1、中等职业教育国家规划教材中等职业教育国家规划教材数字电子线路（第数字电子线路（第3 3版）版）电子教案电子教案编制者编制者 姜姜 南南第1章 二进制代码和逻辑代数基础 第1节 二进制代码一、二进制 用0、1两个数码计数的方式叫做二进制。二进制数跟十进制数一样可以进行各种数学运算。二进制的进位规则是“逢二进一”。1、二进制的运算：1 0 1 11 0 1 01 0 1 0 1所以10111010=10101。【例1-1】计算10111010【例1-2】计算10111010111000010110111110所以101110=11110。2、二进制、十进制、十六进制的对照 鉴于二进制数的位数较多，
2、实用中常以十六进制作为二进制的缩写。4位二进制对应1位十六进制。表1-1 三种进制数对照十进制数二进制数十六进制数000000100011200102300113401004501015601106701117810008910019101010A111011B121100C131101D141110E151111F二、二进制代码 二进制的0、1两个数码，不仅用于表示数值大小，还可以用于对各种信息、信号进行编码，使之适于数字系统的传输和处理。用于编码的0、1不再是数，而是一种代码，称为二进制代码（简称为二进制码或0、1码）。1、BCD码 BCD码也叫二-十进制编码，是用0、1码对09十个十进制
3、数码的编码。编制BCD码最少要用4位二进制码。（1）8421码表1-2 8421码编码对照表十进制数842154212421余三码00000000000000011100010001000101002001000100010010130011001100110110401000100010001115010110000101100060110100101101001701111010011110108100010111110101191001110011111100（2）无权码表1-3 格雷码与8421码对照表十进制数8421格雷码1格雷码2典型格雷码修改格雷码0000000000000000
4、000101000100010001000101102001000110011001101113001100100010001001014010001100110011001005010111100111011111006011010100101010111017011110110100010011118100010011100110011109100110001000110110102逻辑代码 用0、1码表示事物的两种截然相反的状态的，称为逻辑代码。第2节 基本逻辑一、逻辑状态和逻辑数据 1、事物的逻辑状态 2、基本逻辑 最基本而典型的逻辑关系只有三种，即与逻辑、或逻辑和非逻辑，简称与、或、
5、非。非逻辑所表述的是“一个条件跟一个事件”的相互否定关系。与逻辑表述的是“只有条件全具备，事件才能成立（发生）”的因果规律。或逻辑表述的是“只要有条件具备，事件就能成立（发生）”的因果规律。3、逻辑数据 为把客观事物之间的因果关系转换为类似数学方式的逻辑运算，逻辑代数将事物的逻辑状态用二进制码0、1表示，叫做逻辑赋值。赋值后的0、1，各代表一种逻辑状态，称为逻辑数据。二、逻辑的表述方式及特点 1、表述逻辑的基本方法及其特点 表述逻辑关系有文字（语言）命题、逻辑状态表、逻辑真值表、逻辑表达式、逻辑图形符号（逻辑图）、逻辑电路和电压波形图六种基本方法。2、基本逻辑（实例）的全面表述 数字逻辑电路的
6、设计，首先由对逻辑关系的文字表述（命题），经过多种逻辑表述方式的转换，得出制作数字逻辑电路的逻辑图，再按图制作电路。这个过程如图1-1所示。图1-1 各种逻辑表述方法及其相互关系(1)非逻辑图1-2 非逻辑实例表1-5 开关与灯泡的非逻辑状态表开关开关S灯泡灯泡L断开亮闭合不亮4）非逻辑真值表：S SL L0110表1-6 非逻辑真值表5）非逻辑表达式SL （1-2）SL （1-3）6）非逻辑运算法则：数值运算：1001变量运算：AA（还原律）（1-4）7）非逻辑的图形符号图1-3 常见的非逻辑门符号（a）国标符号（b）旧符号（c）国外符号8）非逻辑的电压波形图1-4 非逻辑波形(2)与逻辑图
