1、第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 2.1 引言引言 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质序列的傅里叶变换的定义及性质 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系信号傅里叶变换之间的关系 2.5 序列的序列的Z变换变换 2.6 利用利用Z变换分析信号和系统的频域特性变换分析信号和系统的频域特性 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统
2、的频域分析2.1 引言引言 我们知道信号和系统的分析方法有两种，即我们知道信号和系统的分析方法有两种，即时域时域分析方法和分析方法和频域频域分析方法。分析方法。在在模拟模拟领域中，信号一般用连续变量时间领域中，信号一般用连续变量时间t的函数的函数表示，系统则用表示，系统则用微分方程微分方程描述。为了在频率域进行分描述。为了在频率域进行分析，用析，用拉普拉斯变换拉普拉斯变换和和傅里叶变换傅里叶变换将时间域函数转换将时间域函数转换到频率域。到频率域。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 在时域在时域离散信号和系统离散信号和系统中，中，信号用序列表示，信号用序列表示，
3、其其自变量仅取整数，自变量仅取整数，非整数时无定义，非整数时无定义，而系统则用而系统则用差分差分方程方程描述。频域分析是用描述。频域分析是用Z变换变换或或傅里叶变换傅里叶变换这一数学这一数学工具。工具。其中傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换，其中傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换，它它和模拟域中的傅里叶变换是不一样的，和模拟域中的傅里叶变换是不一样的，但都是线性变但都是线性变换，换，很多性质是类似的。很多性质是类似的。本章学习序列的本章学习序列的傅里叶变换和傅里叶变换和Z变换变换，以及利用以及利用Z变换分析系统和信号频域特性。变换分析系统和信号频域特性。本章学习内容是本书本章学习内容是本书也是数字
4、信号处理这一领域的基础。也是数字信号处理这一领域的基础。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析傅立叶变换的四种形式傅立叶变换的四种形式a.连续时间，连续频率连续时间，连续频率 模拟傅立叶变换模拟傅立叶变换 一般连续非周期信号的傅立叶变换一般连续非周期信号的傅立叶变换b.连续时间，离散频率连续时间，离散频率 傅立叶级数傅立叶级数 周期性连续时间函数周期性连续时间函数c.离散时间，连续频率离散时间，连续频率 序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换 离散时间信号的傅立叶变换离散时间信号的傅立叶变换d.离散时间，离散频率离散时间，离散频率 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT
5、）有限长序列和周期序列有限长序列和周期序列第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质序列的傅里叶变换的定义及性质 2.2.1 序列傅里叶变换的定义序列傅里叶变换的定义 定义定义()()jj nnX ex n e(2.2.1)为序列为序列x(n)的傅里叶变换，的傅里叶变换，可以用可以用FT(Fourier Transform)缩写字母表示。缩写字母表示。FT成立的充分必要条件成立的充分必要条件是序列是序列x(n)满足绝对可和的条件，满足绝对可和的条件，即满足下式：即满足下式：()nx n(2.2.2)第第2章章 时域离散信号和系统的频
6、域分析时域离散信号和系统的频域分析 为求为求FT的反变换，的反变换，用用e jn乘乘(2.2.1)式两边，式两边，并在并在 -内对内对进行积分，进行积分，得到得到()()()()()2()1()()2jj mj nj nnjm nnjm njj mX eedx n eedx nedednmx nX eed(2.2.3)(2.2.4)式中式中 因此因此()()jj nnX ex n e()nx n 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 上式即是上式即是FT的逆变换。的逆变换。(2.2.1)和和(2.2.4)式组成一式组成一对傅里叶变换公式。对傅里叶变换公式。(2.
