1、第五章第五章 测量数据处理测量数据处理有效数字的取舍与运算有效数字的取舍与运算组合测量数据的最小二乘法处理组合测量数据的最小二乘法处理异常值的判断与剔除异常值的判断与剔除2间接测量方程的最小二乘法求解间接测量方程的最小二乘法求解第一节第一节 有效数字的取舍与运算有效数字的取舍与运算第五章第五章 测量数据处理测量数据处理3一、保留原则一、保留原则n最末一位数字不可靠，倒数第二位可靠（最末一位有效数字与测量分辨力是同一量级）n对没有小数位且以若干个零结尾的数值，从非零数字最左一位向右数得到的位数减去无效零（即仅为定位用的零）的个数。对其他十进位数，从非零数字最左一位向右数而得到的位数，就是有效位数
2、。n举例：q35000,350102q0.0035,0.003504二、舍入二、舍入规则规则n末位后的数字小于0.5时，则舍去，即保留的末位数字不变n末位后的数字大于0.5时，则进一，即保留的末位数字加1n末位后的数字恰为0.5时，使末位为偶数，即末位数字为奇数则进一，为偶数则舍弃4四舍四舍六入六入逢五凑偶逢五凑偶 3.141592.717294.510503.215506.3785017.6914995.434603.1422.7174.5103.2166.3797.6915.435三、运算规则三、运算规则n加减：以小数位数最少的数据位数为准，其余各数据可以相同，也可多取一位数字（安全数字）
3、，但最后结果应与小数位数最少的数据小数位相同；n乘除：以有效位数最少的数据位数为准，其余各数据可以相同，也可多取一位数字（参考数字），但最后结果应与有效位数最少的数据位数相同；n乘方或开方：运算结果的有效位数应比原数据多保留一位有效位数。例：1648.0+0.0082+1.632+86.62+5.135+316.34+0.545 1648.0+0.01+1.63+86.62+5.14+316.34+0.54 =2058.28?0.0121*1.36872 0.0121*1.3687=0.01656127？5第二节第二节 异常值的判断与剔除异常值的判断与剔除第五章第五章 测量数据处理测量数据处理
4、7异常值含有粗大误差（或过失误差）异常值含有粗大误差（或过失误差）测量人员的主观原因测量人员的主观原因 客观外界条件的原因客观外界条件的原因 仪器内部故障仪器内部故障7测量者工作责任感不强、工作过测量者工作责任感不强、工作过于疲劳、缺乏经验操作不当，或于疲劳、缺乏经验操作不当，或在测量时不小心、不耐心、不仔在测量时不小心、不耐心、不仔细等，造成错误的读数或记录细等，造成错误的读数或记录测量条件意外地改变（如机械冲测量条件意外地改变（如机械冲击、外界振动、电磁干扰等）击、外界振动、电磁干扰等）一、异常值产生的原因一、异常值产生的原因二、异常值的判别准则二、异常值的判别准则 1.莱以特准则（莱以特
5、准则（准则准则）莱以特准则是最常用也是最简单的判别异常值的准则，它是以测量次数充分大为前提，但通常测量次数较少，因此该准则只是一个近似的准则。若 则可认为该数据 含有异常值，应予以剔除。83|3()ddkvxxs xdx9v0.0000810.0000810.0003610.0003610.0001210.0001210.0003610.0003610.0000810.0000810.0003610.0003610.0004410.0004410.0001210.0001210.0003610.0003610.0000810.0000810.0000010.0000010.0004410.00
6、04410.0004410.0004410.0001210.000121+0.009+0.009+0.019+0.019-0.011-0.011+0.019+0.019+0.009+0.009+0.019+0.019-0.021-0.021-0.011-0.011+0.019+0.019+0.009+0.009-0.001-0.001-0.021-0.021-0.021-0.021-0.011-0.0110.0002560.0002560.0006760.0006760.0000160.0000160.0006760.0006760.0002560.0002560.0006760.000676
