1、竖直平面内的临界问题 1 1、轻绳与轨道轻绳与轨道模型模型：能过最高点的临界条件：能过最高点的临界条件：RgvmmgR临界2小球在最高点时绳子的拉力（轨小球在最高点时绳子的拉力（轨道对球的压力）刚好等于道对球的压力）刚好等于0 0，小，小球的重力充当圆周运动所需的向球的重力充当圆周运动所需的向心力。心力。mgO绳mgO轨道小结小结一一:没有支撑的物体没有支撑的物体 细绳拴小球，圆滑轨道上滑动的小球细绳拴小球，圆滑轨道上滑动的小球1、临界条件临界条件：绳子或轨道对小球绳子或轨道对小球没有力没有力的作用：的作用：(即：即：T=0)有有 所以：所以：2vmgmRVRg临 界2、能通过最高点的条件：、
2、能通过最高点的条件：vRgv大于 Rg时，绳(轨道）对球产生拉力（压力）。3、不能通过最高点的条件：、不能通过最高点的条件：vRg小于实际上小球还不到最高点时就脱离了轨道。实际上小球还不到最高点时就脱离了轨道。mgO绳mgO轨道例：如图所示，一质量为例：如图所示，一质量为m m的小球，用长为的小球，用长为L L细绳细绳系住，使其在竖直面内作圆周运动。若过小球恰系住，使其在竖直面内作圆周运动。若过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点的速度为多少？好能通过最高点，则小球在最高点的速度为多少？小球的受力情况如何？小球的受力情况如何？例：例：如图所示，一质量为如图所示，一质量为m m的小球，在半径为的
3、小球，在半径为R R 光光滑轨道上，使其在竖直面内作圆周运动。若过小滑轨道上，使其在竖直面内作圆周运动。若过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点的速度为球恰好能通过最高点，则小球在最高点的速度为多少？多少？（小球的受力情况如何？）（小球的受力情况如何？）例：例：如图所示，质量为如图所示，质量为m m的小球在竖直平的小球在竖直平面内的光滑圆轨道上做圆周运动圆半面内的光滑圆轨道上做圆周运动圆半径为径为R R，小球经过圆环最高点时刚好不脱，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆轨则其通过最高点时（离圆轨则其通过最高点时（）A A小球对圆环的压力大小等于小球对圆环的压力大小等于mgmgB B小球的向心力等于
4、重力小球的向心力等于重力 C C小球的线速度大小等于小球的线速度大小等于D D小球的向心加速度大小等于小球的向心加速度大小等于g gBCDRg例：例：用长为用长为l l的细绳，拴着质量为的细绳，拴着质量为m m的小球，在的小球，在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是（是（）A.A.小球在最高点所受的向心力一定是重力小球在最高点所受的向心力一定是重力B.B.小球在最高点绳的拉力可能为零小球在最高点绳的拉力可能为零C.C.小球在最低点绳子的拉力一定大于重力小球在最低点绳子的拉力一定大于重力D.D.若小球恰好能在竖直平面内做圆周运动，则若小球恰好能在竖直
5、平面内做圆周运动，则它在最高点的速率为它在最高点的速率为零零例：例：质量为质量为m m的小球在竖直平面内的圆形轨道的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动如图所示，经过最高点而不脱离的内侧运动如图所示，经过最高点而不脱离轨道的速度临界值是轨道的速度临界值是v v，当小球以，当小球以2v2v的速度经的速度经过最高点时，对轨道的压力值是（过最高点时，对轨道的压力值是（）A.0A.0B.mgB.mgC.3mgC.3mgD.5mgD.5mg例：例：一根绳系着装有水的水桶，在竖直平面一根绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量内做圆周运动，水的质量m m0.5 kg0.5 kg，绳长，绳长l
6、l60 cm60 cm，g g取取10 m/s10 m/s2 2，求：，求：（1 1）最高点水不流出的最小速率）最高点水不流出的最小速率?（2 2）水在最高点速率）水在最高点速率v v3 m/s3 m/s时，水对桶底时，水对桶底的压力的压力?例：例：如图所示，一个半径为如图所示，一个半径为R R的光滑半圆形轨道的光滑半圆形轨道放在水平面上，一个质量为放在水平面上，一个质量为m m的小球以某一初速的小球以某一初速度冲上轨道，当小球将要从轨道上沿水平方向度冲上轨道，当小球将要从轨道上沿水平方向飞出时，轨道对小球的压力恰好为零，则小球飞出时，轨道对小球的压力恰好为零，则小球落地点落地点C C距距B
7、B点多远？（点多远？（A A、B B在同一竖直线上）在同一竖直线上）BA.OC2 2、轻杆和圆管、轻杆和圆管模型模型：能过最高点的临界条件：能过最高点的临界条件：0临界vmgONmgON杆（管的下壁）对球的支持力杆（管的下壁）对球的支持力F FN N=mg=mg小结小结二二:有支撑的物体有支撑的物体小球与杆相连，球在光滑封闭管中运动小球与杆相连，球在光滑封闭管中运动2 2、小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况：、小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况：RgV B、当、当 时，杆对小球有指向圆心的时，杆对小球有指向圆心的拉力拉力，其大小随速，其大小随速度的增大而增大。度的增大而增大。Rgv0Nmg
