1、第十二章第十二章 反常积分与含参变量的积分反常积分与含参变量的积分12.1 无穷无穷积分积分12.2 瑕积分瑕积分12.3 含参变量的积分含参变量的积分第一节第一节 无穷无穷积分积分&无穷积分收敛与发散的概念无穷积分收敛与发散的概念&无穷积分与级数无穷积分与级数&无穷积分的性质无穷积分的性质&无穷积分的敛散性判别法无穷积分的敛散性判别法 adxxf)(babdxxf)(lim当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散时，称广义积分发散.一、无穷限的广义积分一、无穷限的广义积分类似定义类似定义()dlim()d,bbuuf xxf xx
2、()d()d()d.aaf xxf xxf xxlim()lim()aAAaAAf x dxf x dx).a其其中中是是(，内内任任意意一一点点注：注：若若 f(x)的原函数为的原函数为 F(x),无穷积分的无穷积分的牛顿牛顿莱布尼兹莱布尼兹公式写作公式写作()daf xx lim()()()().uF uF aFF a()aF x证证,1)1(p 11dxxp 11dxx 1ln x,1)2(p 11dxxp 111pxp 1,111,ppp因此当因此当1 p时广义积分收敛，其值为时广义积分收敛，其值为11 p；当当1 p时广义积分发散时广义积分发散.收收敛敛 )(adxxf存存在在。)(
3、lim)(lim uauudxxfuF由函数极限的柯西准则由函数极限的柯西准则，得，得定理定理 11.1（Cauchy准则）准则）收收敛敛 )(adxxf有有,021GuuaG .)()()(2112 uuuauadxxfdxxfdxxf二二、无穷积分的性质、无穷积分的性质性质性质1 都都收收敛敛，则则与与若若)()(21 aadxxfdxxf且且也也收收敛敛,)()(2211 adxxfkxfk .)()()()(22112211 aaadxxfkdxxfkdxxfkxfk性质性质2 若若f在任何有限区间在任何有限区间a,u上可积，上可积，a1时，时，),1,1cos xxxxpp收收敛敛，
4、而而 1pxdx收收敛敛。dxxxp 1cos由比较由比较判别法判别法请同学记忆本题结果。请同学记忆本题结果。时，时，当当1p0 )2(,1 u,21sinsincos1 uxdxu)(01 xxp，单单调调趋趋于于由狄利克雷（由狄利克雷（Dirichlet)判别法，判别法，收收敛敛。dxxxp 1cosxxxxp2coscos 但：但：),1,22cos21 xxxx,22cos 1判判别别法法）收收敛敛，（而而Dirichletdxxx 发发散散，12xdx发发散散，dxxxp 1|cos|条条件件收收敛敛。即即dxxxp 1cos例例3 证明下列无穷积分都是条件收敛的：证明下列无穷积分都
5、是条件收敛的：.sin )3(,cos )2(,sin )1(141212dxxxdxxdxx txdxx 212sin )1(解解,2sin1dttt 由例由例1，得条件收敛。，得条件收敛。类似可得。类似可得。)2(txdxxx 214sin )3(dtt 12sin21 由（由（1），得条件收敛。），得条件收敛。分分仍仍可可能能收收敛敛。甚甚至至是是无无界界的的，无无穷穷积积，于于时时，被被积积函函数数即即使使不不趋趋由由此此我我们们看看到到，0 x 作作 业业P275.3 4（2、4、6）5（2、3）第二节第二节 瑕积分瑕积分&瑕积分收敛与发散的概念瑕积分收敛与发散的概念&瑕积分敛散性判
6、别法瑕积分敛散性判别法定定义义 2 2 设设函函数数)(xf在在区区间间,(ba上上连连续续，而而在在点点a的的右右邻邻域域内内无无界界取取0 ，如如果果极极限限 badxxf )(lim0存存在在，则则称称此此极极限限为为函函数数)(xf在在区区间间,(ba上上的的广广义义积积分分，记记作作 badxxf)(.badxxf)(badxxf )(lim0当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散.一、无界函数的广义积分一、无界函数的广义积分-瑕积分瑕积分 badxxf)(cadxxf)(bcdxxf)(cadxxf)(li
