1、1.(2016安徽,10,4分)如图,在RtABC中,ABBC,AB=6,BC=4.P是ABC内部的一个动点,且满足PAB= PBC.则线段CP长的最小值为 ( ) A. B.2 C. D.,A组 安徽中考题组,答案 B PAB=PBC,PBC+ABP=90,PAB+ABP=90,P=90.取AB的中点O,则P在以 AB为直径的圆上.当点O,P,C三点共线时,线段CP最短, OB= AB=3,BC=4,OC= =5,又OP= AB=3,线段CP长的最小值为5-3=2,故选B.,思路分析 由PAB=PBC,PBC+ABP=90,可得P=90,取AB的中点O,则OP= AB=3为定值,所 以O,P
2、,C三点共线时,CP的长最小.,解题关键 想到P在以AB为直径的圆上运动,由此将问题转化为O,P,C三点的共线问题是解题的关键.,2.(2018安徽,23,14分)如图1,在RtABC中,ACB=90.点D为边AC上一点,DEAB于点E.点M为BD的中点, CM的延长线交AB于点F. (1)求证:CM=EM; (2)若BAC=50,求EMF的大小; (3)如图2,若DAECEM,点N为CM的中点.求证:ANEM. 图1 图2,解析 (1)证明:由已知,在RtBCD中,BCD=90,M为斜边BD的中点, CM= BD. 又DEAB,同理,EM= BD, CM=EM. (4分) (2)由已知得,C
3、BA=90-50=40. 又由(1)知CM=BM=EM, CME=CMD+DME=2(CBM+EBM)=2CBA=240=80, EMF=180-CME=100. (9分) (3)证明:DAECEM, CME=DEA=90,DE=CM,AE=EM. 又CM=DM=EM,DM=DE=EM, DEM是等边三角形,MEF=DEF-DEM=30. 证法一:在RtEMF中,EMF=90,MEF=30, = , 又NM= CM= EM= AE, FN=FM+NM= EF+ AE= (AE+EF)= AF. = = . 又AFN=EFM, AFNEFM,NAF=MEF, ANEM. (14分) 证法二:连接
4、AM,则EAM=EMA= MEF=15,AMC=EMC-EMA=75, 又CMD=EMC-EMD=30,且MC=MD, ACM= (180-30)=75. 由可知AC=AM,又N为CM的中点, ANCM,又EMCF,ANEM. (14分),思路分析 (1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证;(2)由直角三角形中两锐角互余求出 CBA,由等腰三角形的性质可得MEB=MBE,MCB=MBC,从而可得CME=DME+CMD=2( CBM+EBM),最后由补角性质求出EMF;(3)由DAECEM可推出DEM为等边三角形,从而可得 MEF=30,下面证ANEM有两个思路:一是根据直角三角形30
5、角所对直角边等于斜边的一半可得 = , 又点N是CM的中点,可推出 = ,从而可证AFNEFM,进一步即可证明ANEM;二是连接AM,计算 可得AMC=ACM,而N是CM的中点,从而ANCM,进一步即可证明ANEM.,3.(2016安徽,23,14分)如图1,A,B分别在射线OM,ON上,且MON为钝角.现以线段OA,OB为斜边向MON的 外侧作等腰直角三角形,分别是OAP,OBQ,点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点. (1)求证:PCEEDQ; (2)延长PC,QD交于点R. 如图2,若MON=150,求证:ABR为等边三角形; 如图3,若ARBPEQ,求MON的大小和 的值.,解析
6、(1)证明:点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点, DE OC,CE OD.四边形ODEC为平行四边形. OCE=ODE. 又OAP,OBQ都是等腰直角三角形, PCO=QDO=90. PCE=PCO+OCE=QDO+ODE=EDQ. 又PC= AO=CO=ED,CE=OD= OB=DQ, PCEEDQ. (5分) (2)证明:如图,连接OR.,PR与QR分别垂直平分线段OA与OB, AR=OR=BR,ARC=ORC,ORD=BRD. 在四边形OCRD中,OCR=ODR=90,MON=150, CRD=30. ARB=ARO+BRO=2CRO+2ORD=2CRD=60. ABR为等边三角形
7、. (9分) 如图,由(1)知EQ=PE,DEQ=CPE. 又AOED,CED=ACE.,PEQ=CED-CEP-DEQ=ACE-CEP-CPE=ACE-RCE=ACR=90, 即PEQ为等腰直角三角形. 由于ARBPEQ,所以ARB=90. 于是在四边形OCRD中,OCR=ODR=90,CRD= ARB=45,MON=135. 此时P,O,B在一条直线上,PAB为直角三角形且APB为直角,所以AB=2PE=2 PQ= PQ,则 = . (14分),思路分析 (1)先证四边形ODEC为平行四边形得OCE=ODE,再根据OAP,OBQ都是等腰直角三角 形证明PCE=EDQ,结合已知可证PCEED