7、1-5 与逻辑实例3）与逻辑状态表：开关开关A开关开关B灯泡灯泡L断开断开不亮断开闭合不亮闭合断开不亮闭合闭合亮表1-8 开关与灯泡的状态对应关系表4）与逻辑真值表：A BA BL L0 000 101 001 11表1-9 与逻辑真值表 与逻辑的规律：输入信号中有0，输出即为0；输入全为1时输出才为1。可简称为：有0为0，全1为1。A BA BL L逻辑含义逻辑含义0 00有条件不具备，事件就不能成立0 101 001 11只有条件全具备，事件才能成立表1-10 与逻辑真值表的逻辑含义5）与逻辑表达式：BAL（1-5）ABL（1-6）BAL6）与逻辑运算法则：数值运算：00=0 10=01=
8、0（交换律）11=1变量运算：AB=BA（交换律）（1-7）ABC=A（BC）（结合律）（1-8）AAA=A（重叠律的合并式）（1-9）A=AAA（重叠律的拆分式）（1-10）（互补率）（1-11）0AA变量与数值的运算：（1-12）（1-13）A1A00A7）与逻辑符号：图1-6 常见的与逻辑门符号（a）国标符号（b）旧符号（c）国外符号8）与逻辑电路的电压波形图：图1-7 与逻辑电压波形(3)或逻辑图1-8 或逻辑实例3）或逻辑状态表：开关开关A开关开关B灯泡灯泡L断开断开不亮断开闭合亮断开断开亮闭合闭合亮表1-12 灯泡L与开关A、B的状态对应关系表4）或逻辑真值表：或逻辑的规律：输入信
9、号中有1输出即为1，输入全为0时输出才为0。可简称为：有1为1，全0为0。A BA BL L0 000 111 011 11表1-13 或逻辑真值表A BA BL L逻辑含义逻辑含义0 00只有条件全不具备，事件才不能成立0 11只要有条件具备，事件就能成立1 011 11表1-14 或逻辑真值表中的逻辑含义5）或逻辑表达式：（1-14）BAL101为与数学加法区别，数值的或运算符用 表示。6）或逻辑运算法则数值运算：11=110=01=1 （交换律）00=0变量运算：AB=BA（交换律）（1-15）ABC=A(BC)（结合律）（1-16）AA=A（重叠律的合并式）（1-17）A=A+A+A（
10、重叠律的拆分式）（1-18）（互补律）（1-19）AA1变量与数值的运算：A1=1 （1-20）A0=A （1-21）7）或逻辑符号：图1-9 常见的或逻辑门符号（a）国标符号（b）旧符号（c）国外符号 8）或逻辑电路的电压波形图：图1-10 或逻辑电压波形三、简单而重要的组合逻辑 1、组合逻辑的构成及特点 如果一个逻辑模块由多个基本逻辑组成，并且输出信号状态仅取决于当时各输入信号取值（即状态）组合，那么这个模块叫做组合逻辑。在结构上，组合逻辑只由各种基本逻辑组成，各路信号只从输入端向输出端传送，不能有任何形式的信号反馈，输入信号对输出信号属于即时性地控制关系（无记忆性）。2、逻辑运算顺序（1
11、）逻辑电路对信号的逻辑处理是由输入端开始，按逻辑器件的连接顺序依次进行，直到输出端为终止。（2）依照表达式的运算规则，同类运算由左向右依次进行；混合逻辑运算按先非、后与、再或顺序进行，超越规定顺序的运算要加括号。3、重要的逻辑组合（1）与非逻辑图1-11 与非逻辑的复合及逻辑符号与非逻辑的表达式：（1-22）ABBAY（2）或非逻辑 或非逻辑是或逻辑和非逻辑的复合，组合关系以及逻辑符号如图1-12所示。图1-12 或非逻辑的复合及逻辑符号或非逻辑的表达式：（1-23）BAY（3）与或非逻辑图1-13 与或非逻辑的复合及逻辑符号与或非逻辑的表达式：（1-24）CDABY（4）异或逻辑 （1-25