7、m0 bcdxxf )(lim0否否则则，就就称称广广义义积积分分 badxxf)(发发散散.定义中定义中c为为瑕点瑕点，以上积分称为，以上积分称为瑕积分瑕积分.,1)1(q 101dxxq 101dxx 10ln x,1)2(q 101dxxq1011 qxq 1,111,qqq证证因此当因此当1 q时广义积分收敛，其值为时广义积分收敛，其值为q 11；当当1 q时广义积分发散时广义积分发散.注意注意 广义积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它广义积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，与定积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间上的积分时，要仔
8、细检查是否有瑕遇到有限区间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。点。广义积分中广义积分中的的N-L公式，换元积分公式、公式，换元积分公式、分部积分公式仍然成立，不过代入上、下限分部积分公式仍然成立，不过代入上、下限时代入的是极限值。时代入的是极限值。如如 无穷限积分无穷限积分 aaFFdxxf)()()(aavduauvudv)(再如再如 瑕积分瑕积分()()(0)baf x dxF bF a，a为瑕点时 babavduabuvudv0)(瑕积分和无穷积分之间的关系式瑕积分和无穷积分之间的关系式-可以相互转化可以相互转化 0112011201()lim()111lim()11lim()bbaab
9、ab ab af x dxf x dxxaf adyyyyf adyy yy dy二、二、瑕积分的性质与收敛判别法瑕积分的性质与收敛判别法一一 瑕积分的性质瑕积分的性质()lim()bbauuaf x dxf x dx假设假设xa为函数为函数()f x的瑕点的瑕点.瑕积的柯西收敛准则瑕积的柯西收敛准则:定理定理11.1()af x dx收敛收敛120,0,:Mu uM 21|()()|,F uF u即即2121|()()|()|.uuuaauf x dxf x dxf x dx定理定理11.5()baf x dx收敛收敛0,0,12,(,):u ua a2121|()()|()|.bbuuuu
10、f x dxf x dxf x dx性质性质1 1 若若1()af x dx和和2()afx dx都收敛都收敛,12,k k为常数为常数,则则1 122()()ak f xk fx dx也收敛也收敛,且且1 1221122()()()().aaak f xk fx dxkf x dxkfx dx性质性质1 1 若若1()baf x dx和和2()bafx dx都收敛都收敛,12,k k为常数为常数,则则1 122()()bak f xk fx dx也收敛也收敛,且且1 1221122()()()().bbbaaak f xk fx dxkf x dxkfx dx性质性质2 2 若若()f x在
11、任何有限区间在任何有限区间,a u上可积上可积,ab则则()af x dx与与()bf x dx同时收敛或同时发散同时收敛或同时发散,且有且有()()().baabf x dxf x dxf x dx性质性质2 2 若若xa为为()f x的瑕点的瑕点,(,),ca b则则()baf x dx与与()caf x dx同时收敛或同时发散同时收敛或同时发散,且有且有()()().bcbaacf x dxf x dxf x dx性质性质3 3 若若()f x在任何有限区间在任何有限区间,a u上可积上可积,且有且有|()|af xdx收敛收敛,则则()af x dx亦必收敛亦必收敛,并有并有|()|(
12、)|.aaf x dxf xdx性质性质3 3 若若()f x在任何有限区间在任何有限区间,u b上可积上可积,且有且有|()|baf xdx收敛收敛,则则()baf x dx亦必收敛亦必收敛,并有并有|()|()|.bbaaf x dxf xdx绝对收敛的瑕积分绝对收敛的瑕积分,它自身也一定收敛它自身也一定收敛.但是它的逆命题一般不成立但是它的逆命题一般不成立.称收敛而不绝对收敛者为条件收敛称收敛而不绝对收敛者为条件收敛.二二 比较判别法比较判别法定理定理11112(2(比较法则比较法则)设定义在设定义在,)a 上的两个函数上的两个函数()f x和和()g x都在任何有限区间都在任何有限区间