8、Q;(2)连接OR,由PR与QR分别垂直平分线段OA与OB 及MON=150,可得AR=BR,ARB=2CRD=60,即ABR为等边三角形;利用(1)的结论及已知可得出 PEQ为等腰直角三角形,由ARBPEQ可得ARB=90,进一步得出CRD=45,从而得出MON= 135,并说明P,O,B在一条直线上,PAB为直角三角形且APB为直角,由此得出AB= PQ,进而求解.,考点一 等腰三角形,B组 20152019年全国中考题组,1.(2019内蒙古包头,10,3分)已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4,且a、b是关于x的一元二次方程x2-12x +m+2=0的两根,则m的值是 ( ) A.3
9、4 B.30 C.30或34 D.30或36,答案 A 由根与系数的关系可得 当a=4时,b=8; 当b=4时,a=8. 这两种情况都不能构成三角形, a=b=6,m=34,故选A.,易错警示 本题易错选C,原因是未考虑到a=4,b=8或b=4,a=8的情况下不能构成三角形.,2.(2017吉林,5,2分)如图,在ABC中,以点B为圆心,以BA长为半径画弧交边BC于点D,连接AD.若B=40, C=36,则DAC的度数是 ( ) A.70 B.44 C.34 D.24,答案 C 由作图知BA=BD,BAD=BDA=70,BDA=C+DAC,DAC=BDA-C=34,故 选C.,3.(2018福
10、建,5,4分)如图,等边三角形ABC中,ADBC,垂足为D,点E在线段AD上,EBC=45,则ACE等于 ( ) A.15 B.30 C.45 D.60,答案 A 由等边三角形ABC中,ADBC,垂足为点D,可得ACB=60,且点D是BC的中点,所以AD垂直平 分BC,所以EC=EB,根据等边对等角,得到ECB=EBC=45,故ACE=ACB-ECB=60-45=15.,4.(2018湖北黄冈,4,3分)如图,在ABC中,直线DE是AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D和E,B=60, C=25,则BAD为 ( ) A.50 B.70 C.75 D.80,答案 B 因为直线DE是AC的垂直
11、平分线,所以AD=DC,所以DAC=C=25,所以ADC=180-(25+25)=130.因为ADC=B+BAD,所以BAD=ADC-B=130-60=70,故选B.,5.(2019黑龙江齐齐哈尔,16,3分)等腰ABC中,BDAC,垂足为点D,且BD= AC,则等腰ABC底角的度数 为 .,答案 15或45或75,解析 如图,当BA=BC时, BDAC, AD=CD= AC, BD= AC, AD=BD=CD, A=C= (180-90)=45.,如图,当AB=AC且A为锐角时, BD= AC= AB, A=30, ABC=ACB=75. 如图,当AB=AC且BAC为钝角时, BD= AC=
12、 AB, BAD=30, ABC=ACB= 30=15. 同理,当BC=AC时,可求得CBA=CAB=75或15.,故答案为15或45或75.,方法点拨 等腰三角形中没有指明顶角、底角或者没有指明底边、腰的都需要分类讨论.,6.(2018四川成都,11,4分)等腰三角形的一个底角为50,则它的顶角的度数为 .,答案 80,解析 等腰三角形的两底角相等,180-502=80,顶角为80.,7.(2018吉林,14,3分)我们规定:等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”,记 作k.若k= ,则该等腰三角形的顶角为 度.,答案 36,解析 设等腰三角形的顶角为x度,则一个底角
13、的度数为2x度,由x+22x=180x=36.故顶角为36度.,思路分析 设出顶角度数,根据“特征值”可知底角度数,再由三角形内角和定理即可求得.,8.(2017内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线. (1)求证:BD=CE; (2)设BD与CE相交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中点.当ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等 时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由.,解析 (1)证明:AB,AC是等腰ABC的两腰, AB=AC, BD,CE是中线, AD= AC,AE= AB, AD=AE, 又A=A, ABDACE, BD=CE. (