12、）（1-26）A BA BY Y逻辑含义逻辑含义0 00两个条件同时不具备时事件不能成立0 11当两个条件不同时具备时事件才能成立1011 10两个条件同时具备时事件也不能成立表1-18 异或逻辑的真值表及逻辑含义异或逻辑运算规律可归纳为：同为0、异为1。BABAYBAY图1-14 异或逻辑的复合构成及逻辑符号（a）异或逻辑的等效复合关系（b）异或逻辑门符号 （1-27）BABABA异或逻辑的运算法则：数值运算：0011001101（交换律）变量运算：ABBA（交换律）（1-28）ABCA(BC)（结合律）（1-29）AA0（重叠律）（1-30）（互补律）（1-31）AA1变量与数值的运算：（
13、1-32）A0A （1-33）对异或逻辑取反称为异或非。（1-34）A1A 一、真值表、最小项、标准与或表达式 1、最小项和真值表（1）最小项 逻辑代数把包含全部变量（每个变量以原变量或反变量形式只能出现一次）的“全变量乘积项”，叫做最小项。在真值表中，全部变量的每一种取值组合对应一个最小项，其中对应0值的变量加反号、对应1值的变量不加反号。最小项与全部变量的取值组合一一对应，N个变量的逻辑函数有2N种取值组合，就有2N个最小项。第3节 逻辑代数基础 最小项用m表示，为便于区分，还要给以编号，编号等于取值组合的二进制数对应的十进制值。表1-20、表1-21、表1-22分别为二变量、三变量、四变
14、量逻辑函数真值表的基本形式。输入变量的全部取值组合输入变量的全部取值组合对应的最小项对应的最小项A Bm0 00 11 01 1BAm0BAm1BAm2ABm3表1-20二变量逻辑的真值表输入变量的全部取值组合对应的最小项ABCm000m 0 001m 1 010m 2 011m 3 100m 4 101m 5 110m 6 111m 7=CBACBACBABCACBACBACABABC表1-21 三变量逻辑的真值表表1-22 四变量逻辑的真值表输入变量的全部取值组合对应的最小项输入变量的全部取值组合对应的最小项ABCDmABCDm0000m 0 1000m 8 0001m 1 1001m 9
15、=0010m 2 1010m 10 0011m 3 1011m 11 0100m 4 1100m 12 0101m 5 1101m 13 0110m 6 1110m 14 0111m 7 1111m 15=DCBADCBADCBADCBADCBADCBACDBACDBADCBADCABDCBADCABDBCADABCBCDAABCD（2）标准与或表达式 由最小项相或构成的逻辑表达式叫做“标准与或表达式”，简称“标准与或式”。标准与或表达式的结构具有以下两个个特点：1）式中只有与、或两种运算和对变量取反的非号，与运算都是最小项，由对应同一种函数值的全部（且无重复的）最小项组成；2）式中无括号、无
16、对运算取反的非号，表达式中的运算顺序是先与后或。3）标准与或表达式具有唯一性。2、由真值表写标准与或式的方法（1）由真值表写正逻辑函数的标准与或式 以或逻辑的真值表（见表1-13）为例，按真值表写表达式的步骤如下：1）在真值表中找出使函数L=1所对应的变量组合及其对应的最小项如表1-23所示。变量组合对应的最小项函数L值A=0、B=00A=0、B=11A=1、B=01A=1、B=11BABAAB表1-23 或逻辑真值表及最小项2）最后把所有使L=1的最小项相或，得到的就是按真值表写出的标准与或表达式：BA+BAABL=+（1-35）（2）由真值表写反逻辑函数的标准与或式把L=0的所有最小项相或
17、，构成反函数的标准与或表达式：给正函数的表达式整体加反号也表示反函数：所以，BAL BABA（3）标准与或式都可用最小项求和的编号形式表示：（1-36）可以表示为：.),2,1,0(mFiBABAABL=+)3,2,1(mL2二、摩根定理和括号变换法则 1、德摩根定理 德摩根定理（简称摩根定理）是揭示与、或两种基本逻辑之间的等效变换关系，专门用于处理反号的定理。两个变量的摩根定理表达式形式：（1-39）（1-40）BABABABA 1-39式表示“两个变量相或后取反，和两个变量取反后相与等效”。摩根定理还适用于更多变量的与、或变换，如：（1-41）（1-42）CBACBACBACBA2、括号变