13、,a u上可积上可积,且满足且满足|()|(),),f xg x xa则当则当()ag x dx收敛时收敛时|()|af xdx收敛收敛.(或者或者,当当|()|af xdx发散时发散时,()ag x dx必发散必发散).).定理定理11116(6(比较法则比较法则)设设xa同为两个函数同为两个函数()f x和和()g x的瑕点的瑕点,且在任何区间且在任何区间,(,u ba b上可积上可积,且满足且满足|()|(),(,f xg x xa b则当则当()bag x dx收敛时收敛时|()|baf xdx收敛收敛.(或者或者,当当|()|baf xdx发散时发散时,()bag x dx必发散必发
14、散).).推论推论1 1 设设()f x定义于定义于,)a 且在任何有限区间且在任何有限区间,a u上可积，则有上可积，则有:(i)(i)当当1|()|,),pf xxax且且1p 时时|()|af xdx收敛收敛;(ii)(ii)当当1|()|,),pf xxax且且1p 时时|()|af xdx发散发散.推论推论1 1 设设()f x定义于定义于(,(),a b a为瑕点且在任何有限区间且在任何有限区间,u b上可积，则有上可积，则有:(i)(i)当当1|()|,()pf xxa且且1p 时时|()|baf xdx收敛收敛;(ii)(ii)当当1|()|,()pf xxa且且1p 时时|(
15、)|baf xdx发散发散.比较法则的极限形式比较法则的极限形式推论推论2 2若若()f x和和()g x都在任何都在任何,a u上可积上可积,()0,g x 且且|()|lim.()xf xcg x则有则有:(i)(i)当当0c 时时,|()|af xdx与与()ag x dx同敛态同敛态;(ii)(ii)当当0c 时，由时，由()ag x dx收敛可推知收敛可推知|()|af xdx也收敛也收敛;(iii)(iii)当当c 时，由时，由()ag x dx发散可推知发散可推知|()|af xdx也发散也发散.推论推论2 2若若()0,g x 且且|()|lim.()xaf xcg x则有则有
16、:(i)(i)当当0c 时时,|()|af xdx与与()ag x dx同敛态同敛态;(ii)(ii)当当0c 时，由时，由()ag x dx收敛可推知收敛可推知|()|af xdx也收敛也收敛;(iii)(iii)当当c 时，由时，由()ag x dx发散可推知发散可推知|()|af xdx也发散也发散.柯西判别法柯西判别法选用选用1pdxx作为比较对象作为比较对象推论推论3 3 设设()f x定义于定义于,)a 且在任何有限区间且在任何有限区间,a u上可积上可积,且且lim|()|.pxxf x则有则有:(i)(i)当当1,0p 时时,|()|af xdx收敛收敛;(ii)(ii)当当1
17、,0p 时时,|()|af xdx发散发散.推论推论3 3 设设()f x定义于定义于(,(),a b a为瑕点且在任何有限区间且在任何有限区间,u b上可积上可积,且且lim()|()|.pxxaf x则有则有:(i)(i)当当01,0p 时时,|()|baf xdx收敛收敛;(ii)(ii)当当1,0p 时时,|()|baf xdx发散发散.例例1 1 讨论下列瑕积分的收敛性讨论下列瑕积分的收敛性:2)2)21.lnxdxx2)2)瑕点为瑕点为1.x 又又111lim(1)lim1,lnlnxxxxxxx(1,1)p故故 21lnxdxx发散发散.三三 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法狄利克雷
18、判别法与阿贝尔判别法 判别一般瑕积分收敛时判别一般瑕积分收敛时,也有相应的狄利克雷判别也有相应的狄利克雷判别狄利克雷判别法狄利克雷判别法 阿贝尔（阿贝尔（Abel）判别法）判别法 若若 在上有界，在上有界，bufx dx F u ,a b g xx 则收敛则收敛 bafx g x dx 若以若以a为瑕点的瑕积分收敛，为瑕点的瑕积分收敛，bafx dx g x ,a b收敛收敛 bafx g x dx 只叙述如下只叙述如下由于证明与无穷积分的类似，由于证明与无穷积分的类似，法与阿贝尔判别法法与阿贝尔判别法.故在此故在此当当时时,单调趋于单调趋于,在在 上单调上单调有界，有界，则则 12011co
19、sdxxx例如证明：积分收敛11222001111coscosdxxdxxxxx证明：1122220011111coscoscosdxdu duxxxx12221011coscosu dudxxx收敛，所以收敛x而而 在在 0 0,1 1 上上单单调调有有界界12011cosdxxx由由阿阿贝贝尔尔判判别别法法积积分分收收敛敛含参量积分：0,d)(01 s，xexsxs0,0,d)1(),(1011 qp，xxxqpqp称为格马(Gamma)函数（写作函数）.它们在应用中经常出现，统称为欧拉积分，称为贝塔(Beta)函数（写作B函数）.下面分别讨论这两个函数的收敛域四四 函数与函数与函数函数首