14、2)四边形DEMN为正方形. 提示:由MN、DE分别是OBC、ABC的中位线可得四边形DEMN是平行四边形,由(1)知BD=CE,故可证 OE=OD,从而四边形DEMN是矩形,再由ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等可知四边形DEMN为正 方形.,考点二 直角三角形,1.(2018湖北黄冈,5,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5, 则CD= ( ) A.2 B.3 C.4 D.2,答案 C 在RtABC中,因为CE为AB边上的中线,所以AB=2CE=25=10,又AD=2,所以BD=8,易证ACD CBD,则CD2=ADDB
15、=28=16,所以CD=4,故选C.,2.(2018新疆乌鲁木齐,15,4分)如图,在RtABC中,C=90,BC=2 ,AC=2,点D是BC的中点,点E是边AB上一 动点,沿DE所在直线把BDE翻折到BDE的位置,BD交AB于点F.若ABF为直角三角形,则AE的长为 .,答案 3或2.8,解析 易知BAF不可能为直角. 当BFA是直角时,如图1, 图1 C是直角,ABC=DBF,BCABFD, = ,又BC=2 ,且易知BD= ,AB=4,BF= 2 = ,由翻折可知DBEDBE,BE=BE,EBF=ABD=30,BE=EB=2EF,BE= BF=1,AE= 4-1=3.,当FBA是直角时,
16、如图2, 图2 连接BC、AD、BB,由翻折可知DBEDBE,BD=BD= BC=CD,BBC=90,FBA =ACD= 90,RtACDRtABD,AC=AB,又易证DBB =CBA,DBBABC, = = ,又 = ,故可证BBCDCA,CDA=BBC,ADBB,延长DE交BB于M,可得 = = (*),易,知DM垂直平分BB,BM= BB,在直角三角形BBC中,由BB2+BC2=BC2=12, = ,可求得BB= , BM= .在直角三角形DCA中,DA= = ,将BM= ,AD= 代入(*)可得AE=2.8. 综上,AE=3或2.8.,疑难突破 本题的难点是FBA为直角时如何求AE,突
17、破方法是作出辅助线BC、AD、BB,并根据翻折证 明BBCDCA,然后利用相似比求出AE.,3.(2019内蒙古包头,20,3分)如图,在RtABC中,ABC=90,BC=3,D为斜边AC的中点,连接BD,F是BC边上的 动点(不与点B,C重合),过点B作BEBD交DF延长线于点E,连接CE.下列结论: 若BF=CF,则CE2+AD2=DE2; 若BDE=BAC,AB=4,则CE= ; ABD和CBE一定相似; 若A=30,BCE=90,则DE= . 其中正确的是 .(填写所有正确结论的序号),答案 ,解析 当BF=CF时,D为AC的中点,ABC=90,BD=AD=CD,DF垂直平分线段BC,
18、CE=BE,而BE BD,BD2+BE2=AD2+CE2=DE2,故正确;当BDE=BAC时,D为AC的中点,ABC=90,BD=AD, DBA=BAC,BDE=DBA,DEAB,点F为BC的中点,由得CD2+CE2=DE2,DCE=90,在Rt ABC中,AC= =5,CD= ,易证CDEBAC,可得 = ,解得CE= ,故正确;ABD一定是 等腰三角形,而CBE不一定是等腰三角形,故错;当A=30时,ABC=90,DBE=90,ABD=30, DBC=60,CBE=30,BD=BC=3,BCE=90,BE= =2 ,在RtDBE中,DE= = ,故正确.,难点突破 的突破口是抓住条件推出D
19、F是线段BC的垂直平分线,并利用垂直平分线的性质推理;的突 破口是抓住条件推出DCE=90,从而利用相似比求出CE;的突破口是抓住A=30,ABC=90,DBE= 90,推出BD和BE的长.,4.(2019内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,在ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c. (1)若a=6,b=8,c=12,请直接写出A与B的和与C的大小关系; (2)求证:ABC的内角和等于180; (3)若 = ,求证:ABC是直角三角形.,解析 (1)CA+B. (2)证明:如图,过点B作直线DEAC, A=ABD,C=CBE, 又ABD+ABC+CBE=180, A+ABC+C=180