18、换法则（1)在与、或的混合运算中，不同乘积项中的相同变量也称作公因子，相同的运算单元称作公因式。提取公因子（或公因式）的表达式变换要加括号，如：（1-43）提取公因子（或公因式）的逆变换是展开括号，如：（1-44）（2)在与和异或的混合运算中，经过证明，也有同样的等效变换。提取公因子：(1-45)展开括号：(1-46)C)A(BACABACABC)A(B（3）异或和或运算之间要严格按异或运算变换为与或复合运算处理：（1-47）（4）用摩根定理变换表达式运算类型，有时要加括号，以维持表达式原来运算顺序，保证变换的等效性。如：可用真值表检验表达式的等效关系，如表1-28所示。ABC00000101
19、0011100101110111表1-28 检验变换等效性真值表 通过真值表的实际运算证明，与非运算变换为或运算后加括号能保证等效，而不加括号的变换就不能等效（有两组变量运算后的函数值与原式不等）。三、逻辑表述方式之间的转换 1、按表达式作真值表 1）计算法 将变量的各组取值分别代入表达式进行计算，把计算得到的函数值填入真值表的表格，就完成了逻辑函数真值表的制作。如表1-29所示。ABC0000（0+0）=00010（0+1）=00100（1+0）=00110（1+1）=01001（0+0）=01011（0+1）=11101（1+0）=11111（1+1）=1表1-29 C)A(BY的计算表
20、2）最小项法 依据标准与或表达式跟真值表的对应关系，只要能得到逻辑函数的标准与或表达式，就可以做出逻辑函数的真值表，而任何形式的逻辑表达式都能变换为标准与或表达式。【例1-3】CBACABABCCBAABCCABABC)BAC(B)CAB(CACABC)A(BY 依据标准与或表达式中的最小项，按原变量对应1、反变量对应0的关系，可确定使函数取1值的变量组合（如表1-30所示）：最小项ABC取值组合111110101ABCCABCBA表1-30 最小项与取值组合的对应关系 设计真值表，函数有3个变量A、B、C，全部变量的组合数为23=8种（N个变量的全部组合为2N）。在变量取值组合对应的函数值位
21、置填写1，其他位置填写0。ABCY00000010010001101000101111011111 用计算法做真值表有时比变换标准与或式的方法简单。表1-31 C)A(BY真值表 2 表达式与逻辑图之间的转换 表达式中的运算符就是逻辑图中的逻辑符号，也是逻辑电路中的逻辑门。表达式中的逻辑运算顺序就是各逻辑门电路（逻辑符号）之间的连接关系。（1）代入法则：在逻辑表达式中，任何变量都可视为一个函数，任何一个或一组运算都可用一个新变量代换。如：Y=AB+CD 若 D=MN+L 表达式则是 Y=AB+C（MN+L）如果设 F=AB 表达式又变换为 Y=F+C（MN+L）代入法则所允许的代换对表达式的逻
22、辑本质没有任何影响。借助代入法则可将表达式进行分层处理，以确定逻辑表达式中包含的各种运算及运算顺序。（2）按表达式画逻辑图 1）按表达式画逻辑图的步骤：确定变量个数，即逻辑图的输入信号的个数。借助代入法则对表达式的运算给以分层，直到变量为止，确定各层运算的逻辑符号类型。分层顺序：一般运算按或、异或、与、非、括号排序，多层的非运算按由上向下顺序逐层确认。确定运算顺序，即逻辑图中逻辑符号的连接关系，画出逻辑图。【例1-4】画出表达式 表达式中的变量：A、B、C、D，共4个。对表达式的运算分层，直到变量为止，确定各部分运算需使用的逻辑符号。第1层：是3个输入信号的或运算（用三输入端的或门），其中（是