7、2.2)式是式是FT存在的充分必要条存在的充分必要条件，件，如果引入冲激函数，如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，一些绝对不可和的序列，例如周期序列，例如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来，示出来，这部分内容在下面介绍。这部分内容在下面介绍。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 例例 2.2.1 设设x(n)=RN(n)，求求x(n)的的FT 10/2/2/2/2/2/2(1)/2()()1()1()sin(/2)sin/2Njj nj nNnnj Nj Nj Nj Njj Njjj NX eRn eeeeeee
8、eeeNe解：解：(2.2.5)设设N=4，幅度与相位随幅度与相位随变化曲线如图变化曲线如图2.2.1所示。所示。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 图图 2.2.1 R4(n)的幅度与相位曲线的幅度与相位曲线 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.2.2 序列傅里叶变换的性质序列傅里叶变换的性质1.FT的周期性的周期性在定义在定义(2.2.1)式中，式中，n取整数，取整数，因此下式成立因此下式成立(2)()(),jjM nnX ex n eM为整数为整数 (2.2.6)因此序列的傅里叶变换是频率因此序列的傅里叶变换是频率的周
9、期函数，的周期函数，周期周期是是2。这样这样X(ej)可以展成傅里叶级数，可以展成傅里叶级数，其实其实(2.2.1)式式已经是傅里叶级数的形式，已经是傅里叶级数的形式，x(n)是其系数。是其系数。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析图图 2.2.2 cosn的波形的波形 1 012341 10123456nn(a)(b)12)12(McosMncosn第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.线性线性 11221212()(),()(),()()()()jjjjX eFT x nXeFT x nFT ax nbx naX ebXe那
10、么那么 设设 式中式中a,b为常数为常数 3.时移与频移时移与频移 设设X(e j)=FTx(n)，那么那么 (2.2.7)0000()()()()j njjnjFT x nneX eFT ex nX e(2.2.8)(2.2.9)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 4.FT的对称性的对称性 在学习在学习FT的对称性以前，的对称性以前，先介绍什么是共轭对称先介绍什么是共轭对称与共轭反对称以及它们的性质。与共轭反对称以及它们的性质。设序列设序列xe(n)满足下式：满足下式：xe(n)=x*e(-n)(2.2.10)则称则称xe(n)为为共轭对称序列共轭对称序列。
11、为研究共轭对称序列具有什么性质，将为研究共轭对称序列具有什么性质，将xe(n)用其用其实部与虚部表示实部与虚部表示 xe(n)=xer(n)+jxei(n)将上式两边将上式两边n用用-n代替，代替，并取共轭，并取共轭，得到得到 x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 对比上面两公式，对比上面两公式，左边相等，左边相等，因此得到因此得到 xer(n)=xer(-n)(2.2.11)xei(n)=-xei(-n)(2.2.12)由上面两式得到共轭对称序列其由上面两式得到共轭对称序列其实部是偶函数实部是偶函数，而而虚部是奇
12、函数虚部是奇函数。类似地，类似地，可定义满足下式的称共轭反对称序列可定义满足下式的称共轭反对称序列 xo(n)=-x*o(-n)(2.2.13)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 将将x0(n)表示成实部与虚部如下式：表示成实部与虚部如下式：xo(n)=xor(n)+jxoi(n)可以由可以由xo(n)=-x*o(-n)得到得到 xo(n)=-xor(-n)-jxoi(-n)xor(n)=-xor(-n)(2.2.14)xoi(n)=-xoi(-n)(2.2.15)即共轭反对称序列的即共轭反对称序列的实部是奇函数实部是奇函数，而而虚部是偶函数虚部是偶函数。第第
13、2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 例例 2.2.2 试分析试分析x(n)=e jn的对称性的对称性 解：解：将将x(n)的的n用用-n代替，代替，再取共轭得到：再取共轭得到：x*(-n)=e jn 因此因此x(n)=x*(-n)，满足满足(2.2.10)式，式，x(n)是共轭对是共轭对称序列，称序列，如展成实部与虚部，如展成实部与虚部，得到得到 x(n)=cosn+j sinn 由上式表明，由上式表明，共轭对称序列的实部确实是偶函数，共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部是奇函数。虚部是奇函数。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析