20、, ABC的内角和等于180.,(3)证明:原式可变形为 = , (a+c)2-b2=2ac, 即a2+2ac+c2-b2=2ac, a2+c2=b2, ABC是以B为直角的直角三角形.,5.(2017北京,28,7分)在等腰直角ABC中,ACB=90,P是线段BC上一动点(与点B,C不重合),连接AP,延长 BC至点Q,使得CQ=CP,过点Q作QHAP于点H,延长交AB于点M. (1)若PAC=,求AMQ的大小(用含的式子表示); (2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系,并证明.,解析 (1)ACB是等腰直角三角形, CAB=45,PAB=45-. QHAP,AMQ=90-PAB=45
21、+. (2)线段MB与PQ之间的数量关系为PQ= MB. 证明:连接AQ,过点M作MNBQ于点N,如图. 则MNB为等腰直角三角形,MB= MN. ACBQ,CQ=CP,AP=AQ,QAC=PAC. QAM=BAC+QAC=45+QAC=45+PAC=AMQ,QA=QM. MQN+APQ=PAC+APQ=90, MQN=PAC, MQN=QAC, RtQACRtMQN, QC=MN,PQ=2QC=2MN= MB.,解题关键 解决本题第(2)问的关键是要通过添加辅助线构造全等三角形,从而找出边与边之间的数量关 系.,考点一 等腰三角形,C组 教师专用题组,1.(2018河北,8,3分)已知:如图
22、,点P在线段AB外,且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该结论 时,需添加辅助线,则作法不正确的是 ( ) A.作APB的平分线PC交AB于点C B.过点P作PCAB于点C且AC=BC C.取AB中点C,连接PC D.过点P作PCAB,垂足为C,答案 B 无论作APB的平分线PC交AB于点C,还是取AB中点C,连接PC或过点P作PCAB,垂足为C,都 可以通过等腰三角形三线合一得出结论,选项A,C,D的作法正确.故选B.,2.(2017内蒙古包头,6,3分)若等腰三角形的周长为10 cm,其中一边长为2 cm,则该等腰三角形的底边长为 ( ) A.2 cm B.4 cm C
23、.6 cm D.8 cm,答案 A 当腰长为2 cm时,底边长为6 cm,但是2+2=46,即两边之和小于第三边,不合题意;当底边长为 2 cm时,腰长为4 cm,符合题意,故选A.,3.(2017天津,9,3分)如图,将ABC绕点B顺时针旋转60得DBE,点C的对应点E恰好落在AB的延长线上,连 接AD.下列结论一定正确的是 ( ) A.ABD=E B.CBE=C C.ADBC D.AD=BC,答案 C ABC绕点B顺时针旋转60得到DBE, ABD=CBE=60,AB=BD, ABD是等边三角形, DAB=60, DAB=CBE, ADBC, 故选C.,解题关键 熟练掌握旋转的性质是解题的
24、关键.,4.(2016湖北武汉,10,3分)平面直角坐标系中,已知A(2,2),B(4,0),若在坐标轴上取点C,使ABC为等腰三角形, 则满足条件的点C的个数是 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8,答案 A 如图,当AB=AC时,以点A为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两个交点(点B除外),即O(0,0),C0 (0,4),其中点C0与A、B两点共线,不符合题意;当AB=BC时,以点B为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两 个交点,均符合题意;当AC=BC时,作AB的垂直平分线,与坐标轴有两个交点,均符合题意.所以满足条件的 点C有5个,故选A.,5.(2016河北,16,2分)如图,
25、AOB=120,OP平分AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且PMN为等边 三角形,则满足上述条件的PMN有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.3个以上,答案 D 如图所示,过点P分别作OA,OB的垂线,垂足分别为C,D,连接CD,则PCD为等边三角形.在OC, DB上分别取M,N,使CM=DN,则PCMPDN,所以CPM=DPN,PM=PN,MPN=60,则PMN为等边 三角形,因为满足CM=DN的M,N有无数个,所以满足题意的三角形有无数个.,6.(2015吉林长春,6,3分)如图,在ABC中,AB=AC,过点A作ADBC.若1=70,则BAC的大小为 ( ) A.3