7、0.0001960.0001960.0108160.0108160.0000160.0000160.0006760.0006760.0002560.0002560.0000360.0000360.0001960.0001960.0001960.0001960.0000160.000016+0.016+0.016+0.026+0.026-0.004-0.004+0.026+0.026+0.016+0.016+0.026+0.026-0.014-0.014-0.104-0.104-0.004-0.004+0.026+0.026+0.016+0.016+0.006+0.006-0.014-0.014
8、-0.014-0.014-0.004-0.00420.4220.4220.4320.4320.4020.4020.4320.4320.4220.4220.4320.4320.3920.3920.3020.3020.4020.4020.4320.4320.4220.4220.4120.4120.3920.3920.3920.3920.4020.401 12 23 34 45 56 67 78 89 9101011111212131314141515序号序号15210.003374iiv404.20151nlxii15210.01496iiv0151iiv2vv2vl3()3 0.0330.099
9、ks x 0.1043()30.0160.048ksx 2.罗曼诺夫斯基准则罗曼诺夫斯基准则（t 检验检验准则准则，测量次数较少时较为合理）10 首先剔除一个剔除一个可疑的测得值，然后按 t 分布检验被剔除的值是否是含有异常值异常值。测量数据：，若认为某个测量值 为可疑数据，将其剔除后计算平均值为 求得测量数据列的实验标准差 根据测量次数 n 和选取的显著度 ，查 t分布得检验系数 。若 ，则认为测量值 确实含有异常值异常值。nxxx,.,21jxnjiiixnx11121()2niikvs xn),(nK()jkxxKs xjx二、异常值的判别准则二、异常值的判别准则t分布检验系数表分布检验
10、系数表11 K n0.050.01 K n0.050.01 K n0.050.0144.9711.46132.293.23222.142.9153.566.53142.263.17232.132.9063.045.04152.243.12242.122.8872.784.36162.223.08252.112.8682.623.96172.203.04262.102.8592.513.71182.183.01272.102.84102.433.54192.173.00282.092.83112.373.41202.162.95292.092.82122.333.31212.152.93302.
11、082.81用前面例子的测得值 解：首先怀疑第八组测得值是异常值异常值，将其剔除。然后根据剩下的14个测量值计算平均值和标准差，得 选取显著度 ，已知 n15，查表得则因 故第八组测量值是异常值异常值，应予剔除。然后对剩下的14个测得值进行判别，可知这些测得值不再含有异常值异常值。20.411,()0.016kxs x05.0a24.2)05.0,15(K()2.24 0.0160.036kKs x036.0111.0411.2030.208 xx 2.罗曼诺夫斯基准则罗曼诺夫斯基准则二、异常值的判别准则二、异常值的判别准则13 1950年格拉布斯（年格拉布斯（Grubbs）根据顺序统计量的某
12、种分布根据顺序统计量的某种分布规律提出一种判别异常值的准则。规律提出一种判别异常值的准则。为了检验为了检验 中是否含有异常值，按大小顺序排列成顺序中是否含有异常值，按大小顺序排列成顺序统计量统计量 取一定显著度取一定显著度(一般一般0.05或或0.01)，查表（下页）得临界值，查表（下页）得临界值ix)()2()1(.nxxx()()()nnkxxgs x(1)(1)()kxxgs x),(0)(nggi0(,)g n判据：判据：，可判别该测得数据中含有异常值异常值二、异常值的判别准则二、异常值的判别准则 3.格拉布斯准则格拉布斯准则14),(0ang2.782.822.852.882.912