8、F0C、时，对小球的时，对小球的支持力支持力方向竖直向上，大小方向竖直向上，大小随速度随速度的的增大而减小增大而减小，取值范围是：，取值范围是：Rgv A、当、当 时，杆对小球的时，杆对小球的支持力支持力NF0mgONmgON杆管道1 1、临界条件：、临界条件：由于支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度由于支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度V V临界临界=0=0，此时，此时弹力弹力等于重力等于重力NFmg例例:如图所示，细杆的一端与一小球相连，可如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过绕过O O的水平轴自由转动。现给小球一初速度，的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动。图中使它
9、做圆周运动。图中a a、b b分别表示小球轨分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球作用力可能道的最低点和最高点，则杆对球作用力可能是（是（）A A、a a处为拉力，处为拉力，b b处为拉力处为拉力B B、a a处为拉力，处为拉力，b b处为推力处为推力C C、a a处为推力，处为推力，b b处为拉力处为拉力D D、a a处为推力，处为推力，b b处为推力处为推力abA、B例：例：长度为长度为L L0.5m0.5m的轻质细杆的轻质细杆OAOA，A A端有一质量端有一质量为为m m3.0kg3.0kg的小球，如图的小球，如图5 5所示，小球以所示，小球以O O点为圆心点为圆心在竖直平面内做圆周
10、运动，通过最高点时小球的速在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是率是2.0m2.0ms s，g g取取10m10ms s2 2，则此时细杆，则此时细杆OAOA受到受到（）（）A A、6.0N的拉力的拉力B B、6.0N的压力的压力C C、24N的拉力的拉力D D、24N的压力的压力B例：例：长长L L0.5m0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端固，质量可以忽略的的杆，其下端固定于定于O O点，上端连接着一个质量点，上端连接着一个质量m m2kg2kg的小球的小球A A，A A绕绕O O点做圆周运动（同图点做圆周运动（同图5 5），在），在A A通过最高点，试讨论通过最高点，试讨论在下
11、列两种情况下杆的受力：在下列两种情况下杆的受力：当当A A的速率的速率v v1 11m1ms s时时:当当A A的速率的速率v v2 24m4ms s时时:例、长为例、长为0.6m0.6m的轻杆的轻杆OA(OA(不计质量不计质量),A),A端端插个质量为插个质量为2.0kg2.0kg的物体的物体,在竖直平面内在竖直平面内绕绕O O点做圆周运动点做圆周运动,当球达到最高点的速当球达到最高点的速度分别为度分别为3m/s,m/s,2m/s3m/s,m/s,2m/s时时,求杆对球求杆对球的作用力各为多少的作用力各为多少?6O OA A例：例：如图所示，质量如图所示，质量m=0.2kg的小球固定在长的小
12、球固定在长为为0.9m的轻杆的一端，杆可绕点的水平的轻杆的一端，杆可绕点的水平轴在竖直平面内转动，轴在竖直平面内转动，g=10m/s2，求：，求：（1）小球在最高点的速度能否等）小球在最高点的速度能否等于零？于零？（2）当小球在最高点的速度为多）当小球在最高点的速度为多大时，小球对杆的作用力为零？大时，小球对杆的作用力为零？（3）当小球在最高点的速度分别）当小球在最高点的速度分别为为m/s和和1.5m/s时，杆对小球的时，杆对小球的作用力的大小和方向作用力的大小和方向练习习题7.质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动如图589所示，经过最高点而不脱离轨道的速度临界值是v，当小球以2v的
13、速度经过最高点时，对轨道的压力值是（）A.0B.mgC.3mgD.5mg2、用长为l的细绳，拴着质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是（）A.小球在最高点所受的向心力一定是重力B.小球在最高点绳的拉力可能为零C.小球在最低点绳子的拉力一定大于重力D.若小球恰好能在竖直平面内做圆周运动，则它在最高点的速率为7 如下图,质量为0.5 kg的小杯里盛有1 kg的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为lm，小杯通过最高点的速度为4 m/s，g取10 m/s2,求：（1）在最高点时，绳的拉力？（2）在最高点时水对小杯底的压力？（3）为使小杯经过最高点时水不流出，