20、页首页1、函数1.积分区间为无穷;特点:0,d)(01 s，xexsxs函数2.当 s-1 0 时，x=0 为瑕点;写函数为如下两个积分之和：1110101ddd)(xexxexxexsxsxsxs)()(sJsI 首页首页当 s 1 时，为正常积分，当 0 s 0 时收敛.即函数的定义域为 s 0 112)()dsxJ sxex对任何实数 s，都是收敛的，特别当 s 0 时收敛.121lim()lim0,sxsxxxxxexe2、B函数首页首页1110(,)(1)d,0,0,pqp qxxxpq1111112102(,)(1)d(1)d(,)(,)pqpqp qxxxxxxI p qJ p
21、q当 p 1 时，I(p,q)为正常积分，当 0 p 1时收敛.当 q 1 时，J(p,q)为正常积分，当 0 q 0,q 0 时,B(p,q)收敛.即B(p,q)函数的定义域为 p 0,q 0第第三三节节 含参量积分含参量积分&含参量有限积分含参量有限积分&含参量的无限积分含参量的无限积分1 含参量正常积分 对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分,它可用来构造新的非初等函数.含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式.一、含参量正常积分的定义 五、例题 四、含参量正常积分的可积性 三、含参量正常积分的可微性 二、含参量正常积分的连续性 一、含参量正常积分的定义(,)f x
22、 y,Ra bc d设设是定义在矩形区域是定义在矩形区域上的上的 定义在定义在,c d上以上以 y 为自变量的一元函数为自变量的一元函数.倘若这时倘若这时 (,)f x y,c d在在上可积上可积,则其积分值则其积分值 ()(,)d,(1)dcI xf x yyxa b是定义在是定义在 ,a b上的函数上的函数.一般地一般地,设设(,)f x y为定义在区域为定义在区域二元函数二元函数.当当 x取取,a b上的定值时上的定值时,函数函数 是是(,)f x y(,)|()(),Gx yc xyd xaxb上的二元函数上的二元函数,其中其中c(x),d(x)为定义在为定义在,a b上的连上的连续函
23、数续函数(图图19-119-1),),191 图图OyxbaG()yc x()yd x ,a b(,)f x y若对于若对于上每一固定的上每一固定的 x 值值,作为作为 y 的函的函 数在闭区间数在闭区间 (),()c xd x 上可积上可积,则其积分值则其积分值 ()()()(,)d,(2)d xc xF xf x yyxa b是定义在是定义在 ,a b上的函数上的函数.()I x()F x用积分形式用积分形式(1)和和(2)所定义的这函数所定义的这函数 与与通称为定义在通称为定义在 ,a b上的含参量上的含参量 x 的的(正常正常)积分积分,或或简称为含参量积分简称为含参量积分.二、含参量
24、正常积分的连续性()I x 的的连连续续性性(,)f x y定理定理19.1()若二元函数若二元函数在矩在矩 形区域形区域,Ra bc d 上连续上连续,则函数则函数()(,)ddcI xf x yy在在 a,b上连续上连续.证证 设设 对充分小的对充分小的,xa b,xxxa b有有 (若若 x 为区间的端点为区间的端点,则仅考虑则仅考虑 00 xx 或或),于是于是 ()()(,)(,)d,(3)dcI xxI xf xx yf x yy由于由于 (,)f x y在有界闭区域在有界闭区域 R上连续上连续,从而一致连续从而一致连续,0,0,即对任意即对任意总存在总存在对对R内任意两点内任意两
25、点 1122(,)(,)xyxy与与，只要只要1212|,|,xxyy 就有就有 1122|(,)(,)|.(4)f xyf xy 所以由所以由(3),(4)可得可得,|,x 当当时时|()()|(,)(,)|ddcI xxI xf xx yf x yyd().dcxdc即即 I(x)在在,a b 上连续上连续.同理可证同理可证:若若(,)f x y在矩形区域在矩形区域 R上连续上连续,则含参则含参 量量 y的积分的积分 ()(,)d (5)baJ yf x yx在在c,d 上连续上连续.注注1 对于定理对于定理19.1的结论也可以写成如下的形式的结论也可以写成如下的形式:若若(,)f x y