26、0 B.40 C.50 D.70,答案 B AB=AC,B=C. ADBC, 1=C=70. B=70. BAC=40.故选B.,7.(2017湖北黄冈,12,3分)已知:如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,则BED= .,答案 45,解析 四边形ABCD是正方形,AB=AD,BAD=90. 三角形ADE是等边三角形, AD=AE,DAE=AED=60. BAE=BAD+DAE=90+60=150,AB=AE, AEB=ABE=(180-BAE)2=15, BED=AED-AEB=60-15=45.,8.(2018天津,17,3分)如图,在边长为4的等边ABC中,D,E分别为AB
27、,BC的中点,EFAC于点F,G为EF的中 点,连接DG,则DG的长为 .,答案,解析 连接DE,在等边ABC中, D、E分别是AB、BC的中点,DEAC,DE=EC= AC=2. DEB=C=60. EFAC,EFC=90.FEC=30,EF= . DEG=180-60-30=90. G是EF的中点,EG= . 在RtDEG中,DG= = = .,9.(2016湖南长沙,17,3分)如图,ABC中,AC=8,BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交边AC于点E,则 BCE的周长为 .,答案 13,解析 DE垂直平分AB,AE=BE, BCE的周长为BE+CE+BC=AE+CE+BC=A
28、C+BC=8+5=13.,评析 本题考查了线段垂直平分线的性质定理,即线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相 等.,10.(2016北京,16,3分)下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程. 已知:直线l和l外一点P. 求作:直线l的垂线,使它经过点P. 作法:如图, (1)在直线l上任取两点A,B; (2)分别以点A,B为圆心,AP,BP长为半径作弧,两弧相交于点Q; (3)作直线PQ.所以直线PQ就是所求作的垂线.,请回答:该作图的依据是 .,答案 三边分别相等的两个三角形全等;全等三角形的对应角相等;等腰三角形的顶角平分线与底边上的 高重合;两点确定一条直线,
29、解析 连接PA、QA、PB、QB.由题意可知PA=QA,PB=QB,又AB=AB, PABQAB(三边分别相等的两个三角形全等), PAB=QAB(全等三角形的对应角相等). 由两点确定一条直线作直线PQ. PA=QA, ABPQ(等腰三角形的顶角平分线与底边上的高重合).,11.(2019吉林,24,8分)性质探究 如图,在等腰三角形ABC中,ACB=120,则底边AB与腰AC的长度之比为 . 理解运用 (1)若顶角为120的等腰三角形的周长为8+4 ,则它的面积为 ; (2)如图,在四边形EFGH中,EF=EG=EH. 求证:EFG+EHG=FGH;,在边FG,GH上分别取中点M,N,连接
30、MN.若FGH=120,EF=10,直接写出线段MN的长. 类比拓展 顶角为2的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 (用含的式子表示).,解析 性质探究 . (2分) 理解运用 (1)4 . (3分) (2)证明:EF=EG=EH, EFG=EGF,EGH=EHG. (5分) EFG+EHG=EGF+EGH=FGH. (6分) 5 . (7分) 提示:由可知EFG+EHG=FGH. FGH=120, EFG+EHG=120. FEH+EFG+EHG+FGH=360, FEH=120.,连接FH. EF=EH, EFH是顶角为120的等腰三角形,由性质探究可知FH= EF. 又EF=10,FH=
31、10 . M,N为FG和GH的中点, MN为FHG的中位线, MN= FH=5 . 类比拓展,2sin . (8分) 提示:如图,作ADBC于点D,BAD=,BD=ABsin , BC=2ABsin ,底边BC与腰AB的长度之比为2sin . 评分说明:结果写成 1,2sin 1不扣分.,12.(2019湖北黄冈,23,8分)如图,RtABC中,ACB=90,以AC为直径的O交AB于点D.过点D作O的切线 交BC于点E,连接OE. (1)求证:DBE是等腰三角形; (2)求证:COECAB.,证明 (1)连接OD. DE是O的切线,ODE=90, ADO+BDE=90, 又ACB=90,OAD