14、在最高点时最小速率是多少？图所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧若竖直圆轨道的半径为R，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为()杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g10 m/s2)()A“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零C“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受
15、力的作用D“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如右图所示已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为3d/4，重力加速度为g.忽略手的运动半径和空气阻力(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2(2)问绳能承受的最大拉力多大？选做(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？补充题例1:如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过
16、O的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动。图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球作用力可能是（）A、a处为拉力，b处为拉力B、a处为拉力，b处为推力C、a处为推力，b处为拉力D、a处为推力，b处为推力abA、B例例2 2 长度为长度为L L0.5m0.5m的轻质细杆的轻质细杆OAOA，A A端有一质端有一质量为量为m m3.0kg3.0kg的小球，如图的小球，如图5 5所示，小球以所示，小球以O O点为圆点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是速率是2.0m2.0ms s，g g取取10m10ms s2 2，
17、则此时细杆，则此时细杆OAOA受到受到（）（）A A、6.0N的拉力的拉力B B、6.0N的压力的压力C C、24N的拉力的拉力D D、24N的压力的压力B例例3 3：长长L L0.5m0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端，质量可以忽略的的杆，其下端固定于固定于O O点，上端连接着一个质量点，上端连接着一个质量m m2kg2kg的小球的小球A A，A A绕绕O O点做圆周运动（同图点做圆周运动（同图5 5），在），在A A通过最高点，试讨通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：论在下列两种情况下杆的受力：当当A A的速率的速率v v1 11m1ms s时时:当当A A的速率的速率v v2
18、24m4ms s时时:如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧形如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道轨道ABCDABCD，其，其A A点与圆心等高，点与圆心等高，D D点为轨道最高点为轨道最高点，点，DBDB为竖直线，为竖直线，ACAC为水平线，为水平线，AEAE为水平面，为水平面，今使小球自今使小球自A A点正上方某处由静止释放，且从点正上方某处由静止释放，且从A A点进入圆形轨道运动，通过适当调整释放点的点进入圆形轨道运动，通过适当调整释放点的高度，总能保证小球最终通过最高点高度，总能保证小球最终通过最高点D D，则小球，则小球在通过在通过D D点后（点后（）A A会落到水平面会落到水平
19、面AEAE上上 B B一定会再次落到圆轨道上一定会再次落到圆轨道上C C可能会落到水平面可能会落到水平面AEAE上上 D D可能会再次落到圆轨道上可能会再次落到圆轨道上A A二、在竖直平面内作圆周运动的临界问题在水平面上做圆周运动的物体，当角速度变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。经典案例经典案例(9(9分分)一细杆与水桶相连，水桶中装有水，水桶与一细杆与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细杆一起在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量细杆一起在竖直平面内做