13、.942.962.993.013.103.183.243.343.592.482.502.532.562.582.602.622.642.662.742.812.872.963.17171819202122232425303540501001.161.491.751.942.102.222.322.412.482.552.612.662.702.751.151.461.671.821.942.032.112.182.232.282.332.372.412.412.443456789101112131415160.010.050.010.05aann),(0ang格拉布斯格拉布斯临界值临界值15
14、 今有两测得值今有两测得值 ，可怀疑，但由于可怀疑，但由于 故应先怀疑故应先怀疑 是否含有是否含有异常值异常值，计算，计算 查表得查表得 则则 故测量数据中第八个测得值故测量数据中第八个测得值 含有含有异常值异常值，应予剔除。，应予剔除。剩下的剩下的14个个数据，再重复上述步骤，判别数据，再重复上述步骤，判别 是否是是否是异常值异常值。计算计算 故可判别故可判别 不是不是异常值异常值，而各，而各 皆小于皆小于1.18，故可认，故可认为其余测得值也不是为其余测得值也不是异常值异常值。)1(x)15(x104.030.20404.20)1(xx026.0404.2043.20)15(xx)1(x1
15、5.3033.030.20404.20)1(g41.2)05.0,15(0g41.2)05.0,15(15.30)1(gg8x)15(x20.411 x，()0.016ks x18.1016.0411.2043.20)15(g)15(x)(ig20.404()0.033kxs x30.20)1(x43.20)15(x 3.格拉布斯准则格拉布斯准则格拉布斯准则使用的注意事项格拉布斯准则使用的注意事项n在应用上述准判断异常值时，若同时有两个以上的测得值的残差vi超出判断界限，也只能剔除其中|vi|最大的那一个数据（如有两个相同的数据超限，也只能剔除其中的任一个）。即，一次只能剔除一个超限的数据。n
16、之后再按剩下的（n-1）个数据重新计算算术平均值、残差及实验标准差，继续判断另一个可疑数据，直到全部数据无问题为止。注：那些在前次判断中和被剔除的数据同时超限的次大（或同样大）注：那些在前次判断中和被剔除的数据同时超限的次大（或同样大）的数据，在重新计算后，其的数据，在重新计算后，其|v|可能不再超过判断界限。可能不再超过判断界限。16二、异常值的判别准则二、异常值的判别准则4.狄克松准则狄克松准则17设正态测量总体的一个样本设正态测量总体的一个样本 按大小顺序排列成顺序统计量按大小顺序排列成顺序统计量 构造检验高端异常值构造检验高端异常值 和低端异常值和低端异常值 ，分以下几种情形：，分以下
17、几种情形：选定显著度选定显著度 ，查表得到各统计量的临界值，查表得到各统计量的临界值 ，若统，若统计值大于临界值，则认为计值大于临界值，则认为 x(n)是异常值。是异常值。nxxx,.,21)()2()1(.nxxxijrijr14 1311:108:7 )1()2()1()3(22)3()()2()(22)1()1()1()3(21)2()()2()(21)1()1()1()2(11)2()()1()(11)1()()1()2(10)1()()1()(10nxxxxrxxxxrnxxxxrxxxxrnxxxxrxxxxrnxxxxrxxxxrnnnnnnnnnnnnnnnn与与与与),(0a
18、nra二、异常值的判别准则二、异常值的判别准则18a)()()1()2()1()1()()1()(1010nnnnxxxxrxxxxr统计量统计量0.010.050.010.053456789101112130.9880.8890.7800.6980.6370.6830.6350.5970.6790.6420.6150.3410.7650.6420.5600.5070.5540.5120.4770.5760.5460.5211415161718192021222324250.6410.6160.5950.5770.5610.5470.5350.5240.5140.5050.4970.4890.