32、+B=90, OA=OD,OAD=ADO, BDE=B,EB=ED,DBE是等腰三角形. (2)ACB=90,AC是O的直径,CB是O的切线, 又DE是O的切线,DE=EC.,DE=EB,EC=EB. 又OA=OC,OEAB.COECAB.,思路分析 (1)连接OD,根据直线与圆相切可推得ODE=90,再根据ACB=90及AOD是等腰三角形可 证BDE=B,问题解决;(2)由于DE、CB都与圆O相切,可得DE=CE,再根据(1)的结论可判断出点E为BC的 中点,从而OE为ACB的中位线,问题解决.,考点二 直角三角形,1.(2018陕西,6,3分)如图,在ABC中,AC=8,ABC=60,C=
33、45,ADBC,垂足为D,ABC的平分线交AD于 点E,则AE的长为 ( ) A.2 B.3 C. D.,答案 D AC=8,C=45,ADBC,AD=ACsin 45=4 ,过点E作EFAB于点F,BE是ABC的平分 线, DE=EF,ABC=60,ADBC,BAE=30,在RtAEF中,EF= AE,又AD=4 ,DE=EF,AE= AD = ,故选D.,思路分析 首先利用AC的长及C的正弦求出AD的长,进而通过角平分线的性质及直角三角形中30度角 的性质确定DE和AE的数量关系,最后求出AE的长.,2.(2017内蒙古包头,12,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,CDAB,垂足为
34、D,AF平分CAB,交CD于点E, 交CB于点F.若AC=3,AB=5,则CE的长为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 过F作FGAB于点G, AF平分CAB,ACB=90, FC=FG. 易证ACFAGF, AC=AG. 5+6=90,B+6=90, 5=B. 3=1+5,4=2+B,1=2,3=4,CE=CF. AC=3,AB=5,BC=4. 设CF=x(x0), 则FG=x,BF=4-x. 又BG=AB-AG=5-3=2, 在RtBFG中,由BF2=FG2+BG2,得(4-x)2=x2+22,解得x= , CE=CF= .选A.,3.(2016四川南充,7,3分)如图,在RtAB
35、C中,A=30,BC=1,点D,E分别是直角边BC,AC的中点,则DE的长为 ( ) A.1 B.2 C. D.1+,答案 A 在RtABC中,A=30,BC=1,AB=2. 点D,E分别是BC,AC的中点, DE= AB= 2=1.,4.(2019山西,15,3分)如图,在ABC中,BAC=90,AB=AC=10 cm,点D为ABC内一点,BAD=15,AD= 6 cm,连接BD,将ABD绕点A按逆时针方向旋转,使AB与AC重合,点D的对应点为点E,连接DE,DE交AC于点F, 则CF的长为 cm.,答案 (10-2 ),解析 过点A作AGDE于点G, 由旋转的性质知AD=AE,DAE=90
36、,CAE=BAD=15, AED=45,AFD=AED+CAE=60, 在RtADG中,AG=DG= =3 ,在RtAFG中,GF= = ,AF=2FG=2 , CF=AC-AF=10-2 .故CF的长为(10-2 )cm.,方法指导 我们经常通过观察图形将所求的角或者线段转化到直角三角形中(没有直角三角形时,设法构 造直角三角形),再利用锐角三角函数得到所求结果.,5.(2018重庆,16,4分)如图,把三角形纸片折叠,使点B、点C都与点A重合,折痕分别为DE,FG,得到AGE=30,若AE=EG=2 厘米,则ABC的边BC的长为 厘米.,答案 (6+4 ),解析 过E作EHAG于H. AG
37、E=30,AE=EG=2 , EH= ,GH=EGcos 30=3, AG=6, GC=AG=6,易知BE=AE=EG=2 , BC=BE+EG+GC=(6+4 )厘米.,6.(2018福建,13,4分)如图,RtABC中,ACB=90,AB=6,D是AB的中点,则CD= .,答案 3,解析 依题意可知CD是直角三角形ABC斜边上的中线,由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 可得CD= AB=3.,7.(2016辽宁沈阳,16,3分)如图,在RtABC中,A=90,AB=AC,BC=20,DE是ABC的中位线.点M是边BC上 一点,BM=3,点N是线段MC上的一个动点,连接DN,ME,D
38、N与ME相交于点O.若OMN是直角三角形,则DO的 长是 .,答案 或,解析 A=90,AB=AC,BC=20, AB=AC=10 , DE是ABC的中位线, DEBC,DE= BC=10,BD=CE=5 . 当DNBC时,OMN为直角三角形(如图), 易知BDN为等腰直角三角形, BN=DN=5,BM=3, MN=2, DEBC, ODEONM, = ,即 = , 解得OD= . 当DNME时,OMN为直角三角形(如图),过点E作EFBC,垂足为点F.,易知CEF为等腰直角三角形, EF=FC=5, BM=3,MF=20-3-5=12, 在RtMFE中,ME= = =13, DEBC,DEO