26、在矩形区域在矩形区域 R 上连续上连续,则对任何则对任何 0,xa b都有都有 00lim(,)dlim(,)d.ddccxxxxf x yyf x yy这个结论表明这个结论表明,定义在矩形区域上的连续函数定义在矩形区域上的连续函数,其极其极限运算与积分运算的顺序是可以交换的限运算与积分运算的顺序是可以交换的.,a bc dc d上上连连续续可可改改为为在在上上连连续续 其其中中 为任意区间为任意区间.注注2 由于连续性是局部性质由于连续性是局部性质,定理定理19.1中条件中条件f 在在()F x 的的连连续续性性(,)f x y定理定理19.2()若二元函数若二元函数在区在区 域域(,)|(
27、)(),Gx yc xyd xaxb上连续上连续,其其 中中c(x),d(x)为为 ,a b上的连续函数上的连续函数,则函数则函数 ()()()(,)d(6)d xc xF xf x yy在在,a b上连续上连续.证证 对积分对积分(6)用换元积分法用换元积分法,令令()()().yc xt d xc x当当 y 在在c(x)与与d(x)之间取值时之间取值时,t 在在 0,1 上取值上取值,且且 d()()d.yd xc xt所以从所以从(6)式可得式可得()()()(,)dd xc xF xf x yy10(,()()()()()d.f x c xt d xc xd xc xt由于被积函数由
28、于被积函数(,()()()()()f x c xt d xc xd xc x在矩形区域在矩形区域 ,0,1a b 上连续上连续,由定理由定理19.1得积分得积分 (6)所确定的函数所确定的函数 F(x)在在a,b连续连续.三、含参量正常积分的可微性()I x 的的可可微微性性(,)f x y定理定理19.3()若函数若函数 与其偏导与其偏导 (,)xfx y,Ra bc d数数都在矩形区域都在矩形区域 上连续上连续,则函数则函数 ()(,)ddcI xf x yy在在,a b上可微上可微,且且d(,)d(,)d.dddxccf x yyfx yyx,a b,xxa b 证证 对于对于 内任意一
29、点内任意一点x,设设(若若 x为为 区间的端点区间的端点,则讨论单侧函数则讨论单侧函数),则则()()(,)(,)d.dcI xxI xf xx yf x yyxx由微分学的拉格朗日中值定理及由微分学的拉格朗日中值定理及 (,)xfx y在有界闭在有界闭 域域 R上连续上连续(从而一致连续从而一致连续),),对对 0,0,只要只要 x 时时，就有就有(,)(,)(,)xf xx yf x yfx yx (,)(,),xxfxx yfx y (0,1).其其中中因因此此(,)ddxcIfx yyx (,)(,)(,)ddxcf xx yf x yfx yyx ().dc ,xa b这就证明了对一
30、切这就证明了对一切 有有,Ra bp q,a b上连续上连续,c(x),d(x)为定义在为定义在上上 d()(,)d.ddxcI xfx yyx()F x(,),(,)xf x yfx y定理定理19.4(的可微性的可微性)设设在在 其值含于其值含于 p,q内的可微函数内的可微函数,则函数则函数()()()(,)dd xc xF xf x yy在在,a b上可微上可微,且且()()()(,)d(,()()d xxc xFxfx yyf x d x d x(,()().(7)f x c x c x证证 把把 F(x)看作复合函数看作复合函数:()(,)(,)d,dcF xH x c df x y
31、y(),().cc xdd x由复合函数求导法则及变动上限积分的性质由复合函数求导法则及变动上限积分的性质,有有 ddd()dddHHcHdF xxxcxdx()()(,)d(,()()(,()().d xxc xfx yyf x d x d xf x c x c x注注 由于可微性也是局部性质由于可微性也是局部性质,定理定理19.3 中条件中条件 f 与与 ,xfa bc dc d在在上上连连续续可可改改为为在在上上连连续续其中其中 为任意区间为任意区间.四、含参量正常积分的可积性由定理由定理19.1与定理与定理19.2推得推得:()I x 的的可可积积性性(,)f x y定理定理19.5(