19、5460.5250.5250.5070.4900.4750.4620.4500.4400.4300.4210.4130.406nna),(0anr),(0anr()(2)2 2()(3)(3)(1)2 2(2)(1)()nnnnxxrxxxxrxx)()1()1()3()1()2()()2()(2121nnnnxxxxrxxxxr)()1()1()2()1()2()()1()(1111nnnnxxxxrxxxxr狄克松准则（临界值表）狄克松准则（临界值表）19 同前例测量数据，将 排成如下表顺序测量。首先判断最大值 ，计算统计量 查表得：则 ，故 不是异常值异常值。再判别最小值 ，计算统计量
20、因 ，故 是异常值异常值，应予剔除。剩下14个数据，再重复上述步骤。ixix顺序号顺序号顺序号顺序号20.3020.3020.3920.3920.3920.4020.4020.4020.4112345678123456720.4220.4220.4220.4320.4320.4320.439101112131415891011121314ix)(ix)(ix)(ix)(ix039.2043.2043.2043.20)3()15()13()15(22xxxxr525.0)05.0,15(0r220rr)15(x)1(x(1)(3)22(1)(13)20.3020.390.69220.3020.4
21、3xxrxx 220rr)15(x)1(x4.4.狄克松准则狄克松准则小结小结异常值的判别准则异常值的判别准则n大样本情况（n50）用莱以特准则最简单方便，虽然这种判别准则的可靠性不高，但它使用简便，不需要查表，故在要求不高时经常使用；n20t 个正规方程个正规方程-求解求解t个被测量个被测量的最佳估计值的最佳估计值二、正规方程求解二、正规方程求解代数形式代数形式残差方程按最小二乘法原理转化得到的有确定解的代数方程组残差方程按最小二乘法原理转化得到的有确定解的代数方程组28例题例题求解步骤：求解步骤：1.1.列残差方程列残差方程 2.2.列正规方程列正规方程 3.3.求解求解 )1(0tyyt
22、2530404520102001.602911 121 2112 1222211220000nnnnTttntna va va va va va vA Va va va v11TTTTALAXXA AA LC A L-0 二、正规方程求解二、正规方程求解矩阵形式矩阵形式代数形式代数形式30知识补充：矩阵求导知识补充：矩阵求导n矩阵的导数有如下性质：矩阵的导数有如下性质：(1)0(2)()2(3)()TTTdAdXv vvvXXX AAX常数阵的导数为零矩阵向量与向量转置乘积的导数常数矩阵与向量乘积的导数31最小二乘法原理式 TA AC求导不等权()()MinTL AXL AX正规方程组()TT
23、A A XA L正规方程组解 1TXC A L()()MinTL AXP L AX()TTA PA XA PL*1TXCA PL*TCA PA正规方程的矩阵表达式正规方程的矩阵表达式二、正规方程求解二、正规方程求解矩阵形式矩阵形式32（加权）未知量个数残差2.待求量待求量 x1,x2,，xt 的实验标准差为的实验标准差为()()jjjs xs ld直接测量量的标准差1TA A对角元素21()ni iipvs lnt1.直接测量值直接测量值 的实验标准差为的实验标准差为方程个数21()niivs lnt三、标准差三、标准差估计估计12,.,nl ll第四节第四节 组合测量数据的最小二乘法处理组合
24、测量数据的最小二乘法处理第五章第五章 测量数据处理测量数据处理34n为精密测定为精密测定1、2、3号电容器的电容量号电容器的电容量x1,x2,x3，进行了等权、独立、无系统误差的测量。测得进行了等权、独立、无系统误差的测量。测得 1号电容值号电容值 l1=0.3 2号电容值号电容值l2=-0.4 1号和号和3号并联电容值号并联电容值 l3=0.5 2号和号和3号并联电容值号并联电容值 l4=-0.3待测值待测值 x1,x2,x3 直接测量值直接测量值l1,l2,l3,l4 t=3个未知量个未知量n=4 次测量次测量引题引题组合测量问题组合测量问题3535组合测量组合测量指直接测量一组被测量的不
25、同组合值，从它们相互所依赖的若干函数关系中，确定出各被测量的最佳估计值。例如，为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量 1x2x3x测得值1y2y3y4y11221332340.3()0.4()0.5()0.3()xyxyxxyxxy 待解的数学模型 待求量为了获得更可靠为了获得更可靠的结果，测量次的结果，测量次数总要多于未知数总要多于未知参数的数目参数的数目一、组合测量的基本概念一、组合测量的基本概念36【解】【解】列出测量残差方程组 100010101011A1234vvvvV11223134230.30.40.5()0.3()xxxxxx 矩阵形式 0.30.4 0.50.3LLAXV-