23、3输入端的与门，C信号要先经过非门），（是2输入与非门），而 还需要继续分层确定。（1-48）第2层：Y和D之间的运算用到一个异或门，而Y还需再分层。第3层：其中Z和C的运算用一个2输入与门。第4层：A、B之间的运算是2输入或门，其中B信号要先经过一个非门。最后，按表达式分层的逆顺序，用分析出的逻辑符号画出逻辑图。图1-15 和表达式1-48结构对应的逻辑图2）按逻辑器件变换表达式的运算结构 表达式中的运算类型以及运算顺序是跟逻辑图的结构相对应的，不同的逻辑器件对应不同的逻辑运算符号。按指定的逻辑器件去设计逻辑电路，首先要通过变换得出相应运算结构的表达式。摩根定理可以随时应用于表达式任何部位的
24、与、或、非变换，是随意变换表达式运算结构的方便工具。在逻辑代数中常按运算类型（对应逻辑器件）和顺序给表达式命名，例如：与或式、或与式、与或非式、与非与非式等等。【例1-5】下面是一个逻辑函数表达式的4种结构：(与非-与非式)(或非-或非式)(混合式)和上述4种表达式结构对应的逻辑图:图1-16 例1-5的4种逻辑图（3）按逻辑图写表达式的方法 按逻辑图写表达式有两种方法，一种是从逻辑图的输入端入手，另一种是从逻辑图的输出端入手。1）由电路的输入端入手写表达式的方法：【例1-6】图1-17所示就是这种方法。图1-17 由逻辑图输入端入手写表达式的方法写出的表达式：DCBAF2）由电路输出端入手写
25、表达式的方法：由电路的输出端入手写逻辑表达式时，先给电路中的各逻辑门的输入信号赋予一个临时代号，再从输出端入手依次把各个逻辑门表示 逻辑运算关系逐层代入，一直推写到输入端，就可写出完整的表达式。【例1-7】图1-18所示就是这种方法。图1-18 由逻辑图输出端入手写表达式的方法写出的表达式：DCBADCBXXXY132四、表达式化简 1、表达式化简的意义及最简标准 数字逻辑电路是按照表达式的运算结构连接成的，而一种逻辑功能可以有多种结构的表达式。【例1-8】由真值表写出的或运算表达式 由或运算定义写出的表达式ABBABAM1BAM2两个表达式对应的逻辑图如图1-19所示。图1-19 或逻辑的两
26、种表达式对应的逻辑图（a）跟标准与或式对应的逻辑图（b）跟定义式对应的逻辑图 把结构复杂的表达式变换为结构最简单的表达式叫做表达式化简，也叫逻辑函数化简。表达式化简要在与或表达式下进行，得到最简与或式，再通过摩根变换获得其他结构的最简式。与或表达式的最简标准是：乘积项个数最少，而且每个乘积项中的变量数最少。2、表达式化简方法 表达式化简要利用与或式结构进行操作。不是与或结构的表达式，要应用摩根定理变换为与或式。表达式化简常用方法有公式法和图形法两种。公式法是利用与、或运算法则和等效变换公式进行化简。结构简单的与或式化简可利用与、或运算法则0AA、1A1等做公式法化简，减少乘积项及乘积项中变量个
27、数，获得与或表达式的最简结构。【例1-9】利用0AA的化简：ABAB0ABAAB)AA(【例1-10】利用1A1的化简：对于结构较为复杂的与或式，要利用“1AA”消除变量，进行化简。【例1-11】B1B)AB(ABAAB 逻辑代数把“只有1个变量互补、其他因子相同的两个乘积项”称为逻辑相邻项（简称为相邻项）。一对相邻项相或，可消去其中的互补变量，合并为一个新的乘积项。通过多次相邻项结组、消除变量，直到无变量可消时，表达式就可能达到最简。这是公式法化简的本质原理。以卡诺图为工具实施这种化简的方法就是图形法。卡诺图是由真值表衍变成的方格图，本质还是真值表。图1-20所示分别为二变量卡诺图、3变量卡
28、诺图和4变量卡诺图就是由表1-20、表1-21、表1-22所示真值表变换结构方式而成。图1-20 二、三、四个变量的卡诺图(a)二变量卡诺图 (b)三变量卡诺图 (c)四变量卡诺图卡诺图和真值表一样，跟标准与或表达式有严格的对应关系。卡诺图中的方格，既对应全部变量的各取值组合及函数值，又对应最小项。卡诺图的特殊结构使所有相邻的最小项都处于相邻位置，把各最小项的可化简关系直观地显示出来。【例1-12】制作函数YABCABCABCABCABC的卡诺图。这个函数表达式已经是含有3个逻辑变量的标准与或式（没有约束项），可按其中包含的最小项直接填制卡诺图。具体步骤如下：第一步，画出3变量的空白卡诺图。5