32、)若若在矩形区域在矩形区域 ,Ra bc d,a b上连续上连续,则则 I(x)与与 J(x)分别在分别在和和,c d上可积上可积.这就是说这就是说:在在(,)f x y连续性假设下连续性假设下,同时存在两个同时存在两个求求积顺序不同的积分积顺序不同的积分:(,)ddbdacf x yyx(,)dd.dbcaf x yxy 与与 为书写简便起见为书写简便起见,今后将上述两个积分写作今后将上述两个积分写作d(,)dbdacxf x yyd(,)d.dbcayf x yx 与与 前者表示前者表示(,)f x y先对先对 y 求积然后对求积然后对 x 求积求积,后者则后者则表示求积顺序相反表示求积顺
33、序相反.它们统称为累次积分它们统称为累次积分.在在(,)f x y连续性假设下连续性假设下,累次积分与求积顺序无关累次积分与求积顺序无关.(,)f x y,Ra bc d定理定理19.6 若若在矩形区域在矩形区域上上 连续连续,则则 d(,)dd(,)d.(8)bddbaccaxf x yyyf x yx1()d(,)d,udacI uxf x yy2()d(,)d,ducaIuyf x yx证证 记记 1d()()d().duaI uI xxI uu12,()()ua bI uI u现现在在分分别别求求与与的的导导数数.其中其中2()(,)d.dcIuH u yy2(),(,)(,)d,ua
34、IuH u yf x yx令令对于对于 则有则有(,)H u y(,)(,)uHu yf u y因为因为 与与都在都在R上连续上连续,由由 12()()().I uI ukk为为常常数数2d()(,)d(,)dddduccIuH u yyHu yyu(,)d().dcf u yyI u定理定理19.3,12()(),I uIu,ua b故得故得 因此对一切因此对一切 有有 12()(),.I uIuua b当当 时时,12()()0,0,I aI ak 于于是是即得即得ua取取 就得到所要证明的就得到所要证明的(8)式式.ub例例5 求求10d(0).lnbaxxIxbax10dd.byaIx
35、xyd,lnbabyaxxxyx所所以以解解 因为因为又由于函数又由于函数0,1 ,yxRa b在在上满足定理上满足定理19.6 的的 条件条件,所以交换积分顺序得到所以交换积分顺序得到1011dddln.1+1bbyaabIyxxyya首页首页例例7).(,dsin)(2xyyxyxxx 求求设设解解:)(x yyxxxdcos2 xxx2sin23 1sin2 xx2sinxxxyx xx3sin2 xx2sin xxx23sin2sin3 复习思考题1.参照定理参照定理19.1的证明的证明,定理定理19.1中条件是否可减中条件是否可减 弱为弱为:(1)(1)120,0,xxa byc d
36、 则则12(,)(,).f xyf xy (2),(,),xa bf x yc d 在在上上可可积积.验证你的结论验证你的结论.(,)f x y,),ac d 2.若若 在在上一致连续上一致连续,()(,)d,dcI xf x yx ()I x,)a 能否推得能否推得在在上一致连续上一致连续?2 含参量反常积分含参量反常积分含参量反常积分的定义、12、含参量反常积分一致收敛的定义3、含参量反常积分一致收敛的判别方法4、含参量反常积分一致收敛的性质含参量反常积分的定义、1设设 是定义在无界区域是定义在无界区域 上上,若对每一个固定的若对每一个固定的 ,反常积分反常积分 ycbxayxR,),(,
37、bax),(yxfcdyyxf),(,),()(baxdyyxfxIcx都收敛都收敛,则它的值是则它的值是 在区间在区间 上取值的函数上取值的函数,表为表为 ,ba称为定义在称为定义在 上的含参量上的含参量 的无穷限反常积分的无穷限反常积分,或或 x,ba简称为含参量反常积分简称为含参量反常积分.由反常积分收敛的定义由反常积分收敛的定义,),(,0cxN|)(),(|xIdyyxfMc其中其中 N 与与 x 有关有关.如果存在一个与如果存在一个与,bax 无关的无关的)(N使得该不等式成立，就称使得该不等式成立，就称反常积反常积分在区间分在区间 a,b 上一致收敛上一致收敛使得使得,NM 2、
38、含参量反常积分一致收敛的定义对于含参量反常积分对于含参量反常积分 和函数和函数 )(xIcdyyxf),(都有若,0,0baxNMN,),(Mdyyxf则称含参量反常积分则称含参量反常积分 在在 上一致收敛于上一致收敛于 .)(xIcdyyxf),(,ba()(,)dcI xf x yyJ注注1 由定义由定义,在在 上一致收敛的上一致收敛的 充要条件是充要条件是 ()sup(,)d0().Ax JAf x yyA ()(,)dcI xf x yyJ注注2 由定义由定义,在在 上不一致收敛上不一致收敛 的充要条件是的充要条件是 000,McAMxJ 及及00(,)d.Af xyy 例例1 讨论含