26、二、最小二乘法求解二、最小二乘法求解1111 112 212221 122 221 12 2(.)(.).(.)ttttnnnnnttvla xa xa xvla xa xa xvla xa xa x37正规方程组正规方程组 100101020101001010211010011112011TCA A0.310100.80.401010.70.500110.20.3T A L二、最小二乘法求解二、最小二乘法求解1 0.250 -0.500 0.250 -0.500-0.500 -0.500 0.7500.7501.000C0.750 0.250 -0.5000.80.325 0.250 0.7
27、50 -0.5000.7-0.425-0.500 -0.500 1.0000.2 0.1501TXCA L1230.325,0.425,0.150 xxx 38三、标准差三、标准差的计算的计算代入残差方程组，计算 12340.025vvvv 222212340.0025vvvv0.0025()43s l 111222()0.050.750.0433()0.0433s xs ds xs d333()0.0510.05s xs d11223134230.30.40.5()0.3()xxxxxx 21()niivs lnt()()jjjs xs ld39【例【例】要求检定线纹尺 0，1，2，3 刻线
28、间的距离。已知用组合测量法测得下图所示刻线间隙的各种组合量。试用最小二乘法求及其实验标准偏差。123,x x x123,x x x11.015L 20.985L 31.020L 42.016L 51.981L 63.032L 0123xxx123LLLLLL123456例题例题40计算步骤计算步骤【解】【解】列出测量残差方程组 1.01250.9851.0202.0161.9813.302L100010001110011111A1112223334412552366123vLxvLxvLxvLxxvLxxvLxxx123456vvvvvvVLAXV-41解出11TTTXC A LA AA L1
29、0.5000.25000.2500.5000.25000.2500.500C 1.0150.9851001016.0631.020010111 8.0142.016001011 6.0331.9813.032TA L0.5000.25006.0631.0280.2500.5000.250 8.014 0.98300.2500.500 6.033 1.013X 1231.028,0.983,1.013xxx即计算结果计算步骤计算步骤42代入残差方程组可得 11122233344125523661231.015 1.0280.0130.9850.9830.0021.020 1.0130.0072.
30、016(1.0280.983)0.0051.981(0.983 1.013)0.0153.032(1.0280.983 1.013)0.008vLxvLxvLxvLxxvLxxvLxxx 2222221234560.000536vvvvvv0.0005360.01363s 估计的标准差 111222333()0.0130.50.009()0.009()0.009s xs ds xs ds xs d计算步骤计算步骤43 下图为大型直角尺互检的示意图。两被检直角尺下图为大型直角尺互检的示意图。两被检直角尺和和安装在安装在检验板上，测微表座紧贴在尺检验板上，测微表座紧贴在尺的长边工作面上，测头和尺的
31、长边工作面上，测头和尺垂直垂直接触，自上而下移动测微表，取其最大与最小值之差记为接触，自上而下移动测微表，取其最大与最小值之差记为A，则，则A为为尺尺和和的垂直度误差的垂直度误差1和和2之代数和。用四支直角尺互检之代数和。用四支直角尺互检6次，所次，所得组合测量方程组如下，可求得各尺垂直度误差。请列出此组合测得组合测量方程组如下，可求得各尺垂直度误差。请列出此组合测量的误差方程，并以矩阵形式表示之。量的误差方程，并以矩阵形式表示之。12A，13B，14C 23D，24E，34F当基准是直线，被评价的是直当基准是直线，被评价的是直线时，垂直度是垂直于基准直线时，垂直度是垂直于基准直线且距离最远的两个包含被测线且距离最远的两个包含被测直线上的点的平面之间的距离直线上的点的平面之间的距离作业题作业题