14、对于一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之对于一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示和表示，即即 x(n)=xe(n)+xo(n)(2.2.16)式中式中xe(n),xo(n)可以分别用原序列可以分别用原序列x(n)求出，求出，将将(2.2.16)式中的式中的n用用-n代替，代替，再取共轭得到再取共轭得到 x*(-n)=x*e(-n)+x*o(-n)-x*o(-n)x*(-n)=xe(n)-xo(n)(2.2.17)利用利用(2.2.16)和和(2.2.17)两式，两式，得到得到 1()()()21()()()2eox nx nxnx nx nxn(2.2.18)(2.2.19)第第2章
15、章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 利用上面两式，利用上面两式，可以分别求出可以分别求出xe(n)和和xo(n)。对于频域函数对于频域函数X(ej)也有和上面类似的概念和结论：也有和上面类似的概念和结论：X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej)(2.2.10)式中式中Xe(ej)与与Xo(ej)分别称为共轭对称部分和共轭反对分别称为共轭对称部分和共轭反对称部分称部分，它们满足它们满足 Xe(ej)=X*e(e-j)(2.2.21)Xo(ej)=-X*o(e-j)(2.2.22)同样有下面公式满足：同样有下面公式满足：1()()()21()()()2jjjejjjoXeX
16、 eXeXeX eXe(2.2.23)(2.2.24)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 (a)将序列将序列x(n)分成实部分成实部xr(n)与虚部与虚部xi(n)x(n)=xr(n)+jxi(n)将上式进行将上式进行FT，得到得到 X(e j)=Xe(e j)+Xo(e j)()()()()()()jj nrrnjj noirnX eFT x nx n eXeFT jx njx n e式中式中 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 上面两式中，上面两式中，xr(n)和和xi(n)都是实数序列，都是实数序列，容容易证明易证明Xe
17、(ej)满足满足(2.2.21)式，式，具有共轭对称性，具有共轭对称性，它的实部是偶函数，它的实部是偶函数，虚部是奇函数。虚部是奇函数。Xo(ej)满足满足(2.2.22)式，式，具有共轭反对称性质，具有共轭反对称性质，其实部是奇函其实部是奇函数，数，虚部是偶函数。虚部是偶函数。最后得到结论：最后得到结论：序列分成实部与虚部两部分，序列分成实部与虚部两部分，实部对称的实部对称的FT具有共轭对称性，具有共轭对称性，虚部和虚部和j一起对应一起对应的的FT具有共轭反对称性。具有共轭反对称性。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 (b)将序列分成共轭对称部分将序列分成共
18、轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分和共轭反对称部分xo(n)，即，即 x(n)=xe(n)+xo(n)(2.2.25)将将(2.2.18)式和式和(2.2.19)式重定如下：式重定如下：1()()()21()()()2eoxnx nxnxnx nxn第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 将上面两式分别进行将上面两式分别进行FT，得到得到 FTxe(n)=1/2X(ej)+X*(ej)=ReX(ej)=XR(ej)FTxo(n)=1/2X(ej)-X*(ej)=jImX(ej)=jXI(ej)因此对因此对(2.2.25)式进行式进行FT得到：得到：X(ej)=X
19、R(ej)+jXI(ej)(2.2.26)(2.2.26)式表示序列的共轭对称部分式表示序列的共轭对称部分xe(n)对应着对应着FT的实部的实部XR(ej)，而序列的共轭反对称部分而序列的共轭反对称部分xo(n)对应着对应着FT的虚部的虚部jXI(ej)。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 因为因为h(n)是实序列，其是实序列，其FT只有共轭对称部分只有共轭对称部分He(ej)，共轭反对称部分为零。共轭反对称部分为零。H(ej)=He(ej)H(ej)=H*(e-j)因此实序列的因此实序列的FT的实部是偶函数，的实部是偶函数，虚部是奇函数，虚部是奇函数，用公式
20、表示为用公式表示为 HR(ej)=HR(e-j)HI(ej)=-HI(e-j)其模的平方为偶函数，相位函数是奇函数。其模的平方为偶函数，相位函数是奇函数。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 按照按照(2.2.18)和和(2.2.19)式得到式得到 h(n)=he(n)+ho(n)he(n)=1/2h(n)+h(-n)ho(n)=1/2h(n)-h(-n)因为因为h(n)是实因果序列，是实因果序列，按照上面两式按照上面两式he(n)和和ho(n)可以用下式表示：可以用下式表示：()eh n(),01(),021(),02h onh nnhnn(2.2.27)第第