29、0246YABCABC+ABCABCABCmmmmm第二步，按表达式 在卡诺图的相应空格中填写1。得到的卡诺图如图1-21所示。图1-21 例12的卡诺图 用卡诺图化简，首先要制作出卡诺图。卡诺图跟真值表一样，是与函数的标准与或表达式相对应的，制作卡诺图之前通常将函数表达式变换为标准与或式。【例1-13】制作函数)CB)(AA(Y的卡诺图第1步，先将函数表达式转换为标准与或式：ABCCABCBACBACBACABCBACBACABABC)A(ACB)B(BCA)CAB(CCBCAABAA)CB)(AA(Y 第2步，画出3个变量的空白卡诺图，然后在4个最小项所在的方格中填入1。图1-22 例13
30、的卡诺图 填制卡诺图也可以用一般与或式，称为倒化简法。【例1-14】制作函数BCDCDADCAADY的卡图 先按表达式中变量个数画出4个变量的空白卡诺图，再在图中找出含有表达式中各乘积项为因子的最小项对应的方格，并填入1。图1-23 例14的卡诺图 用公式法对一般结构的与或式化简时，为明确各乘积项之间的结组合并关系，需要将其变换为标准与或式，再结组化简。如：BCCAABCAAB)BC(BA)CAB(CC)BABCA()CAB(ABCBCAABCCBABCACABABC)ABC(A)BC(BA)CAB(C 若用图形化简，只是在卡诺图上画两个圈（称为圈项），就能得到函数化简后的最简与或表达式，既直
31、观又简单。图1-24 的卡诺图化简 用卡诺图圈项化简，被圈的必须是2整数幂的同值方格。图1-25 两个相邻项合并的类型图1-26 四个相邻项合并的类型图1-27 八个相邻项合并的类型 用卡诺图化简表达式的步骤：将表达式变换为标准与或式，做出逻辑函数的卡诺图；在图中画出圈项线，并写出每个圈项的合并结果；将各圈项得到的新乘积项相加，写出化简后的与或表达式。一个逻辑函数含几个变量，它的每个最小项就有几个相邻项。在化简时，一个最小项可参与多组合并，或运算的重叠律 说明一项多用是合法的。【例1-15】或运算标准与或式的化简BA1B1AA)AB(B)BA(AB)BA(AB)B(AABABBABAABBAB
32、AL图1-28 或运算标准与或式的化简 图形化简的圈项合并时要遵循“能大不小”的原则，充分利用或运算的重叠律，使圈项范围达到最大，可确保化简能一次达到最简的结果。【例1-16】用卡诺图化简ABCCABCBABCAF图1-29 例14的卡诺图“能大不小”的规则不是绝对的，要因题而异。图1-30 不能大范围圈项的特例 对于具有约束项或无关项的函数，可借助约束项（或无关项）把表达式化简得更为简单。【例1-18】利用约束项化简，函数,7,11,14)(2,3,4,5,6mF4约束项条件是：5)(9,10,13,1m4图1-31 例18的卡诺图未达最简的圈项及对照(a)无重叠圈项(1)产生冗余项BC(2
33、)最简圈项（b）重叠圈项（1）不最简圈项（2）最简圈项（c）含约束项化简（1）不最简圈项（2）最简圈项图1-33 最简结果不唯一的化简实例利用反函数化简也是图形法化简的常用手段。【例1-20】用卡诺图推证摩根定理图1-34 利用反函数的化简所以，即：本章小结（1）本章内容是学习数字电路的理论工具。（2）二进制只用0与1两个数码。二进制代码是数字系统信息的基本表示方式，它既可表示具体数值，又可表示各种事物的状态。（3）与、或、非是最基本的逻辑运算，与非、或、与或非、异或和异或非是常用的简单复合运算。（4）表述方式的等效转换和表达式的等效变换时逻辑代数处理逻辑问题的两种手段。真值表、表达式、逻辑图是表述逻辑函数关系的3种基本方法，在逻辑电路的设计、分析过程中各有不同的作用。（5）表达式有繁简变换和运算结构变换两种类型，与表达式相关的转换和变换是设计、分析逻辑问题的重要环节。
