)的部分图象如图所示，则解析：由题图可知点，在f(x)的图象上，则T，所以|2，不妨取2，则函数f(x)2cos(2x)，将代入得，22k，kZ，解得2k，kZ，f2cos，kZ.答案：8.已知数列an的前n项和Sn求an的步骤(1)先利用a1S1求出a1.(2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的解析式(3)注意检验n1时的解析式是否可以与n2的解析式合并（合二为一）例8 (2018全国卷)记Sn为数列an的前n项和若Sn2an1，则S6_.解析：Sn2an1，当n2时，Sn12an11，anSnSn12an2an1
8、，即an2an1，当n1时，a1S12a11，得a11，数列an是首项a1为1，公比q为2的等比数列，Sn12n，S612663.答案：639 错位相减法求数列的前N项和第一步先判断数列通项是一个由等差数列bn通项公式bn=关于n的一次式及等比数列cncn指数式对应项之积组成的数列，即anbncn第二步写出Sn的解析式第三步在上式两边乘以公比第四步两式相减（q的同次项相减）第五步求和，根据差式的特征准确判断项数是共有进行求和例9 （2020全国理17）设等差数列满足（1）计算，猜想的通项公式并加以证明；（2）求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】（1）由， ， 猜想的通项公式为证明如下：
9、（数学归纳法）当时，显然成立； （1）假设时，即成立；其中，由 （2）故假设成立，综上（1）（2），（2）解法一：令，前项和 （1）由（1）两边同乘以2得： （2）由（1）（2）的，化简得解法二：由（1）可知，由得：，即10相关点法求轨迹方程的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式用x,y表示x1 y1(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程(4)检验：注意检验所求方程是否符合题意例10 已知F是抛物线yx2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是_解析：因为抛物线x24y
10、的焦点F(0,1)，设线段PF的中点坐标是(x，y)，则P(2x,2y1)在抛物线x24y上，所以(2x)24(2y1)，化简得x22y1.答案：x22y111、用点差法处理弦的中点与斜率问题问题基本步骤（1） 设点(即设出弦的端点坐标（2） 代入(即代入曲线方程)（3） 作差，建立关系例11 已知抛物线y24x的一条弦AB恰好以P(1,1)为中点，则弦AB所在直线的方程是_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，则y1y22，又点A，B在抛物线y24x上，所以两式相减，得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，则2，即直线AB的斜率k2，所以直线AB的方程为y12(x1)，即
11、2xy10.12古典概型的概率求解步骤(1)求出所有基本事件的个数n.(2)求出事件A包含的所有基本事件的个数m.(3)代入公式P(A)求解例12 (排列、组合法)某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球，若与第一次取出的两个小球号码相同，则中奖按照这样的规则摸奖，中奖的概率为()A. B. C. D.解析：分为两个互斥事件：记“第一次取出的两球号码连号中奖”为事件A，记“第二次取出
12、的两球与第一次取出的未中奖的两球号码相同中奖”为事件B，则由题意得P(A)，P(B)，则每位顾客摸球中奖的概率为P(A)P(B).答案：C13 求离散型随机变量X的分布列的步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能取值(2)求X取每个值的概率(3)写出X的分布列例13 甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为，.记甲同学三个项目中通过考试的个数为X，求随机变量X的分布列解析：随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).随机变量X的分布列为X0123P14 求曲线的极坐标方程的步骤(1)将已知条件转化到直角坐
13、标系中(2)根据已知条件，得到曲线的直角坐标方程(3)将曲线的直角坐标方程转化为极坐标方程例14 圆心C的极坐标为，且圆C经过极点(1)求圆C的极坐标方程；(2)求过圆心C和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程解析：(1)圆心C的直角坐标为(，)，则设圆C的直角坐标方程为(x)2(y)2r2，依题意可知r2(0)2(0)24，故圆C的直角坐标方程为(x)2(y)24，即x2y22(xy)0，化为极坐标方程为22(sin cos )0，即2(sin cos )(2)在圆C的直角坐标方程x2y22(xy)0中，令y0，得x22x0，解得x0或x2.于是得到圆C与x轴的交点坐标为(0,0)，(2，0)，由于直线过圆心C(，)和点(2，0)，则该直线的直角坐标方程为y0(x2)，即xy20.化为极坐标方程为cos sin 20.