21、2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析(),01(),021(),02h onh nnhnn()oh n(2.2.28)实因果序列实因果序列h(n)分别用分别用he(n)和和ho(n)表示为表示为 h(n)=he(n)u+(n)(2.2.29)h(n)=ho(n)u+(n)+h(o)(n)(2.2.30)()u n2,01,00,0nnn(2.2.31)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析例例 2.2.3 x(n)=anu(n);0a1;求其偶函数求其偶函数xe(n)和奇函数和奇函数xo(n)。解：解：x(n)=xe(n)+xo(n)，
22、按，按(2.2.2)式得到式得到(0),01(),021(),02xnx n nxn n()ex n 1,01,021,02nnnanan(0),01(),021(),02xnx n nxn n()ox n 1,01,021,02nnnanan第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析图图 2.2.3 例例2.2.3图图 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 5.时域卷积定理时域卷积定理 设设 y(n)=x(n)*h(n),则则 Y(e j)=X(e j)H(e j)(2.2.32)证明证明:()()()()()()()()()()()
23、()()()mjjnmjj kj kjkmj kj kkmjjy nx m h nmY eFT y nx m h nm eY eh k ex m eeh k ex m eH eX e 令令k=n-m 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 该定理说明，该定理说明，两序列卷积的两序列卷积的FT，服从相乘的关系。服从相乘的关系。对于线性时不变系统输出的对于线性时不变系统输出的FT等于输入信号的等于输入信号的FT乘以乘以单位脉冲响应单位脉冲响应FT。因此求系统的输出信号，因此求系统的输出信号，可以在时可以在时域用卷积公式域用卷积公式(1.3.7)计算，计算，也可以在频域
24、按照也可以在频域按照(2.2.32)式，式，求出输出的求出输出的FT，再作逆再作逆FT求出输出信号。求出输出信号。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 6.频域卷积定理频域卷积定理 设设y(n)=x(n)h(n)(2.2.33)()11()()*()()()22()()()1()()2jjjjjjj nnjj nj nnY eX eH eX eH edY ex n h n ex nH eede()()1()()()21()21()*()2jjjnnjjjjY eH ex n edH eXedH eH e 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统
25、的频域分析 7.帕斯维尔帕斯维尔(Parseval)定理定理222*1()(21()()()()()2jnjj nnnnx nx edx nx n x nx nX eed(2.2.34)2*1()()211()()()22jj nnjjjX ex n edX eXedX ed 帕斯维尔定理告诉我们，帕斯维尔定理告诉我们，信号时域的总能量等于频域的总信号时域的总能量等于频域的总能量。能量。要说明一下，要说明一下，这里频域总能量是指这里频域总能量是指|X(e j)|2在一个在一个周期中的积分再乘以周期中的积分再乘以1/(2)。最后，最后，表表2.2.1综合了综合了FT的性的性质，质，这些性质在分析
26、问题和实际应用中是很重要的。这些性质在分析问题和实际应用中是很重要的。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析表 2.2.1 序列傅里叶变换的性质 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.3 周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数 及傅里叶变换表示式及傅里叶变换表示式 2.3.1周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数 设设 是以是以N为周期的周期序列，为周期的周期序列，由于是周期由于是周期性的，性的，可以展成傅里叶级数可以展成傅里叶级数()x n2
27、()jknNkkx na e(2.3.1)式中式中ak是傅里叶级数的系数。是傅里叶级数的系数。为求系数为求系数ak，将上将上式两边乘以式两边乘以 ，并对并对n在一个周期在一个周期N中求和中求和 2jmnNe第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 (2.3.2)式的证明，式的证明，作为练习自己证明。作为练习自己证明。因此因此 上式中，上式中，k和和n均取整数，均取整数，当当k或者或者n变化时，变化时，是周期为是周期为N的周期函数，的周期函数，可表示成可表示成222111()00021()0()NNNjmnjmnjk m nNNNkknnkknNjk m nNnx n
28、 ea eaee,0,N kmkm(2.3.2)2101()NjkmNknax n eN-k (2.3.3)()kx kNa22(),jk N njkmNNeel取整数取整数 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 上式中上式中 也是一个以也是一个以N为周期的周期序列，为周期的周期序列，称称为为 的离散傅里叶级数，的离散傅里叶级数，用用DFS(Discrete Fourier Series)表示。表示。如对如对(2.3.4)式两端乘以式两端乘以 ，并对并对k在在一个周期中求和，一个周期中求和，得到得到()x k()x n2jklNe222211111()00000