39、参量反常积分讨论含参量反常积分 0ed,(0,)xyxy x的一致收敛性的一致收敛性.解解 若若0,xuxy令令 则则 ede de,xyuxAAxAxyu于是于是0,)()suped1,xyAxAxy 因此因此,含参量积分在含参量积分在(0,)上非一致收敛上非一致收敛.而而,)()supede0(),xyAAxAxyA 因此因此,含参量积分在含参量积分在,)上一致收敛上一致收敛.3、含参量反常积分一致收敛的判别方法 一致收敛的柯西准则一致收敛的柯西准则:含参量反常积分含参量反常积分 在在 上一致收敛的充要上一致收敛的充要cdyyxf),(,ba都有条件是,021baxMAAcM.),(21A
40、Adyyxfu 一致收敛的充要条件;含参量反常积分含参量反常积分 在在 上一致收敛的充要上一致收敛的充要cdyyxf),(,ba,ba11)(),(1nnnAAxudyyxfnn条件是条件是:对任一趋于对任一趋于 的递增数列的递增数列 (其中其中 ),函数函数项级数项级数 在在 一致收敛一致收敛.nAcA 1魏尔斯特拉斯（魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法）判别法若dycxaxFyxf,),(|),(|,dcy一致收敛。证明证明AAAAAAdxxFdxyxfdxyxf)(|),(|),(adxxF)(因为 收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西准则，有且 收敛，则 关于adxyxf),(
41、adxxF)(|)(|,000AAdxxFAAAaA从而,dcyAAAAdxxFdxyxf)(),(所以 关于,dcy一致收敛。adxyxf),(证证明明含含参参量量反反常常积积分分例例2dxxxy 021cos.),(上上一一致致收收敛敛在在 证证2211|1cos|xxxy 因为，有因为，有并且反常积分并且反常积分dxx 0211收敛收敛所以所以dxxxy 021cos.),(上上一一致致收收敛敛在在 y.,上一致收敛在ba，上一致有界含参量反常积分若,)(cNiNcdyyxf),(,bax在对参数则含参量反常积分一致地收敛于对参量,0),(,yxgx(),()iixa bg xyyy 函
42、数，关于 是单调递减且当时cdyyxgyxf),(),(u 狄利克雷判别法;证证 000,(,).4AcyAxa bg x AM 有有于是于是,12,A AN 由积分第二中值定理，由积分第二中值定理，21(,)(,)dAAf x y g x yy 2112(,)(,)d(,)(,)dAAg x Af x yyg x Af x yy 2112(,)(,)d(,)(,)dAAg x Af x yyg x Af x yy 2112(,)(,)d(,)(,)dAAg x Af x yyg x Af x yy 22.44MMMM(,)(,)dcf x y g x yyJ由一致收敛的柯西准则由一致收敛的柯
43、西准则,在在上一致收敛上一致收敛.u 阿贝尔判别法;,),()(上一致收敛上一致收敛在在若若badyyxfic,),(,)(x，yyxgbaxii且且对对参参量量的的单单调调函函数数为为函函数数 则含参量反常积分则含参量反常积分上一致有界上一致有界在在，bayxg,),(cdyyxgyxf),(),(.,上一致收敛上一致收敛在在ba证证明明含含参参量量反反常常积积分分例例3dxxxxy 0sine.,0上上一一致致收收敛敛在在d证证 因为，反常积分因为，反常积分收敛，收敛，dxxx 0sin从而对于参量从而对于参量 y 它在它在 0,d 上一致收敛，上一致收敛，函数函数xyyxg e),(对每
44、个对每个 y，关于变量，关于变量 x 0,0,1|e|),(|xdyyxgxy单调减少，且在单调减少，且在 0,d 上一致有界：上一致有界：故由阿贝尔判别法，知故由阿贝尔判别法，知dxxxxy 0sine在在 0,d 上一致收敛上一致收敛4、含参量反常积分一致收敛的性质1.连续性定理设 在 上连续，关于 在 上一致收敛，则一元函数 在 上连续。),(yxf,|),(dycxayxy,dcadxyxfyI),()(,dcadxyxf),(证明证明因为 在 内一致收敛，所以adxyxf),(,dc000,|(,)|AAaAAyc df x y dx 因此，当 时，,yy cd Adxyyxf),(