39、=EMF, DOE=EFM=90, ODEFEM, = ,即 = , 解得OD= . 综上所述,DO的长是 或 .,评析 对于几何探究型问题,分类讨论思想是重点考查内容.本题中,要对OMN分两种情况进行讨论,一是 ONM为直角时,二是MON为直角时.,8.(2019河北,21,9分)已知:整式A=(n2-1)2+(2n)2,整式B0. 尝试 化简整式A. 发现 A=B2.求整式B. 联想 由上可知,B2=(n2-1)2+(2n)2,当n1时,n2-1,2n,B为直角三角形的三边长,如图.填写下表中B的值:,解析 尝试 A=n4-2n2+1+4n2 (2分) =n4+2n2+1. (4分) 发现
40、 A=n4+2n2+1=(n2+1)2, 且A=B2,B0,B=n2+1. (7分) 联想 勾股数组 17 (8分) 勾股数组 37 (9分) 提示:勾股数组 2n=8,n=4. 由发现可知,B=n2+1=16+1=17. 勾股数组 n2-1=35, B=n2+1=(n2-1)+2=35+2=37.,9.(2016内蒙古呼和浩特,21,7分)已知,如图,ACB和ECD都是等腰直角三角形,ACB=ECD=90,D为 AB边上一点. (1)求证:ACEBCD; (2)求证:2CD2=AD2+DB2.,证明 (1)ACB和ECD都是等腰直角三角形, CD=CE,AC=BC,ECD=ACB=90, E
41、CD-ACD=ACB-ACD, 即ECA=DCB. (1分) 在ACE与BCD中, (3分) ACEBCD. (4分) (2)ACEBCD, AE=BD. (5分) EAC=BAC=45,EAD=90. 在RtEAD中,ED2=AD2+AE2,ED2=AD2+BD2. (6分) 又ED2=EC2+CD2=2CD2,2CD2=AD2+DB2. (7分),10.(2016广东,21,7分)如图,RtABC中,B=30,ACB=90,CDAB交AB于D.以CD为较短的直角边向 CDB的同侧作RtDEC,满足E=30,DCE=90,再用同样的方法作RtFGC,FCG=90,继续用同样的 方法作RtHI
42、C,HCI=90.若AC=a,求CI的长.,解析 在RtABC中,B=30,ACB=90, A=60. (1分) CDAB, ADC=90,ACD=30. (2分) AC=a, 在RtADC中,AD= AC= ,CD= AD= a. (4分) 同理可得,在RtDFC中,DF= CD= a,CF= DF= a. (5分) 在RtFHC中,FH= CF= a,CH= FH= a, (6分) 在RtCHI中,CI= CH= a. (7分),评析 本题考查直角三角形的基本性质与运算.,11.(2016北京,23,5分)如图,在四边形ABCD中,ABC=90,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连
43、接BM,MN, BN. (1)求证:BM=MN; (2)若BAD=60,AC平分BAD,AC=2,求BN的长.,解析 (1)证明:在ABC中,ABC=90,M为AC的中点, BM= AC.N为CD的中点,MN= AD. AC=AD,BM=MN. (2)BAD=60,AC平分BAD, BAC=CAD=30. 由BM=AM,可得BMC=2BAC=60. 由MNAD,可得CMN=CAD=30. BMN=BMC+CMN=90. AC=AD=2,BM=MN=1. 在RtBMN中,BN= = .,一、选择题(每小题4分,共28分),30分钟 53分,1.(2017安徽阜阳期末联考,3)一个等腰三角形的两边
44、长分别是3和7,则它的周长为 ( ) A.17 B.15 C.13 D.13或17,答案 A 当等腰三角形的腰长为3,底边长为7时,由于3+37,故不能构成三角形;当等腰三角形的腰长为7, 底边长为3时,周长为3+7+7=17,故等腰三角形的周长是17.故选A.,2.(2019安徽合肥168教育集团一模,6)小明把一副含45角,30角的直角三角板如图摆放,其中C=F=90, A=45,D=30,则+等于 ( ) A.180 B.210 C.360 D.270,答案 B 如图,=1+D,=4+F, +=1+D+4+F =2+D+3+F=2+3+30+90=210,故选B.,解题关键 掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.,3.(2019安徽淮南寿县中学第5次月考,6)如图,在RtABC中,C=90,A=30,E为AB上一点,且AEEB= 41,EFAC于F,连接BF,则tanCFB等于 ( ) A. B. C.5 D.,答案 A 设CB=1,在RtACB中,A=30,AB=2, AC= ,EFAC,EFBC. AEEB=41, =