29、()()()NNNNNjkljknjkljl k kNNNNkkkkkX k eX n eeX ne 同样按照同样按照(2.3.2)式，式，得到得到2101()()NjknNkx nx k eN (2.3.5)将将(2.3.4)式和式和(2.3.5)式重写如下：式重写如下：第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 (2.3.6)式和式和(2.3.7)式称为一对式称为一对DFS。(2.3.5)式表明将周式表明将周期序列分解成期序列分解成N次谐波，次谐波，第第k个谐波频率为个谐波频率为k=(2/N)k,k=0,1,2 N-1，幅度为幅度为 。其波分量的频率其波分量的频率
30、是是2/N，幅度是幅度是 。一个周期序列可以用一个周期序列可以用其其DFS表示它的频谱分布规律。表示它的频谱分布规律。210210()()()1()()()NjknNnNjknNnX kDFS x nx n ex kIDFS x kx k eN(2.3.6)(2.3.7)(1/)()N X k(1/)(1)N X第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 例例 2.3.1设设x(n)=R4(n)，将将x(n)以以N=8为周期，为周期，进进 行周期延拓，行周期延拓，得到如图得到如图2.3.1(a)所示的周期序所示的周期序列列 ，周期为周期为8，求求 的的DFS。解：解：
31、按照按照(2.3.4)式式()x n()x n273840044442224888()()111()1()jknknnnjkjkjkjkjkjkjkjkjkjkX kX n eeeeeeeeeeee第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 其幅度特性其幅度特性 如图如图2.3.1(b)所示。所示。38sin2sin8jkkek()X k第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析图图 2.3.1 例例2.3.1图图第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 2.3.2 周期序列的傅里叶变换表示式周期序列的傅里叶变换表
32、示式 在模拟系统中，在模拟系统中，其傅里叶变换是在其傅里叶变换是在=o处的单位冲激函数，处的单位冲激函数，强度是强度是2，即即0()jtax te00()()2()jtj taaXjFT x teedt (2.3.8)对于时域离散系统中，对于时域离散系统中，x(n)=e jon，2/o为为有理数，有理数，暂时假定其暂时假定其FT的形式与的形式与(2.3.8)式一样，也是式一样，也是在在=0处的单位冲激函数，处的单位冲激函数，强度为强度为2，但由于，但由于n取取整数，整数，下式成立下式成立00(2),jnjr neer 取整数取整数第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域
33、分析 上式表示复指数序上式表示复指数序列的列的FT是在是在02r处的处的单位冲激函数，强度为单位冲激函数，强度为2如科如科2.3.2所示。所示。但这种但这种假定如果成立，假定如果成立，要求按要求按照照(2.2.4)式的逆变换必须式的逆变换必须存 在，存 在，且 唯 一 等且 唯 一 等于于 ，下面进行验下面进行验证，证，按照按照(2.2.4)式式因此因此e j0n的的FT为为00()2(2)jnjrX eFT er (2.3.9)0jne0jne图图 2.3.2 的的 FT 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 观察图观察图2.3.2，在在区间，区间，只包括一个
34、单位冲激只包括一个单位冲激函数，函数，等式右边为等式右边为 ，因此得到下式：因此得到下式：证明了证明了(2.3.9)式确定是式确定是ej0n的的FT，前面的暂时假前面的暂时假定是正确的。定是正确的。对于一般周期序列对于一般周期序列 ，按，按(2.3.4)式展开式展开DFS，第第k次谐波为次谐波为 ，类似于复指数序列的类似于复指数序列的FT，其其FT为为 ，因此，因此 的的FT如下式如下式0jne001()()2jnjjj neX eedIFT X e()x n2()/)jknNX xN e22()/(2)rX kNkrN()x n第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域
35、分析 式中式中k=0,1,2 N-1,如果让如果让k在在之间变化，之间变化，上上式可简化成式可简化成102()2()()(2)Njkrx kX eFT x nkrNN 21022()()()()()jkNjknNnX ex kkNNx kx n e(2.3.10)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 表 2.3.2 基本序列的傅里叶变换 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析1()()21(1)(1)2()(1)()(1)()1()1jjx nu nx nu nx nx nu nu nnX ee对对(a)式进行式进行FT，得到得到(