45、又 在 上连续，所以作为 的函数在 连续，于是),(yxf,;,dcAaAadxyxf),(y,dc,|,0,0时当yAaAadxyxfdxyyxf),(),(从而，当 时，有|y3),(),(),(),(|)()(|AAAaAadxyxfdxyyxfdxyxfdxyyxfyIyyI定理证毕。2.积分顺序交换定理adcdcadyyxfdxdxyxfdy),(),(设 在 上连续，关于在 上一致收敛，则 在可积，并且),(yxf,;,dcay,dcadxyxf),(adxyxfyI),()(,dc3.积分号下求导的定理aadxyxfydxyxfdyd),(),(设 在 上连续，收敛，关于 在 上
46、一致收敛，则),(),(yxfyxfy,;,dcay,dcadxyxf),(aydxyxf),(adxyxfyI),()(在 可导，且,dc证明证明aydxyxfy),()(因为 在 连续，由连续性定理),(yxfy,;,dca在 连续，,dc 沿区间 积分 ，由积分顺序交换定理，得到)(,dycyc)(y()(,)(,)(,)(,)yyyuuccaacaau dudufx u dxdxfx u duf x y dxf x c dxadxyxfdydy),()(在上式两端对 求导，得y定理证毕。总结：含参量反常积分的性质 连续性连续性含参量反常积分上连续在设，cbayxf),),(cdyyxf
47、xI),()(.,)(,上连续在则上一致收敛在baxIba极限运算在一致收敛的条件下连续性定理说明，.换顺序与积分运算可以可以交.),(lim),(),(lim000dyyxfdyyxfdyyxfcxxccxx即:注注 可微性可微性若上连续在区域与设，cbayxfyxfx),),(),(,上收敛在bacdyyxfxI),()(且上可微在则致收敛，baxI,)(,cxdyyxf),(上一在,ba.),()(cxdyyxfxI:注注可微性定理表明在定理条件下,求导运算和积分运算可以交换.即.),(),(dyyxfxdyyxfdxdcc 可积性可积性若上连续在区域设，cbayxf),),(cdyyx
48、fxI),()(且上可积在则上一致收敛在，baxIba,)(,baccbadxyxfdydyyxfdx.),(),(:注注表明在一致收敛的条件下,积分可交换顺序(,)(,).bbaccadxf x y dydyf x y dxsin dsgn20 axxax证明例例6 6 00.0.0,sin darctan 0.0pxaabaxaexpxp解：当时，原式下面设在例4中，令则（）)1,0dd00阿贝尔判别法单减且关于在连续在一致收敛一致收敛|,(sin0sinsinpxpxxaxxaxpxxaxpxexepxxepe.2arctanlim0sinlim0sin0,sinsgn00apaxxax
49、exxaxpxxaxeppxppx dd 0d从而上连续在小结、5(2),含参量反常积分一致收敛的定义;(1),含参量反常积分的定义;(3),含参量反常积分一致收敛的判别;一致收敛的柯西准则:一致收敛的充要条件;魏尔斯特拉斯M判别法;阿贝耳判别法;狄利克雷判别法;(4),含参量反常积分的性质;(i),连续性;(ii),可微性;(iii),可积性;3 欧 拉 积 分 在本节中我们将讨论由含参量反常积分 定义的两个很重要的非初等函数 一、函数 函数二、B 函数和 函数.三、函数与 函数之间的关系 B一 函 数 含参量积分：含参量积分：10()e d,0,(1)sxsxx s 称为格马函数称为格马函
50、数.函数可以写成如下两个积分之和：函数可以写成如下两个积分之和：11101()e de d()(),sxsxsxxxxI sJ s()1I ss 当当01s 其中其中时是正常积分时是正常积分,当当时是收敛时是收敛 的无界函数反常积分的无界函数反常积分(可用柯西判别法推得可用柯西判别法推得);()0J ss当当 时是收敛的无穷限反常积分时是收敛的无穷限反常积分(也可用柯西也可用柯西 判别法推得判别法推得).所以含参量积分所以含参量积分(1 1)在在0s 时收敛时收敛,0.s 即即函数的定义域为函数的定义域为 .()s 0s 1.在定义域在定义域 内连续且有任意阶导数内连续且有任意阶导数 ,(0)