20、圆周运动，如图所示，水的质量m m0.5 kg,0.5 kg,水的重心到转轴的距离水的重心到转轴的距离L L60 cm.60 cm.(1)(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率若在最高点水不流出来，求桶的最小速率(2)(2)若在最高点的水桶速率若在最高点的水桶速率v v3 m/s3 m/s，求水对桶底的压力，求水对桶底的压力(g(g取取9.8 m/s2)9.8 m/s2)【解析】【解析】(1)在最高点水恰好不流出的条件：在最高点水恰好不流出的条件：mg (3分分)得得v02.42 m/s.(1分分)(2)由由F 可知，当可知，当v增大时，物体做圆周运动所需的增大时，物体做圆周运动所需的向心
21、力也随之增大，由于向心力也随之增大，由于v3 m/s2.42 m/s，因此，当水在，因此，当水在最高点时，水自身的重力已不足以提供水做圆周运动所需的最高点时，水自身的重力已不足以提供水做圆周运动所需的向心力，此时桶底对水有一向下的压力，设为向心力，此时桶底对水有一向下的压力，设为FN，则由牛顿，则由牛顿第二定律有第二定律有FNmg (3分分)FN mg2.6 N(1分分)根据牛顿第三定律可知，水对桶底的压力大小为根据牛顿第三定律可知，水对桶底的压力大小为2.6 N，方向，方向竖直向上竖直向上(1分分)mv02/Lmv2/Rmv2/Lmv2/L1.绳系着装水的水桶，在竖直平面内绳系着装水的水桶，
22、在竖直平面内做圆周运动，水的质量做圆周运动，水的质量m=0.5kg，绳，绳长长L=40cm，求：，求：（）为使桶在最高点时水不流出，（）为使桶在最高点时水不流出，桶的最小速率？桶的最小速率？（）桶在最高点速率（）桶在最高点速率v=4m/s时，时，水对桶底的压力？水对桶底的压力？【学以致用】练习练习:如图所示，轻杆的一端固定如图所示，轻杆的一端固定一质量为一质量为m m的小球，并以另一端的小球，并以另一端O O为圆为圆心，使小球在竖直面内做半径为心，使小球在竖直面内做半径为R R的的圆周运动，以下说法正确的是：圆周运动，以下说法正确的是：A A、小球过最高点时的起码速度为小球过最高点时的起码速度
23、为 ；B B、小球过最高点时，杆所受的弹力可以等于零；小球过最高点时，杆所受的弹力可以等于零；C C、小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向受重力方向 相反，此时重相反，此时重 力力 一定大于杆对球的作一定大于杆对球的作用力；用力；D D、小球过最高点时，杆对球作用力一定与小球所小球过最高点时，杆对球作用力一定与小球所受重力方向相反。受重力方向相反。ORgBC例：长为例：长为0.5m，质量可忽略的杆，其下端固定于，质量可忽略的杆，其下端固定于O点，上端连有质量点，上端连有质量m=2kg的小球，它绕的小球，它绕O点做圆点做圆周运动，当通过最高点
24、时，如图所示，求下列情周运动，当通过最高点时，如图所示，求下列情况下，杆受到的力（说明是拉力还是压力）：况下，杆受到的力（说明是拉力还是压力）：（1）当）当v1=1m/s时；时；（2）v2=4m/s时。（时。（g取取10m/s2）AB例、质量为例、质量为1kg1kg的小球沿半径为的小球沿半径为20cm20cm的圆环在竖直的圆环在竖直平面内做圆周运动，如图所示，求平面内做圆周运动，如图所示，求 （1 1）小球在圆环的最高点）小球在圆环的最高点A A不掉下来的最小速度不掉下来的最小速度是多少？此时小球的向心加速度是多少？是多少？此时小球的向心加速度是多少？（2 2）若小球仍用以上的速度经过圆环的最
25、高点）若小球仍用以上的速度经过圆环的最高点A A，当它运动到圆环的最低点当它运动到圆环的最低点B B时，对圆环的压力是多时，对圆环的压力是多少？此时小球的向心加速度是多少？少？此时小球的向心加速度是多少？巩固应用：例、长为例、长为0.6m0.6m的轻杆的轻杆OA(OA(不计质量不计质量),A),A端端插个质量为插个质量为2.0kg2.0kg的物体的物体,在竖直平面内在竖直平面内绕绕O O点做圆周运动点做圆周运动,当球达到最高点的速当球达到最高点的速度分别为度分别为3m/s,m/s,2m/s3m/s,m/s,2m/s时时,求杆对球求杆对球的作用力各为多少的作用力各为多少?6O OA A巩固应用例例2：如图所示，质量如图所示，质量m=0.2kg的小球固定在长的小球固定在长为为0.9m的轻杆的一端，杆可绕点的水平的轻杆的一端，杆可绕点的水平轴在竖直平面内转动，轴在竖直平面内转动，g=10m/s2，求：，求：（1）小球在最高点的速度能否等）小球在最高点的速度能否等于零？于零？（2）当小球在最高点的速度为多）当小球在最高点的速度为多大时，小球对杆的作用力为零？大时，小球对杆的作用力为零？（3）当小球在最高点的速度分别）当小球在最高点的速度分别为为m/s和和1.5m/s时，杆对小球的时，杆对小球的作用力的大小和方向作用力的大小和方向