36、)()(2)1()(2)1jjkjjkX eU ekU eke 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 例例 2.3.2求例求例2.3.1中周期序列的中周期序列的FT。解：解：将例将例2.3.1中得到的中得到的 代入代入(2.3.10)式中式中得到得到()X k38sin(/2)()()4sin(/8)4jkjkkX eekk 其幅频特性如图其幅频特性如图2.3.3所示。所示。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析图图 2.3.3 例例2.3.2图图 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 对比图对比图2
37、.3.1，对于同一个周期信号，对于同一个周期信号，其其DFS和和FT分别取模的形状是一样的，分别取模的形状是一样的，不同的是不同的是FT用单位冲激函用单位冲激函数表示数表示(用带箭头的竖线表示用带箭头的竖线表示)。因此周期序列的频谱因此周期序列的频谱分布用其分布用其DFS或者或者FT表示都可以，表示都可以，但画图时应注意单但画图时应注意单位冲激函数的画法。位冲激函数的画法。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 例例 2.3.3令令 ，2/0为有理数，为有理数，求其求其FT。解：解：将将 用欧拉公式展开用欧拉公式展开0()cosx nn()x n00000001(
38、)2()cos12(2)(2)2(2)(2)jnjnjrrx neeX eFTnrrrr (2.3.11)按照按照(2.3.9)式，式，其其FT推导如下：推导如下：第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析图图 2.3.4 cos0n的的FT 0 0 0X(ej)22 上式表明上式表明cos0n的的FT，是在是在=0处的单位冲处的单位冲激函数，激函数，强度为强度为，且以且以2为周期进行延拓，为周期进行延拓，如图如图2.3.4所示。所示。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟时域离散信号的傅里叶变换与模
39、拟 信号傅里叶变换之间的关系信号傅里叶变换之间的关系 我们知道模拟信号我们知道模拟信号xa(t)的一对傅里叶变换式用下的一对傅里叶变换式用下面公式描述面公式描述()()1()()2j taaj taaXjx t edtx tXjedt (2.4.1)(2.4.2)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 这里这里t与与的域均在的域均在之间。之间。从模拟信号幅度取从模拟信号幅度取值考虑，值考虑，在第一章中遇到两种信号，在第一章中遇到两种信号，即连续信号和采即连续信号和采样信号，样信号，它们之间的关系用它们之间的关系用(1.5.2)式描述，式描述，重写如下：重写如下：采
40、样信号采样信号 和连续信号和连续信号xa(t)，它们分虽的傅它们分虽的傅里叶变换之间的关系，里叶变换之间的关系，由采样定理由采样定理(1.5.5)式描述，式描述，重重写如下：写如下：()()()aanxtx nTtnT()axt1()()aasnxjxjjkT 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 下面我们研究如果时域离散信号下面我们研究如果时域离散信号x(n)，或称序列或称序列x(n)，是由对模拟信号是由对模拟信号xa(t)采样产生的，采样产生的，即在数值上即在数值上有有下面关系式成立：有有下面关系式成立：x(n)=xa(nT)(2.4.3)注意上面式中注意上
41、面式中n取整数，取整数，否则无定义。否则无定义。x(n)的一对的一对傅里叶变换用傅里叶变换用(2.2.1)式和式和(2.2.4)式表示，式表示，重写如下：重写如下：()()1()()2jj nnjj nX ex n ex nX eed第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 X(e j)与与Xa(j)之间有什么关系，之间有什么关系，数字频率数字频率与模与模拟频率拟频率(f)之间有什么关系，之间有什么关系，这在模拟信号数字处理中，这在模拟信号数字处理中，是很重要的问题。是很重要的问题。为分析上面提出的问题，为分析上面提出的问题，我们从我们从(2.4.3)式开始研究。式
42、开始研究。将将t=nT代入代入(2.4.2)式中，式中，得到得到 1()()2j nTaax nTXjed (2.4.4)(21)/(21)/1()()2rTj nTaarTrx nTXjed 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 令令 ，代入上式后，代入上式后，再将再将用用代替，代替，得到得到2rT /2/12()()212()()2n Tj nTjrnaaTrn Tj nTaaTrx nTXjr eedTx nTXjr edT 式中，式中，因为因为r和和n均取整数，均取整数，e-j2rn=1，交换求和交换求和号和积分号得到号和积分号得到(2.4.5)第第2章
43、章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 在第一章中曾得到结论，在第一章中曾得到结论，如果序列是由一模拟信如果序列是由一模拟信号取样产生，号取样产生，则序列的数字频率则序列的数字频率与模拟信号的频率与模拟信号的频率(f)成线性性关系，成线性性关系，如如(1.2.10)式所示，式所示，重写如下：重写如下：=T 式中式中T是采样周期是采样周期T=1/fs，将将(1.2.10)式代入式代入(2.4.5)式得到式得到 112()()212()()j naarjarx nTXjjr edTTTX eXjjrTTT现在对比现在对比(2.4.1)式和式和(2.4.6)式，式，得到得到(2
44、.4.6)(2.4.7)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 上面上面(2.4.7)式即表示序列的傅里叶变换式即表示序列的傅里叶变换X(ej)和模和模拟信号拟信号xa(t)的傅里叶变换的傅里叶变换Xa(j)之间的关系式，之间的关系式，我们我们将将(2.4.7)式与式与(1.5.5)式对比，式对比，得到结论：得到结论：序列的傅里序列的傅里叶变换和模拟信号的傅里叶变换之间的关系，叶变换和模拟信号的傅里叶变换之间的关系，与采样与采样信号、信号、模拟信号分别的模拟信号分别的FT之间的关系一样，之间的关系一样，都是都是Xa(j)以周期以周期s=2/T进行周期延拓，进行周期
45、延拓，频率轴上取值频率轴上取值的对应关系用的对应关系用(1.2.10)式表示。式表示。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 在一些文献中经常使用归一化频率在一些文献中经常使用归一化频率f=f/fs或或=/s，=/2，因为因为f、和和，都是无量纲，都是无量纲，刻度是一样的，刻度是一样的，将将f、f、的定标值的定标值对应关系用图对应关系用图2.4.1表示。表示。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析图图 2.4.1 模拟频率与数字频率之间的定标关系模拟频率与数字频率之间的定标关系0.5 100.510.5 100.510.5 100.5
46、1 fs2sffsff 2s2sf2sss00022第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 例例 2.4.1设设xa(t)=cos(2f0t)，f0=50 Hz以采样频率以采样频率fs=200 Hz对对xa(t)进行采样，进行采样，得到采相信号得到采相信号 和时和时域离散信号域离散信号x(n)，求求xa(t)和和 的傅里叶变换以及的傅里叶变换以及x(n)的的FT。解：解：()axt()axt0002200()()cos212(2)(2)aaj tjf tjf tj tXjFT x tf tedteeedtff (2.4.8)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析
47、时域离散信号和系统的频域分析 Xa(j)是是=2f0处的单位冲激函数，处的单位冲激函数，强度为强度为，如图如图2.4.2(a)所示。所示。以以fs=200 Hz对对xa(t)进行采样得到采进行采样得到采样信号样信号 ，按照按照(1.5.2)式，式，与与xa(t)的关系式为的关系式为()axt()axt0()cos(2)()anxtf nTtnT 的傅里叶变换用的傅里叶变换用(1.5.5)式确定，式确定，即以即以s=2fs为周期，为周期，将将Xa(j)周期延拓形成，周期延拓形成，得到：得到：()axt第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析00()()1()(2)(2
48、)aaasksskXjFT xtXjjkTkfkfT (2.4.9)如图如图2.4.2(b)所示。所示。将采样信号转换成序将采样信号转换成序列列x(n)，用下式表示：用下式表示：x(n)=xa(nT)=cos(2f0nT)()aXj 按照按照(2.4.7)式，式，得到得到x(n)的的FT，实际上只要将实际上只要将=/T=fs代入代入 中即可。中即可。()aXj第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 将将fs=200 Hz，f0=50 Hz，代入上式，代入上式，求括弧中公求括弧中公式为零时的式为零时的值，值，=2k/2，因此因此X(ej)用下式表用下式表示：示：00
49、()(22)(22)jsssskX efkfffkffT ()(2)(2)22jkX ekkT (2.4.10)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 图图 2.4.2 例例2.4.1图图Xa(j)00 s2s2s sTXa(j)022（a）（b）（c）X(ej)02f02f02f02f22第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.5 序列的序列的Z变换变换 2.5.1 Z变换的定义变换的定义 序列序列x(n)的的Z变换定义为变换定义为()()nnX zx n z(2.5.1)式中式中z是一个复变量，是一个复变量，它所在的复平面称为它
50、所在的复平面称为z平面。平面。注意在定义中，注意在定义中，对对n求和是在求和是在之间求和，之间求和，可以称为可以称为双边双边Z变换。变换。还有一种称为单边还有一种称为单边Z变换的定义，变换的定义，如下式如下式 0()()nnX zx n z(2.5.2)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 使使(2.5.3)式成立，式成立，Z变量取值的域称为收敛域。变量取值的域称为收敛域。一一般收敛域用环状域表示般收敛域用环状域表示 这种单边这种单边Z变换的求和限是从零到无限大，变换的求和限是从零到无限大，因此因此对于因果序列，对于因果序列，用两种用两种Z变换定义计算出的结果是
